UFBA / UFRB a fase Matemática RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

Transcrição

1 UFBA / UFRB 007 a fase Matemática PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÕES de 0 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUESTÃO, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORREÇÃO DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRUÇÕES: Responda às questões, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e legível. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais maiúsculas. O rascunho deve ser feito no espaço reservado junto das questões. Na Folha de Respostas, identifique o número das questões e utilize APENAS o espaço destinado a cada uma, indicando, DE MODO COMPLETO, AS ETAPAS E OS CÁLCULOS envolvidos na resolução da questão. Será atribuída pontuação ZERO à questão cuja resposta o não se atenha à situação ou ao tema proposto; o esteja escrita a lápis, ainda que parcialmente; o apresente texto incompreensível ou letra ilegível. Será ANULADA a prova que o não seja respondida na respectiva Folha de Respostas; o esteja assinada fora do local apropriado; o possibilite a identificação do candidato. Questão 0 Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvaziálos, tendo cada um deles uma vazão constante. Estando completamente cheios de água, o primeiro tanque é esvaziado em 4 horas e o segundo, em. Nessas condições, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo necessário, desde o momento da abertura, para que o volume de água do primeiro tanque seja igual a 7% do volume do segundo. O dispositivo do primeiro tanque escoa por hora /4 da sua capacidade. O primeiro tanque perde em t horas Ct/4. O dispositivo do segundo tanque escoa por hora / da sua capacidade. O segundo tanque perde em t horas Ct/. De acordo com as informações do segundo parágrafo e considerando como C a capacidade inicial dos dois tanques e como t o tempo necessário, desde o momento da abertura simultânea dos dispositivos de esvaziamento, podemos escrever:

2 Ct Ct t C = 0,7 C = 0,7 0,t 4 t = 0,6t 0,4t = 4 4 RESPOSTA: t = h 0min t =,. Questão 0 Na figura, tem-se uma circunferência de centro na origem dos eixos coordenados e raio igual a u.c. O comprimento do menor arco de origem em A e extremidade em P é igual a π u.c. Considere os pontos P, P e P vértices de um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência e representados, nessa ordem, no sentido antihorário. Sendo P, P e P, respectivamente, afixos dos números complexos z, z e z, calcule z + z + z. O comprimento da circunferência da figura é C = 4π. Determinando a razão entre o comprimento do arco e o da circunferência, teremos π a razão entre suas medidas em radianos ( ou em graus): =. 4π π π Logo a medida do ângulo AOP, em radianos, é =. 6 Sendo pontos P, P e P vértices de um triângulo eqüilátero inscrito na π circunferência, e como P é extremidade do arco, P é extremidade do arco 6 π π π π π π 7π + = = e P do arco + = π π π π Então z = cos + isen = i 6 6 ; z = cos + isen = i e 7π 7π z = cos + isen = i 6 6. z = i ; z = ( i) i + z + z = + i + i i = i + = z = RESPOSTA: z + z + z =.

3 Questão 0 A temperatura Y(t) de um corpo em função do tempo t 0, dado em minutos varia de acordo com a expressão Y(t) = Y a + Be kt, sendo Y a a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes. Suponha que no instante t = 0, um corpo, com uma temperatura de 7 C, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de C.Sabendo que, depois de minuto, a temperatura do corpo é de 0 C, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a 7, C. Como Y a é a temperatura do meio em que se encontra o corpo e como este é imerso em água cuja temperatura é constante e igual a o C temos a partir das informações da questão: Y(0) = + Be 0 = 7 + B = 7 B = 0 Y(t) = Y a + 0e kt. Y() = + 0e k = 0 0e k = e k = 0, Y(t) = Y a + 0(0,) t. Y(t) = + 0(0,) t = 7, 0(0,) t =, (0,) t = 0, t =. RESPOSTA: t = minutos. Questão 04 Dadas as funções f(x) = sen(x) e g(x) = sen(x), determine para quais valores de x, x [0, π], f(x) g(x). f(x) g(x) sen(x) sen(x) sen(x).cos(x) sen(x) sen(x) [cos(x) ] 0 sen(x) 0 sen(x) 0 0 x π π x π ou e ou e cos(x) cos(x) 0 x π/ ou π / x π π/ x π / S = { x R ;0 x π/ ou π x π / ou x = π } A solução do sistema pode ser determinada aplicando as inequações ao círculo trigonométrico, da seguinte forma:

4 sen(x) 0 Podemos resolver o sistema de inequações cos(x) graficamente: ou sen(x) 0 cos(x) Analisando o gráfico vemos que as duas são não negativas, com f(x) g(x), no intervalo [0,π/] e que as duas são não positivas, com f(x) g(x), no intervalo [π, π/] {π}. A união desses intervalos é a solução do sistema considerado acima. Questão 0 Considere a matriz simétrica A = (a ij ), i, j, que satisfaz as seguintes condições: I - Se j = i + ou i = j +, então a ij é a distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q interseções da parábola y = x x + com a reta y = x +. II - Se j = i + ou i = j +, então a ij é a área do triângulo PQR, sendo o ponto R o simétrico de Q em relação à origem do sistema de coordenadas xoy. III- Se i = j, então a ij é o valor máximo da função quadrática f(x) = x + 4x. Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante. x x + = x + y = x x + x = 0 y = P = (0,) I - x x = 0 y = x + x = y = 0 Q = (,0) x = 0 ou x = Então a = a = a = a = + =. II - O ponto R o simétrico de Q em relação à origem, então R = (, 0) 0 a = a = S = 0 = =. 0 III O valor máximo da função f(x) = x + 4x é o valor de y para

5 b 4 x = = = ymax = + 4 =. a 4 Então a = a = a = Assim A = det A = = = Resposta det(a) = Questão 06 Considere um prisma reto triangular regular de altura igual a 0cm e um cilindro circular reto de raio da base igual a r, medido em cm, inscrito nesse prisma. Em função de r, deduza a expressão do lado do triângulo, base do prisma; determine o volume da região exterior ao cilindro e do prisma. Como o prisma é triangular regular, a sua base é um triângulo eqüilátero. Se o cilindro reto está inscrito no prisma, então o círculo da sua base está inscrito no triângulo da base do prisma. a) No triângulo retângulo ADO temos: DO r sen0 o = = r = h r h = r AH = r. AO h r l HC l r No triângulo retângulo AHC temos: tg0 o = = r = l = AH r b) O volume do prisma é calculado pela fórmula V = B.h ( onde B representa a área da base do prisma). l.h = 4 V cilindro = πr h = 0πr. Então: V prisma = ( ) r 4.0 = 0 r.

6 Logo o volume da região exterior ao cilindro é: 0 r 0πr = 0( π ) r. RESPOSTA: 0( π ) r.