4 Trigonometria no círculo trigonométrico

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1 37 4 Trigonometria no círculo trigonométrico Com o surgimento do cálculo infinitesimal e posteriormente da análise matemática as noções básicas da trigonometria ganharam uma nova dimensão. Passaremos a tratá-la não somente no triângulo retângulo mas também no círculo trigonométrico. 4. Conceitos e pré-requisitos A partir dessa nova dimensão passou a ser possível falar em o e o de um número real em vez de o e o de um ângulo. Mas para isso é indispensável considerar as funções t e t definidas para todo número real t. Essa transição é feita por meio de uma função E que chamaremos função de Euler. 4.. A função de Euler O domínio da função de Euler é o conjunto dos números reais. Seu contra domínio é o círculo unitário do plano repretado por real t a função E faz corresponder um ponto Para definir precisamente o círculo S. Assim a cada número E t do círculo S. S introduzimos no plano um sistema de coordenadas cartesianas de modo que todo ponto P do plano passa a ser repretado como um par ordenado P y ordenada. onde é a sua abscissa e y sua Pelo teorema de Pitágoras a distância do ponto P y ao ponto W u v d PW u y v. Em particular a distância de P y é à origem O 00 é igual a d PO y.

2 38 O círculo unitário S é por definição o conjunto dos pontos do plano cuja distância à origem é igual a. Assim o ponto P y somente se y ou o que é o mesmo y. pertence a S se e A relação fundamental sugere que para todo ângulo os números e sejam as coordenadas de um ponto do círculo de raio e centro na origem de. Observamos que para todo ponto P y S tem-se e y Por eemplo os pontos pertencem à curva S. Figura 30: Círculo trigonométrico Agora temos a definição da função E de Euler: Dado o número real t 0 medimos no círculo S a partir do ponto 0 U um arco de comprimento t sempre percorrendo o círculo no tido no tido anti-horário tido positivo. A etremidade final deste arco é o ponto que chamaremos de t E. Se t 0 Et será a etremidade final de um arco de comprimento t medido a partir do ponto U 0 Como o comprimento de no tido horário tido negativo. S é igual a se tivermos t ou t para descrevermos um arco de comprimento t a partir do ponto 0 U teremos de dar mais de uma volta ao longo de S. Em particular se t k onde k é um

3 39 número inteiro positivo negativo ou nulo temos E k U para qualquer qualquer. Reciprocamente se. Mais geralmente t vale Et k Et quando k é um número inteiro t t' em são tais que E t E t' isto significa que quando um ponto P varia de t a t ' sua imagem EP se desloca sobre S no tido positivo a partir de t dando um número inteiro k de voltas e retornando ao ponto de partida E t E t'. A distância total percorrida é igual a k logo t' t k pois o comprimento do caminho percorrido por EP é por definição igual à distância percorrida por P sobre a reta. Assim temos E t E t' se e somente se t' t k com k. Quando t' t vale k 0; quando t' t temos k 0. Vale observar que com essa definição podemos ter E t com t 0 ou seja é permitido a um a ângulo ter medida negativa. A função de Euler E : S pode também ser imaginada como um processo de enrolar a reta pensada como um fio inetensível sobre o círculo carretel de modo que o ponto Com auílio da função número real t. Dado E : S 0 caia sobre o ponto U 0 S. S como um podemos definir o o e o o de um t seja E t y. Definiremos t e t y Figura 3: Função de Euler

4 40 Portanto t é a abscissa e y t Como Et k Et é ordenada do ponto t E. quando k é um número inteiro qualquer em particular temos t k t e t k t Todas as relações de t e. podemos associar um ponto do círculo com coordenadas que 90º. t resultam dessa definição uma vez que E t a ângulos maiores Isto nos leva a definir a medida do ângulo pelo comprimento do arco orientado que a ele corresponde. Esta nova unidade é o radiano. Dizemos que um ângulo possui medida de radiano se e somente se o arco por ele subtendido tem comprimento igual ao raio do círculo que o contém. O ângulo de grau é aquele que subtende um arco igual a da circunferência. 360 Como a circunferência inteira tem radianos e 360 graus temos que radianos 360graus Portanto podemos pensar que o o e o o dependem apenas do comprimento desses ar medidos em radianos. Das funções o e o derivam as outras funções trigonométricas a saber: co sec e sec. É importante observar que tais funções do definidas por meio de quocientes têm seus domínios restritos aos números reais para os quais o denominador é diferente de zero.

5 4 4.. Interpretações geométricas: 4... Relação fundamental: Essa relação decorre do fato de que o ponto P pertence ao círculo trigonométrico de raio unitário onde suas coordenadas são P Figura 3: Relação fundamental Assim para todo real vale a relação: 4... Seno e o OR OQ Figura 33: Seno e o

6 Tangente e cotangente Aplicando semelhança de triângulos temos: OST OQP ST OS PQ OQ ST Assim temos: ST ORP OUV UV OU RP UV OR Assim temos: UV co Figura 34: Tangente e cotangente Secante e secante Aplicando semelhança de triângulos temos: OSP OPQ OS OP OS OP OQ Assim temos: OS sec OUP OPR OU OP OP OU OR Assim temos: OU sec Figura 35: Secante e secante

7 43 IV III II I sec co sec IV III II I que segue Como... sec sec co sec : co 4..3 Corolário Para todo k real k valem as relações: Demonstrações:

8 Simetrias no círculo trigonométrico Redução ao quadrante Dado um arco com etremidade no o quadrante eistem três outros cada um com etremidades num dos quadrantes que têm com eceção do sinal o mesmo o e o mesmo o do arco. Figura 36: Simetrias no círculo trigonométrico Redução do ao quadrante Seja P um ponto situado na etremidade de um arco pertencente ao º quadrante do círculo trigonométrico. E seja P o ponto do círculo simétrico de P em relação ao eio dos os. Conforme a figura 37 temos: AP P A' no tido anti-horário E como AP P ' vem: A AP AP. Logo se É imediato que: AP então AP. E Figura 37: Redução do ao quadrante

9 45 Estas equações coincidem com as definições de o e o de ângulo obtuso dadas anteriormente quando tratamos de trigonometria no triângulo. Levando-se em conta as relações fundamentais temos que: co co sec sec sec sec Assim por eemplo temos: co co co Redução do 3 ao quadrante Seja P 3 um ponto situado na etremidade de um arco pertencente ao 3º quadrante do círculo trigonométrico. E seja P o ponto do círculo simétrico de P 3 em relação ao centro. Conforme a figura 38 temos:

10 46 AP 3 AP no tido anti-horário E como AP A vem: ' P3 AP 3 AP. Logo se AP então AP 3 É imediato que: E Figura 38: Redução do 3 ao quadrante Em consequência temos: co co sec sec sec sec. Assim por eemplo temos: º º sec sec sec 6 6 6

11 Redução do 4 ao quadrante Seja P 4 um ponto situado na etremidade de um arco pertencente ao 4º quadrante do círculo trigonométrico. E seja P o ponto do círculo simétrico de P 4 em relação ao eio dos os. Conforme a figura 39 temos: AP P A no tido anti-horário. 4 4 Como AP P4 A vem: AP AP 4 Logo se AP então AP. 4 É imediato que: E Figura 39: Redução do 4 ao quadrante Em consequência temos: co co sec sec sec sec. Assim por eemplo temos: sec sec sec 3 3 3

12 Fórmula da distância entre dois pontos Consideram-se os pontos A A y e B B y da figura. A distância entre A B esses pontos é AB hipotenusa do triângulo sombreado. O cateto AC mede B A e o cateto BC mede B y A y. Figura 40: Fórmula da distância entre dois pontos Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC tem-se: d AB B A yb ya Então a fórmula da distância entre A A y e B B y é: A B d AB y y B A B A Essa fórmula é válida para quaisquer pontos A e B do plano cartesiano e podemos utilizá-la sem necessidade de recorrer a figuras. Por eemplo a distância entre os pontos A 3 e B 75 pode ser encontrada da seguinte maneira: d AB Essa fórmula será útil nas demonstrações e 6.5 Cabe ressaltar que o aluno do º ano do ensino médio enquanto está aprendendo trigonometria desconhece essa fórmula pois ainda não lhe foi ensinado o conteúdo de geometria analítica que está previsto para as séries seguintes. Porém a apretação desta fórmula é trivial pois os alunos já conhecem o Teorema de Pitágoras.