Aviso. Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.

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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 9 - Seções 9,1 e 9.2 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 1/13

2 Números e Funções Reais Funções trigonométricas: Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Funções trigonométricas As funções trigonométricas constituem um tema importante da Matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, no dia-a-dia, até as mais complexas, na Ciência e na alta Tecnologia), como pelo papel central que desempenha na análise. E. L. Lima, Números e Funções Reais. Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 3/13

4 Indicaremos pela letra C a cincunferência de centro na origem O = (0, 0) de R 2 e raio 1, que chamaremos de circunferência unitária ou círculo unitário. Isto é, C = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1}. Observação: Observe que se (x, y) C então 1 x 1 e 1 y 1. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 4/13

5 Definição Definimos a função de Euler E : R C como sendo a correspondência que associa a cada número real t o ponto E(t) = (x, y) da circunferência unitária do seguinte modo: E(0) = (1, 0); se t > 0, percorre-se a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, no sentido anti-horário. O Ponto final do caminho será o ponto E(t); se t < 0, E(t) será a extremidade final do caminho de comprimento t, percorrido sobre C a partir do ponto (1, 0), no sentido horário. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 5/13

6 Observações Quando t percorre na reta um intervalo de comprimento l, sua imagem E(t) percorre sobre C um arco de comprimento também l. Em particular, quando t percorre um intervalo de comprimento 2π, sua imagem E(t) dá uma volta completa sobre a circunferência C; Além disso, tem-se que, para todo t R, E(t + 2kπ) = E(t) com k Z qualquer; Reciprocamente, se t < t em R são tais que E(t) = E(t ), então isto significa que, partindo do ponto E(t), dar-se k voltas no sobre C sendido horário, até retornar ao ponto de partida E(t ) = E(t). Como a distância total percorrida é 2kπ, segue-se que t = t + 2kπ. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 6/13

7 Observações Conclusão: E(t) = E(t ) t = t + 2kπ, em que k Z (k N quando t > t e k N quando t < t). Definição Sejam A = (1, 0) e O = (0, 0). Para cada t R seja B = E(t). Definimos neste caso a medida do ângulo AÔB como sendo t radianos. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 7/13

8 Observações Pode-se ter B = E(t) com t < 0, o que significa que esta forma de medida é orientada (permite ângulo de medida negativa); A medida do ângulo AÔB é determinada a menos de 2kπ, k Z, pois B = E(t) = E(t + 2kπ). Logo, por exemplo, o ângulo de π 4 radianos também é um ângulo de 7π 4 radianos, pois π 4 2π = 7π 4. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 8/13

9 Observações Segue-se da definição que o ângulo AÔB mede 1 radiano se, e somente se, o arco AB tem comprimento igual a 1 (o raio da circunferência). Mais geralmente, em uma circunferência de raio r, a medida do angulo cental em radianos é igual a l/r, onde l é o comprimento do arco subentendido por este ângulo. Isso ocorre porquê quaisquer duas circunferências são sempre semelhantes. Observe que: l r = l 1 e portanto medida de AÔB = l = l r. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 9/13

10 Exercício Mostre que o ângulo AÔB também pode ser expresso por 2a r 2 radianos, em que a é a área do setor circular AOB e r é o raio da circunferência. Solução: Inicialmente observe que a é uma função crescente do comprimento l do arco AB. Além disso, se o arco AB tem comprimento n vezes maior que o comprimento do arco AB (n N) então a área o do setor AOB é igual a n vezes a área do setor AOB. Portanto, do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que a área a é uma função linear do comprimento l: digamos a = c.l onde c é uma constante. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 10/13

11 Afirmação: c = r 2. Com efeito, observe que quando o setor é todo o círculo (de raio r), o arco correspondente é toda a circunferência. Então a = πr 2 e l = 2πr. Logo, πr 2 = c 2πr c = r 2. Com isso, concluímos que a área do setor AOB está relacionada com o comprimento do arco AB pela igualdade a = lr 2. Logo, l r = 2a r 2 e como l/r também é a medida do ângulo AÔB, concluímos que essa medida é 2a/r 2 como queríamos. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 11/13

12 Observação As figuras abaixo deixam claro que se E(t) = (x, y) então E(t + π) = ( x, y), E(t + π 2 ) = ( y, x), E( t) = (x, y), E( π t) = (y, x) e 2 E(π t) = ( x, y) PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 12/13

13 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: slide 13/13