COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA

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1 COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA Comparando com a prova do ano anterior é possível observar uma melhora. Para analisar a prova, utilizamos alguns critérios que julgamos necessários numa avaliação de conhecimento. Veja a análise dos critérios a seguir: Correção ( ) Adequado ( x ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Abrangência ( ) Adequado ( ) Adequado parcialmente ( x ) Inadequado Justificativa: Da 9 questões observa-se a existência de duas questões de Geometria dos Sólidos e de duas outras envolvendo assuntos do Ensino Fundamental. Gradação ( ) Adequado ( x ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Justificativa: predominância de questões de nível fácil e médio e ausência de questões difíceis. Contexto ( x ) Adequado ( ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Pertinência ( ) Adequado ( ) Adequado parcialmente ( x ) Inadequado Justificativa: Em Geometria Analítica, por exemplo, a questão 2 cobra um detalhe diante de assuntos muito mais relevantes; a questão 3 aborda assunto não pertinente ao Ensino Médio, (é considerado do Ensino Fundamental). EQUIPE DE MATEMÁTICA DO CURSO POSITIVO 1 MATEMÁTICA

2 Sendo M o valor da média aritmética da quantidade de animais adotados nos cinco anos, tem-se: M = = = 410 Logo, a média aritmética anual de animais adotados é igual a 410. Resposta: d Resolução: Da figura, a ordenada (y) do ponto P é igual a 3. Logo, para obter o valor da abscissa (x), basta substituir y = 3 na equação da reta r e encontrar o valor de x: 2. y x + 2 = 0 y = x + 2 = = x x = 8 Logo, as coordenadas do ponto P são (8; 3). Resposta: c 2 MATEMÁTICA

3 A pena mínima será dois terços menor que 5 anos, ou seja, será um terço de 5 anos: anos = meses = 20 meses = 1 ano e 8 meses 3 A pena máxima será um sexto menor que 15 anos, ou seja, será cinco sextos de 15 anos: anos = meses = 150 meses = 12 anos e 6 meses 6 Resposta: a Resolução: Exatamente 3 cores seriam suficientes. Bastaria, para tanto, pintar as faces opostas do cubo com cores distintas, de modo a utilizar 3 cores. A seguir, é possível visualizar uma disposição possível com 3 cores utilizadas: Resposta: b 3 MATEMÁTICA

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5 Pode-se considerar o formato do recipiente como sendo a justaposição de um cilindro (parte superior) e um cone invertido (parte inferior) de base comum. Na parte inferior, é possível relacionar-se a medida da altura alcançada pelo líquido com o correspondente volume despejado do líquido por meio de dois triângulos semelhantes: Semelhança de triângulos: r h R.h = r = R l l Para se calcular o volume do líquido quando se atinge uma determinada altura h, 0 h l, basta calcular-se o volume de um cone de altura h e raio r: V = 1 3. π. r2. h Substituindo r = R.h, tem-se: l V = 1 3. π. R.h 2. h l V = πr2 3l 2. h 3 Como R e l são constantes, pode-se considerar πr2 3l 2 = k 1, ou seja: V = k 1. h 3 A relação anterior indica que, na parte inferior (cone), a medida do volume (V) é diretamente proporcional ao cubo da medida da altura (h), em que k 1 é a constante de proporcionalidade que depende de R e l. 5 MATEMÁTICA

6 Nessa parte inferior do sólido, a relação entre a altura (h) e o respectivo volume (V) do líquido pode ser representada por um arco de parábola cúbica pertencente ao 1º quadrante, já que V e h são não negativos: Na parte superior (cilindro) a medida do volume (V) pode ser calculada pelo volume de um cilindro de altura h e raio R: V = πr 2. h Como R 2 é constante, pois R é constante, pode-se considerar R 2 = k 2, ou seja: V = k 2. h A relação indica que o volume (V) é diretamente proporcional à medida da altura do líquido (h), sendo k 2 a constante de proporcionalidade que depende exclusivamente de R. Nessa parte superior, o gráfico é uma semirreta com origem na extremidade de ordenada l do arco de parábola cúbica destacado anteriormente. Desta forma, o gráfico que melhor descreve a altura h, do nível do líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado no recipiente está representado a seguir: Resposta: d 6 MATEMÁTICA

7 Para determinarmos a quantidade do nutriente 2 presente na mistura das rações, podemos calcular o elemento a 21 do produto das matrizes: 35% %. 30% % a 21 = = Portanto, 389 mg do nutriente 2 estão presentes na mistura das quatro rações. Resposta: a 7 MATEMÁTICA

8 Em 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio, teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, de acordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos considerar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no ponto A, enquanto o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O. Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB do triângulo ABO, tem-se: (AB) 2 = (AO) 2 + (BO) 2 2. (AO). (BO). cos 60 o (AB) 2 = (AB) 2 = 196 (AB) 2 = 14 2 AB = 14, pois AB > 0 Portanto, a distância entre os navios após uma hora é igual a 14 km. Resposta: b 8 MATEMÁTICA

9 Se somente é possível segurar o pedaço da pizza com as mãos nuas quando a temperatura for igual a 65 o C, então: T = 160 x 2 0,8 x t = ,8t = ,8 x t 40 = 160 x 2 0,8t Dividindo ambos os membros por 160, tem-se: 2 2 = 2 0,8t 2 = 0,8. t Dividindo membro a membro por ( 0,8), tem-se: t = 2,5 Logo, o tempo necessário é igual a 2,5 minutos. Resposta: c Resolução: Considerando o triângulo retângulo da figura, com o vértice no centro da esfera (o que deveria estar explícito no enunciado), temos: O volume V de um cilindro de raio r e altura h é dado por: V = πr 2. h Se o volume é igual a 72π, então: 72π = πr 2. h 72 = r 2. h 9 MATEMÁTICA

10 Da figura, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, tem-se: 5 2 = r 2 + x 2 r 2 = 25 x 2 Substituindo na relação do volume, tem-se: 72 = (25 x 2 ). h Observando que h = 2x, tem-se: 72 = (25 x 2 ). 2x 72 = 50x 2x 3 2x 3 50x + 72 = 0 x 3 25x + 36 = 0 Escrevendo os divisores de 36, tem-se {±1, ±2, ±3, ± 4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}. Podemos observar que 4 é uma das raízes da equação, pois = = 0. Aplicando o método de Briot-Rufini, temos: que resulta na equação: x 2 + 4x 9 = 0 = ( 9) = 52 4 ± 2 13 x = x = 2 ± 13 2 x = ou x = 2 13 Se 0 < x < 5, então x = 4 ou x = Portanto, o maior valor de x é igual a 4. Resposta: e 10 MATEMÁTICA