Graus e Radianos. Dinâmica 7. Professor. 1ª Série 4º Bimestre. DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO DINÂMICA CURRÍCULO MÍNIMO

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1 Reforço escolar M ate mática Graus e Radianos Dinâmica 7 1ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática 1a do Ensino Médio Geométrico DINÂMICA Graus e Radianos. Trigonometria da Circunferência HABILIDADE Básica H12 Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30, 45 e 60 ). HABILIDADE Principal H21 Transformar grau em radiano e vice-versa. CURRÍCULO MÍNIMO Transformar a medida de um arco de grau para radiano e vice-versa. 1

2 , nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos. ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO 1 Compartilhar Ideias Vamos dar a meia-volta, volta e meia vamos dar. de 10 a 15 min. Em dupla. Individual 2 Um novo olhar... Um é pouco, dois é bom... de 15 a 20 min. Nos mesmos grupos. Individual 3 Fique por dentro! Radianos, por quê? de 25 a 35 min. Nos mesmos grupos. Individual 4 Quiz Quiz 10 min Individual Individual 5 Flex Análise das respostas ao Quiz Para Saber + Análise das respostas ao Quiz 15 min Coletiva Individual Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula. Agora, é com você! Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor, se tiver dúvidas. Apresentação Esta dinâmica apresenta duas unidades para medidas de ângulos: o grau, em geral já bastante conhecido e utilizado por nossos alunos, e o radiano, uma novidade para a maioria deles. Como justificativa para introdução de uma unidade tão estranha, a dinâmica focaliza também a relação entre a medida angular e o comprimento de um arco. A fim de estabelecer maior intimidade do estudante com o tema, a primeira etapa faz uma recordação da ideia de ângulo, sob dois pontos de vista: o geométrico, em que os ângulos ficam entre o ângulo nulo e o ângulo de uma volta e o de giro, em que podem ser considerados ângulos que envolvem mais voltas. Como sempre, você conta com uma certa margem para administrar o tempo gasto em cada atividade, de acordo com a necessidade dos seus alunos. 2

3 Primeira Etapa Compartilhar idéias Atividade Vamos dar a meia-volta, volta e meia vamos dar. Objetivo Rever exemplos de ângulos de menos e mais do que uma volta. Descrição da Atividade Você se lembra da ideia de ângulo? Geometricamente, você pode pensar que o ângulo é uma figura formada por um ponto e duas semirretas com origem nesse ponto. E você se lembra de alguns ângulos especiais? Vamos a eles: Matemática Figura Questão Duas retas perpendiculares formam 4 ângulos iguais. Como se chama cada um deles? Ângulo reto. Um ponto numa reta determina duas semirretas opostas. Essas semirretas são lados de um ângulo com vértice nesse ponto. Como se chama este ângulo? E se as semirretas coincidirem e considerarmos o maior ângulo como indicado na figura, como se chama este ângulo? Ângulo raso ou de meia volta. Ângulo de uma volta. Você pode também pensar no ângulo como um giro, por exemplo, os ângulos que um ponteiro de relógio (analógico) descreve num intervalo de tempo. As perguntas a seguir dizem respeito ao movimento do ponteiro dos minutos de um relógio. Complete a tabela a seguir: 3

4 Intervalo de tempo (sempre no mesmo dia) Ângulo percorrido pelo ponteiro dos minutos Ângulo reto. Ângulo raso. Ângulo de uma volta. Ângulo de uma volta mais um ângulo reto. Ângulo de duas voltas e meia. Ângulo de 3 voltas. Recursos necessários Encarte do aluno. 4

5 Procedimentos Operacionais, esta atividade foi planejada para a turma dividida em duplas ou, de acordo com a paridade do número de alunos, poderá haver um trio. Intervenção Pedagógica Matemática, nesta etapa é abordada uma atividade que revê a ideia de ângulos sob dois aspectos: o geométrico, em que os ângulos variam do ângulo nulo ao ângulo de 1 volta e o de giro, em que ângulos com mesmo aspecto geométrico podem esconder um certo número de voltas intermediárias. Nesta revisão, a linguagem escolhida evitou propositalmente considerar a medida destes ângulos. Em parte, para não ter de escolher uma unidade, deixando o uso das medidas para a terceira etapa. Em parte, para chamar a atenção do aluno para a ideia de ângulo, antes mesmo da introdução da sua medida. O exemplo escolhido do movimento de um ponteiro de relógio não serve para ilustrar o ângulo em sentido contrário, que teria medida negativa. Você pode, porém, já adiantar a possibilidade de giros em duas direções, o que vai provocar medidas com sinal positivo e negativo. Um exemplo seria o movimento dos relógios modernos para os ajustes devidos ao horário de verão. Usando o mínimo de movimento dos ponteiros para ajustar o relógio ao horário de verão, no início do horário, o ponteiro dos minutos dá uma volta no sentido horário e no final do horário de verão, é preciso dar uma volta em sentido contrário, chamado sentido anti-horário. Segunda Etapa Um novo olhar... Atividade Um é pouco, dois é bom,... Objetivo Introduzir as unidades de medida de ângulos, graus e radianos e trabalhar com a transformação de medida de uma unidade para outra. 5

6 Descrição da atividade As unidades grau e radiano serão apresentadas graficamente e o aluno será convidado a calcular as medidas de ângulos numa unidade, partindo das medidas desses ângulos na outra unidade. Caro estudante: Você sabe que medir um ângulo envolve duas ações (como se faz para medir qualquer outra grandeza): 1ª) escolher um ângulo que seja considerado padrão e que passa a ser uma unidade; 2ª) procurar o número exato de vezes em que esta unidade cobre o ângulo dado, sem superposições. A medida do ângulo nesta unidade é este número. É importante lembrar que uma medida é sempre composta de um número e uma unidade. Para escolha do padrão, é necessário usar um ângulo conhecido. Esse ângulo pode ser, por exemplo, o de 1 volta. São duas as unidades mais usadas na medida de ângulos. Você vai trabalhar com elas nas próximas questões. 1. Você sabe quantos graus mede um ângulo de uma volta? 360 graus. E quantos radianos mede esse mesmo ângulo de uma volta? 2π vezes, o que é um pouco mais do que 6 vezes. Achou estranho? Na próxima etapa, você vai compreender melhor a importância desta nova unidade, o radiano, e por que foi escolhido o número 2π como medida em radianos do ângulo de 1 volta, apesar de ser um número irracional. 6 O grau é também indicado pelo sinal e o radiano pela abreviação rad.

7 Veja, então, que unidades são essas, usando um transferidor para ter ideia do ângulo de 1 : Dá para perceber? Com vértice em V, o ângulo de 1 0 tem os lados passando por duas divisões consecutivas da escala do transferidor. E o radiano? Aproximadamente o seguinte: Matemática Lembre que as figuras apresentam sempre alguma imprecisão e que os objetos da Matemática são abstratos. As figuras servem como meras ilustrações. Agora que você já conhece as unidades, vamos ver como se passa de uma medida para outra. Veja: o dado importante é que o ângulo que mede mede também 2π rad. Você pode dividir por 2 essas duas medidas e considerar que o ângulo (raso) que mede mede também π rad. Outro dado importante é que se você dobra a medida numa unidade, ela dobra também noutra. E isso acontece quando você multiplica a medida numa unidade por qualquer outra constante: a outra será também multiplicada pela mesma constante. Noutros termos, as medidas em graus e em radianos são diretamente proporcionais. Então, você pode passar de uma para outra, certo? Complete, então, a tabela seguinte: Medida do ângulo em graus Medida do mesmo ângulo em radianos 180 π rad 360 2π rad 90 π rad 2 7

8 Medida do ângulo em graus Medida do mesmo ângulo em radianos π rad 3 π 6 rad 3π 2 rad 180 graus 57,3 1 rad π graus rad π π 2,22 π rad 180 7,5 180 π graus 430 7,5 rad Recursos necessários: Encarte do aluno. Calculadora e transferidor, se possível. A turma continuará dividida em duplas. Procedimentos Operacionais Intervenção Pedagógica Talvez seja preciso lembrar o conceito de proporcionalidade direta e como se calcula um valor a partir de outra, sendo conhecida a constante de proporcionalidade. 8 O aluno pode estar acostumado a usar a regra de três, em que uma linha pode ser a relação π 180. Um outro modo, porém de li- 180 dar com esses números é lembrar-se de que 1 rad = graus e que, π

9 π portanto, 1 = rad. Sabendo o valor da unidade, fica fácil saber o 180 valor de qualquer outra medida. Uma observação importante é que o estudante costuma achar que a medida de um ângulo em radianos tem de ser sempre alguma expressão em π. Isso porque as medidas de ângulos em radianos que sejam dadas por um número vezes π, equivalem a medidas em graus, dadas por esse número vezes 180. Não só a medida em graus é um número, por assim dizer, mais simpático, como pode ser mais fácil a sua representação geométrica. É comum, então, que os exemplos dados sejam desta forma, o que leva o aluno a criar o preconceito! Matemática Terceira Etapa Fique por dentro! Atividade Radianos, por quê? Objetivo Relacionar a medida de um ângulo central de uma circunferência com o comprimento dos arcos que ele determina. Descrição da Atividade Esta atividade pretende que os alunos compreendam melhor a importância do radiano como unidade de medida de ângulo. Para isso, eles serão levados a concluir a relação entre a medida de um ângulo em radianos e o comprimento de um arco. Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois pontos A e B na circunferência, esta fica dividida em duas partes, cada uma delas, denominada arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa, ou arco nulo. Observe a ilustração a seguir: 9

10 A cada arco de circunferência fica associado um ângulo com vértice no centro desta circunferência. Os lados deste ângulo são os raios que passam pelas extremidades do arco e o ângulo é aquele que contém o arco no seu interior. Por exemplo, na figura, o ângulo α corresponde ao arco AB de menor comprimento e o ângulo β corresponde ao arco AB de maior comprimento. Para um arco de circunferência são definidas duas medidas: a medida angular e seu comprimento. A medida angular do arco é a medida do ângulo central correspondente, isto é, med ang ( AB) = med( AOB). Questão 1 Em que unidades é dada a medida angular de um arco e em que unidades deve ser dado o seu comprimento? Espera-se que o estudante perceba que, como medida de um ângulo, a medida angular de um arco de circunferência dada em graus ou radianos. Já o comprimento de um arco, como qualquer outra medida de comprimentos, pode ser dada em metros, seus múltiplos ou submúltiplos. E qual a relação entre as duas medidas de um mesmo arco? Para obter esta relação, responda às seguintes questões. Questão 2 Considere um arco AB (menor do que a metade de uma circunferência) e seu ângulo α correspondente. Qual será o ângulo correspondente a um arco cujo comprimento seja o dobro do comprimento de AB? Espera-se que o estudante perceba que o ângulo correspondente ao dobro do arco é também o dobro do ângulo α. 10

11 Matemática Questão 3 Você acha que isso se dá só com o dobro ou com qualquer outro número pelo qual você multiplique o arco? O que isso significa em relação à dependência entre a medida do ângulo e o comprimento do arco? Dá para perceber que isso vale para qualquer número e, então, o comprimento de um arco e sua medida angular são diretamente proporcionais. Questão 4 Tome, então, um arco numa circunferência de raio r > 0. Qual será a constante de proporcionalidade entre o comprimento desse arco e sua medida angular? Ora, o arco do qual se conhecem as medidas de comprimento e angular é a circunferência toda, à qual corresponde o ângulo de uma volta. O comprimento da circunferência é igual a 2π r e a medida do ângulo de uma volta em graus é e, em radianos, é igual a 2π rad. 11

12 Então, a constante de proporcionalidade entre a medida angular med Ang ( AB ) e seu comprimento C( AB), C(AB) calculada como deve ser igual a 2πr med ang(ab) 360 = πr se a medida angular for dada em graus ou igual a 180 2πr = r, se a medida angular for considerada em radianos. 2π Resumindo: O comprimento C g de um arco de medida angular igual a g é igual a: C g = 2πgr 360 E o comprimento C r de um arco de medida angular igual a m rad é igual a: C r = mr. Bem mais simples calcular a medida de um arco a partir de sua medida angular dada em radianos, certo? Questão 5 Qual a unidade em que esse comprimento é medido? Em ambos os casos, a unidade é sempre aquela que foi usada para o raio. Questão 6 Qual o comprimento de um arco de uma circunferência de raio r, determinado por um ângulo central igual a 1 rad? Sendo 1 a medida angular, o comprimento do arco é igual a r. 12

13 Observe que essa pode ser uma outra definição de radiano: Radiano é o ângulo central correspondente a um arco de comprimento igual ao raio de uma circunferência.com base no que você acabou de ver, complete a tabela a seguir: Arco de uma circunferência de raio igual a Medida angular do arco em graus Medida angular do arco em radianos Comprimento desse arco 1 m 180 π rad π m 3 km 60 6 mm 90 3 m cm 30 3,5 m 114,6 π 3 π 2 3π 2 π 6 rad rad rad rad 2 rad π km 3π mm 4,5 π m 10 cm 7 m Matemática 5 cm rad 50 cm Recursos necessários: Encarte do aluno. Calculadora, se possível. Procedimentos Operacionais Esta atividade está prevista para ser desenvolvida pelas mesmas duplas, por facilidade de organização. As duplas podem discutir a questão entre si, mas pode haver uma correção coletiva. 13

14 Intervenção Pedagógica Neste momento, é importante que os cálculos sejam feitos em grupo. É interessante que, ao completar a tabela, os cálculos sejam repartidos entre os alunos ou que os mesmos façam os cálculos em conjunto. É importante que os alunos compreendam as relações existentes entre as medidas dos ângulos. Auxilie-os no desenvolvimento da atividade. Vale a pena observar que também o comprimento de um arco pode envolver mais voltas. O arco descrito na última linha da tabela, por exemplo, é um arco com mais de 1 volta. Com efeito, 10 é maior do que 2π, que corresponde a uma volta. De fato, o comprimento de uma circunferência de raio igual a 5 cm é igual a 10π 31,4 cm, enquanto o comprimento do arco dado é igual a 50 cm, que envolve, portanto, mais que uma volta. Quarta Etapa Quiz (Saerjinho Questão 19 da Avaliação Diagnóstica C1001 3º bimestre 2012) Para calcular o valor de uma expressão trigonométrica, um aluno converteu para graus as medidas de dois arcos de medidas 4 π 5π rad e rad. 9 6 Os valores em graus das medidas desses dois arcos são, respectivamente: a. 40 e 75. b. 80 e 150. c. 140 e 262. d. 160 e 300. e. 280 e

15 Quinta Etapa Análise das s ao Quiz A resposta correta é o item (B) Distratores: = 80 9 e = O aluno que escolheu a letra A pode ter utilizado 90 como valor de π. O que escolheu a letra C pode ter utilizado 315 como valor de π. Já o aluno que escolheu a letra D pode ter tomado π como medida de uma volta, 360, e o que escolheu a letra E pode ter considerado 630 para o valor de π. Matemática Etapa Flex Para saber + Um é pouco, dois é bom, três é demais! Parece que esse dito se aplica ao número de unidades para medidas de ângulos. Com efeito, na tentativa de criar uma unidade com um caráter decimal, foi instituído o grado, gr, que atribui a medida 100 ao ângulo reto. Neste caso, o grado é igual a 1 do ângulo de uma volta. Esta unidade ainda aparece em alguns documentos brasileiros antigos, mas não foi 400 adiante. Quanto ao radiano, apesar de envolver um número irracional em sua definição, já se viu que ele serve muito bem ao cálculo de comprimentos. Isso não é tão estranho, pois o número irracional π aparece no cálculo do comprimento da circunferência. O radiano simplifica também o cálculo das derivadas das funções trigonométricas. Em geral, esse não é assunto do nível médio, mas regras de derivação como a derivada do seno é o cosseno são válidas para ângulos medidos em radianos. Esse é um cuidado que deve ser tomado com as fórmulas trigonométricas: se a expressão envolver funções trigonométricas e os ângulos também, como por exemplo, x + sen x, é preciso deixar claro qual a unidade em que se considera o valor de x. Esse é o caso da derivada de uma função trigonométrica: o valor do ângulo pode não aparecer explicitamente, mas uma derivada já envolve o quociente entre valores da função e da variável. 15

16 A seguir, sugerimos algumas aulas e recursos educacionais, que você pode acessar pela Internet. Relação entre grau e radiano O artigo proposto traz para o professor uma sugestão de como trabalhar a relação básica entre as unidades de ângulo. Link: Sugestão de aula no Portal do. Link: mec.gov.br/fichatecnicaaula.html?aula =1477 WebCalc É um aplicativo (calculadora) que converte medidas em graus para medidas em radianos. Link: webcalc. com.br/conversoes/angulo.html Laboratório de Ensino de Matemática Neste site, encontram-se informações sobre projetos, pesquisas e cursos relacionados ao uso do computador no ensino/aprendizagem de Matemática. O objetivo do LEM é desenvolver e difundir metodologias de ensino de Matemática, utilizando o computador. Link: Agora, é com você! Os exercícios a seguir podem ajudá-lo a fixar o conteúdo trabalhado nesta dinâmica. Questão 1 (adaptado de ecalculo.if.usp.br) Calcule em radianos: 75, 120, 136, 1360, Já sabemos que a medida a, em graus, se relaciona com a medida x em radianos. Substituindo (a) em x = rad π a 180 a = 75, temos 75 5 x = π π rad = rad a = -120, temos x = π π rad = rad 180 3

17 a = 136, temos x = π π rad = rad a = 1360, temos x = π π rad = rad a = -1360, temos x = π π rad = rad Matemática Questão 2(adaptado de ecalculo.if.usp.br) Calcule em graus: 3rad, 5 π 6 rad, 7 π 12 rad, 8rad Já sabemos que a medida, em graus, se relaciona com a medida x,em radianos. Colocando 180. x 180. x a = = π π Quando x = 3 rad, temos a = = 172 π π Quando x= 5 π 6 rad Quando x= 7 π 12 rad temos temos 180 5π a =. = 150 π π a =. = 105 π 12 Quando x = 8 rad, temos a = = 458 π π 17

18 Questão 3 O ponteiro dos minutos de um relógio tem 6 cm de comprimento. Qual o comprimento percorrido pela extremidade deste ponteiro, de 10 h às 11 h 40 min? Às 10h, o ponteiro dos minutos está na posição 12 e, às 11 h, volta a essa posição, dando uma volta completa. Entre 11 h e 11h 40 min, o ponteiro dos minutos percorre ainda um ângulo que mede: um ângulo de 40 2π 60 = 4π 3 4π 10π + 2π= 3 3 rad. O ponteiro percorreu, então, Como a extremidade deste ponteiro percorre um arco de raio igual a 6 cm, o comprimento total do arco percorrido por essa extremidade é: rad 10π 6 = 20 π 62, 8 3 cm. 18