COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA

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1 COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA É com grande satisfação que, se comparada com os anos anteriores, constatamos que a prova de matemática está tecnicamente melhor. Enunciados impecáveis, nível das questões estratificado, considerando ser uma prova de 1ª fase. A registrar a ausência de temas clássicos do ensino médio, como matrizes e determinantes, polinômios e equações algébricas, logaritimos e sistemas de equações, dentre outros. Creditamos grande parte dessas ausências ao número pequeno de questões de cada matéria na primeira fase. Parabenizamos a comissão organizadora. Resolução: Se 48% da população (P) são homens (H), então 52% da população são mulheres (M). Ou seja, 48%P = H e 52%P = M O número de canhotos é 11% H + 9%M, logo: 11%.(48%P) = 5,28% P são homens canhotos e 9%.(52%P) = 4,68% P são mulheres canhotas. O número de canhotos é 5,28% P + 4,68% P = 9,96% P. Portanto, 9,96% da população é canhoto. Resolução: Supondo que os dentes de cada engrenagem sejam do mesmo tamanho e se encaixem perfeitamente, observa-se que a primeira delas realiza uma volta completa a cada giro de 7 dentes; a segunda, a cada giro de 20 dentes; e a terceira, a cada giro de 30 dentes. Para que ocorra novamente um realinhamento das quatro flechas é necessário e suficiente que cada uma das rodas realize um número inteiro de voltas. Isto ocorrerá se a quantidade de dentes girados em cada roda for igual a um número natural que seja múltiplo simultâneo de 7, 20 e 30. Logo, o número mínimo de voltas pode ser obtido pelo mínimo múltiplo comum dos números 7, 20 e 30, ou seja: m.m.c {7; 20; 30} = = 420 Desta forma, em um giro de 420 dentes, a menor das engrenagens deve realizar 420 = 60 voltas. 7 1 MATEMÁTICA

2 Seja P a probabilidade de que os dois cartuchos, escolhidos ao acaso, tenham cores distintas. A probabilidade de que os dois cartuchos tenham cores distintas é igual à probabilidade de se escolher um primeiro cartucho qualquer, multiplicada pela probabilidade de se escolher um segundo cartucho que tenha uma cor diferente da cor do primeiro. Logo: P = Resolução: Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência à reta é igual à medida do raio desta circunferência. Reta: 2x y + 2 = 0 Centro: C(0, 0) Distância do centro à reta: d = = ( 1) Logo, a medida do raio é igual a MATEMÁTICA

3 Suponha-se que o ângulo de visão do motorista seja dado em graus e a velocidade em km/h. Assim, tem-se: A = k. v + b 100 o = k b (I) 30 o = k b (II) Efetuando-se (II) (I), tem-se: 80k = 70 k = = 7 8 Substituindo-se em (I), tem-se: 100 = b b = Desta forma, tem-se: A = 7 8. v Para v = 64, tem-se: A = A = 79 8 Portanto, para uma velocidade de 64km/h, o ângulo de visão é igual a 79 o. 3 MATEMÁTICA

4 O revestimento do interior do tanque deve ser suficiente para pintar, com tinta anticorrosiva, uma área equivalente à área lateral de um cilindro de raio igual a 1m e altura 6m, e uma superfície esférica de raio 1m. Assim, a área a ser pintada, representada por S, é dada por: S = 2 Rh + 4 R 2 S = 2 R. (h + 2R) S 2. 3, ( ) S 50,24 Para calcular o número mínimo de latas de tinta, basta considerar que cada lata pode revestir 8 m 2 : 50, 24 = 6,28 8 O resultado obtido indica que 6 latas de tinta são insuficientes para se revestir o interior do tanque. Logo, o número mínimo de latas de tinta é igual a 7. 4 MATEMÁTICA

5 Para que ambos os pistões estejam na mesma profundidade, é necessário e suficiente que H 1 = H 2 : 12cos(2 t/60) = 12sen(2 t/60) Dividindo ambos os membros da equação anterior por 12cos(2 t/60), tem-se: 1 = tg(2 t/60) 2 t = + k, em que k é um número inteiro 60 4 Multiplicando-se todos termos da equação por 60 2, tem-se: t = 7,5 + 30k Atribuindo-se valores inteiros para k obtém-se diferentes instantes de tempo para os quais ambos os pistões ficam com a mesma altura. O menor tempo é obtido quando k = 0: t = 7, t = 7,5 Portanto, desde o acionamento do motor os pistões estarão à mesma profundidade após 7,5 milissegundos. 5 MATEMÁTICA

6 Vamos supor que as abscissas dos pontos para os quais o perímetro do retângulo seja máximo sejam representadas por k e k. Substituindo x=kex= kna equação da parábola, obtém-se y=4 k 2 em ambos os casos. Assim, o retângulo tem base de medida 2k e altura de medida (4 k 2 ), de modo que o perímetro do retângulo, representado por L, é dado por: L = 2k + 2k + (4 k 2 ) + (4 k 2 ) L = 2k 2 + 4k + 8 O perímetro máximo do retângulo é a ordenada do vértice da parábola representada pela última equação. Assim, o perímetro máximo é dado por: y v = 4a y v = [ ( 2 ). 8 ] 4.( 2) y v = 10 Portanto, o perímetro máximo é igual a MATEMÁTICA

7 Observe a próxima ilustração: Supondo que as faces das paredes nas quais as escadas são apoiadas sejam verticais, observe a próxima figura: Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos de hipotenusas 3 e 4, respectivamente, tem-se: 3 2 = (2,4) 2 + (h 1 ) 2 h 1 = 1,8 4 2 = (2,4) 2 + (h 2 ) 2 h 2 = 3,2 Da semelhança entre os triângulos com bases nas faces das paredes e das propriedades da proporção, tem-se: h1 h2 a1 a 2 1,8 3,2 1,8 3,2 5,0 a 1 = 0,864 e a 2 = 1,536 a1 a 2 a1 a2 2,4 Da semelhança entre os triângulos retângulos de alturas h e h 1, tem-se: h a 2 h1 a1 a2 h 1,536 h = 1,152 1,8 2,4 Logo, a altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente 1,15m. 7 MATEMÁTICA