(c) f(x, y) = x 2 + y 2. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta Lista de Exercícios de Cálculo II - MTM13 Prof. Júlio César do Espírito Santo (com colaboraçao do prof. Thiago Morais) 11 de dezembro de MET (1) Determine o (maior) domínio das funções abaixo. Desenhe-o. (a) f(x y) = x + y. (b) g(x y) = ln(9 x 9y ). (c) h(x y) = 1 x 1 y. (d) j(x y z) = 4 x y z. (a) Dom(f) = {(x y) y x}. (b) Dom(g) = {(x y) x /9 + y < 1}. (c) Dom(h) = {(x y) 1 x 1 1 y 1}. (d) Dom(j) = {(x y z) x + y + z 4}. () Esboce o gráfico da função: (a) f(x y) = 7. (b) f(x y) = 9 x + 9y. (c) f(x y) = x + y. (d) f(x y z) = z. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta. i) f(x y) = x + y. ii) f(x y) = xy. iii) f(x y) = 1 1+x +y. iv) f(x y) = (x y ). v) f(x y) = (x y) vi) f(x y) = sin( x + y ) (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 1. Figuras do exercício 3

2 (4) Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível: (a) f(x y) = (y x) 3. (b) f(x y) = x ln y. (c) f(x y) = ye x. y (d) f(x y) = x + y. (5) Faça a correspondência entre a função a) e seu gráfico b) e seus mapas de contorno. Justifique sua resposta i) z = sin(xy). ii) z = e x cos y. iii) z = sin(x y). iv) z = sin x sin y. v) z = (1 x )(1 y ) vi) z = x y 1+x +y (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura. Gráficos do exercício 5

3 3 (a) I (b) II (c) III (d) IV (e) V (f) VI Figura 3. Curvas de nível do exercício 5 (6) Descreva as superfícies de nível da função f(x y z) = x y + z. Resposta: hiperboloides de uma ou duas folhas cujo eixo é o eixo y. (7) Calcule os limites abaixo se existir ou demonstre que o limite não existe. e) lim (xy) (00) a) lim (xy) (5 ) (x5 + 4x y + 3xy 7 ) b) lim (xy) (1) c) lim (xy) (00) x + y 1 x + y + 1 g) lim (xyz) (301) e xy sin xy cos y 3x + y d) lim (xy) (00) ( πz xy x + y + xy x + 3y 3 f) lim (xyz) (111 ) (x5 z + 4x yz + 3y 3 z) ) e x + e y h) lim (xy) (11) cos x + sin y x 4 (y 1) 4 (x 1) 4 3 (y 1) 4 3 i) lim (xy) (01) x (y 1) j) lim (xy) (00) (x 1) 3 (y 1) 3 (x 1) 4 3 (y 1) 4 3 k) lim (xy) (11) (x 1) 3 (y 1) 3 m) lim (xy) (00) x x + y n) lim (xy) (00) x y l) lim (xy) (00) x + y x 9 y (x 6 + y ) x y + xy xy o) lim (xy) (00) x + y p) lim (xy) (00) x + y q) lim (xyz) ( π 3 1π) sec xy + sec yz y sec z (e x + e y + e z ) r) lim (xyz) (000) e x + e y + e z

4 4 a) 1605 b) 13 c) Não existe d) 0 e) f) 4169g) 1 i) 0 j) k) 0 l) Não existem) Não existe n) Não existe o) 0 p) 0 q) 1/ r) 3 (8) Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função: (a) f(x y) = (y x) 3. (b) f(x y) = x ln y. (c) f(x y) = ye x. (d) f(x y) = y x + y. (e) f(x y) = 3x y 4. (f) f(x y) = x 5 + 4x y + 3xy 7. (g) z = xe y. (h) z = (x y) 17. (i) f(x y) = x y x + y. (j) z = sin(xy) cos(x + y). (k) f(x y z) = xyz 5x y 3 z 4. (l) f(x y z) = ln(3x 3 + 4y 4 + 5z 5 ). (m) u = x 1 + x + x 3. a) f x = 6(y x) f xx = 1(y x) f y = 3(y x) f yy = 6(y x) f xy = f yx = 1(y x) b) f x = 1 f xx = 0 f y = 1 y f yy = 1 y f xy = f yx = 0 c) f x = ye x f xx = ye x f y = e x f yy = 0 f xy = f yx = e x d) f x = xy (x + y ) f xx = y(y 3x ) (x + y ) 3 = f yy f y = x x ) (x + y ) f xy = f yx = x(y 3x ) (x + y ) 3 e) f x = 3 f xx = 0 f y = 8y 3 f yy = 4y f xy = f yx = 0 f) f x = 5x 4 + 8xy + 3y 7 f xx = 0x 3 + 8y f y = 8x y + 1xy 6 f yy = 8x + 16xy 5 f xy = f yx = 16xy + 1y 6 g) z x = ey h) f x = i) z x = 17(x y)16 x = 0 z y = xey y = 4xey x y = ey y (x + y) f xx = 4y (x + y) 3 f y = x (x + y) f yy = 4x (x + y) 3 f (x y) xy = f yx = (x + y) 3 y = 7(x y)15 x = 7(x y)15 z y = 17(x y)16 = 7(x y)15 x y j) z = y cos(xy) cos(x + y) sin(xy) sin(x + y) x x = y sin(xy) cos(x + y) y cos(xy) sin(x + y) sin(xy) cos(x + y) z = x cos(xy) cos(x + y) sin(xy) sin(x + y) y y = x sin(xy) cos(x + y) x cos(xy) sin(x + y) sin(xy) cos(x + y) = (cos(xy) xy sin(xy)) cos(x + y) x cos(xy) sin(x + y) x y y cos(xy) sin(x + y) sin(xy) cos(x + y) k) f x = yz 10xy3 z 4 f x = 10y3 z 4 f y = xz 15x y z 4 f y = 30x yz 4 f z = xy 0x y 3 z 3 f z = 60x y 3 z f x y = z 30xy z 4 f x z = y 40xy3 z 3 f y z = x 60x y z 3

5 5 (9) Determine: a) f x (3 4) onde f(x y) = ln(x + x + y ) b) f y (1 1) onde f(x y) = arctan(xy) x c) f xy ( 0 1) onde f(x y z) = x + y + z d) f x ( 1 1) onde f(x y) = x 5 + 4x y + 3xy 7 e) z x (1 1) onde z = xe y f) z xy (1 1) onde z = xe y g) f xxy (0 1 0) onde f(x y z) = xyz 5x y 3 z 4 h) u x1 (1 0 0) onde u = x 1 + x + x 3 a) 1 b) 1 c) d) 0 e) e f) e g) 0 h) 1 (10) Determine (a) f z (π/ π/ π) onde f(x y z) = sin x + sin y + sin z. (b) f xyz (1 1 1) onde f(x y z) = ln(3x 3 + 4y 4 + 5z 5 ). (a) 5. (b) 6. (11) Verifique se u xy = u yx. (a) u = xy sin(x + 3y). (b) u = ln( x + y + 1). (c) u = xye xy. Sim sim sim. (1) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: (a) z = 4x + y y no ponto (1 1 3). (b) z = 4x + y y no ponto (1 1 7). (c) z = y ln(x ) no ponto (d) z = e x +y no ponto (a) z = 8x 5. (b) z = 8x 4y 5. ( ( ). 1 0 ) e (c) z = x. (d) z = e(x + y) e. (13) Determine dz dt onde: (a) z = x y + xy x = + t 4 y = 1 t 3. (b) z = u v + uv u = + x 4 v = 1 x 3 x = t + t + t 3. (c) z = sin(x ) cos(y ) x = πt y = t. (d) z = ln(x + y + z ) x = t y = sinh t z = cosh t. (e) z = arctan(x y) x = t y = 1 t. (a) 4(xy + y )t 3 3(x + y)t. (b) 4(uv + v )x 3 (1 + t + 3t ) 3(u + uv)x (1 + t + 3t ). (c) πx cos(x ) cos(y ) y cos(x ) cos(y ). ( t ) 1 x (d) x + y + z + y cosh(t) + z sinh(t). t + (e) 1 + (x y) (14) Determine dz dt e dz ds onde: (a) z = x y + xy x = + t s y = s t. (b) z = u v + uv u = + x 4 v = 1 x 3 x = t + s. (c) z = sin(θ) cos(φ) θ = πts φ = t + s. (d) z = ln(x + y + w ) x = s t y = t s w = s + t. (e) z = arctan(x y) x = st y = ts. a) dz dt = 4ts (s t)(s t + ) (s t + ) (s t)(s t + ) + s t(s t) ; dz ds = 4st (s t)(s t + ) + (s t + ) + (s t)(s t + ) + st (s t) b) dz dt = 4(1 (s + t) 3 ) (s + t) 3 + 8(1 (s + t) 3 )((s + t) 4 + )(s + t) 3

6 6 3((s + t) 4 + ) (s + t) 6(1 (s + t) 3 )((s + t) 4 + )(s + t) ; dz ds = 8s(1 (s + t) 3 ) (s + t) s(1 (s + t) 3 )((s + t) 4 + )(s + t) 3 6s((s + t) 4 + ) (s + t) 1s(1 (s + t) 3 )((s + t) 4 + )(s + t) c) dz dt = πs cos(πst) cos( sin(πst) sin( s + t) s + t) ; s + t dz ds = πt cos(πst) cos( sin(πst) sin( s + t) s + t) s + t d) dz dt = 4t(s + t ) + s + st (s + t ) + s t + st ; dz ds = 4s(s + t ) + st + t (s + t ) + s t + st e) dz dt = (s st (s t st ) + 1 ; dz ds = st t (s t st ) + 1 (15) Determine dz/dt em t = 3 onde z = f(x y) x = g(t) y = h(t) g(3) = h(3) = 7 g (3) = 5 h (3) = 4 f x ( 7) = 6 f y ( 7) = 8. Resposta: 6 (16) Determine: (a) dz/du dz/dv dz/dw; quando u = v = 1 w = 0 onde z = x + xy 3 x = uv + w 3 y = u + ve w. (b) dz/du dz/dv dz/dw; quando u = 1 v = w = 0 onde z = r + s r = v + u cos(w) s = u + v sin(w). (c) dr/dx dr/dy; quando x = y = 1 onde R = ln(u + v + w ) u = x + y v = x y = w. (d) dr/dx dr/dy; quando x = 3 y = 1 onde R = ue v w u = x + y v = x y w = x + y. a) z u ( 1 0) = 85 z v ( 1 0) = 178 z w ( 1 0) = 54 b) z u (1 0) = 10 z v (1 0) = z w(1 0) = 5 c) R x (1 1) = R y(1 1) = 8 11 d) R x (3 1) = R y (3 1) = 3. (17) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo entre o semi-eixo positivo x θ: (a) f(x y) = x y 3 y 4 ( 1) θ = π 4. (b) f(x y) = ye x (0 4) θ = π 3. (c) f(x y) = x sin(xy) ( 0) θ = π 3. (a) 6. (b) + 3. (c). (18) Em cada caso determine o gradiente de f o valor do gradiente no ponto P e a taxa de variação de f em P na direção do vetor (unitário) u. (a) f(x y) = y ln x P = (1 3) u = ( 4 5 5) 3. (b) f(x y z) = xe yz P = (3 0 ) u = ( 3 3 3) 1. (c) f(x y z) = x + yz P = (1 3 1) u = ( ) 6. a) ( y x ln x ) ; ( 3 0); b) e yz 38 (1 xz xy) ; (1 1 0); 7 1 c) x + yz (1 z y) ; 1 4 (1 1 3); 3 8 (19) Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor v. (a) f(x y) = 1 + x y P = (3 4) v = (4 3). (b) f(x y) = ln(x + y ) P = ( 1) v = ( 1 ). (c) f(x y z) = xyz P = (3 6) v = i j + k. (d) f(x y z) = xe y + ye z + ze x P = (0 0 0) v = 5i + j k. (e) f(x y z) = (x + y + 3z) 3 P = (1 1 ) v = j k. (a) (b) 0. (c) 1. (d) (e) (0) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P dado e a direção em que isso ocorre. (a) f(x y) = xe y + ye x P = (0 0). 1 5

7 7 (b) f(x y) = ln(x + y ) P = (1 1). (c) f(x y) = sin(xy) P = (1 0). (d) f(x y z) = tan(x + y + z) P = ( 5 1 1). (a) ; u = (1 1). (b) ; u = (1 1). (c) 1; u = (0 1). (d) 14; u = (1 3). (1) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x y) = x + y x 4y é i + j. Resposta: Em todos os pontos da reta x y + 1 = 0 () Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função: (a) f(x y) = 9 x + 4y x 4y ; (b) f(x y) = xy x y; (c) f(x y) = e x cos(y); (d) f(x y) = (x + y )e y x ; ( a) Máx: 1 1 ) b) Sela: (1 ) c) Nenhum d) Mín:(0 0); Sela: (1 0) e ( 1 0) (3) Determine a menor distância entre o ponto ( 1 1) e o plano x + y z = 1. Resposta: 3 (4) Determine os pontos da superfície de equação z = x + y que estão mais próximos do ponto (4 0). Resposta: ( 1 5) e ( 1 5) (5) Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 3000cm 3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado. Resposta: Largura: 40cm; Comprimento: 40cm; Altura: 0cm Bom Estudo!