GABARITO DO CADERNO DE QUESTÕES

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1 OLÍMPIADAS DE MATEMÁTICA DO OESTE CATARINENSE GABARITO DO CADERNO DE QUESTÕES NÍVEL 3 Ensino Médio Universidade Federal da Fronteira Sul Campus Chapecó 017

2 OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA GABARITO: 1. Usando velas: A opção correta é d. MATEMÁTICA-UFFS Com 43 velas a casa de João pode ser iluminada por 43 noites, sobrando 43 tocos de vela. Como 43 = , com esses 43 tocos pode-se guardar 3 tocos e fazer 10 novas velas para iluminar 10 noites. Dessas 10 velas obtemos 10 tocos que, com os 3 que haviam sobrado, dão 13 tocos. Como 13 = , com esses 13 tocos pode-se guardar 1 toco e fazer 3 novas velas para iluminar 3 noites. Dessas 3 velas obtemos 3 tocos que, com o que havia sobrado, dão 4 tocos, com os quais podemos fazer mais uma vela. Assim, no total, a casa de João pode ser iluminada por = 57 noites.. Número de latas: A opção correta é a. Em cada caixote de madeira de dimensões a, b e c cabem (a.b.c)/l 3 cubos de lado l, empilhados regularmente. No caso dos palmitos temos, em centímetros, a = 60, b = 80, c = 10 e l = 0. Como 60, 80 e 10 são múltiplos de 0, podemos preencher o caixote, sem deixar espaços, com ( )/03 = 7 caixas de papelão de formato cúbico com 0 cm de lado. Logo, em cada caixote cabem 7.8 = 576 latas de palmito. 3. Qual é a menor fração: A opção correta é c. Transformando tudo em números decimais, temos 7 = 0, e 1 = 0, 5, = 0, , = 0, 75, 4 = 0, 8, 5 = 0, Logo, a sequência é crescente e apenas 1 = 0, 5, = 0, e 3 = 0, 75 são menores do que 7 = 0, Dízima periódica: A opção correta é d Como 1 3 = 0, segue que 0, = 0, , = = Dobrando papel: A opção correta é e. O corte é realizado pela base média do triângulo, retirando um pequeno triângulo semelhante ao original, com razão de semelhança 1. Assim, a área do triângulo retirado é um quarto da área do triângulo original. Abrindo a folha, vemos essa situação reproduzida quatro vezes, donde o buraco tem um quarto da área do quadrado original.

3 6. A opção correta é e. Para cada um dos três caminhos para ir de A até B, existem três opções para ir de B a C. Logo, há um total de 3.3 = 9 possibilidades. Mais geralmente, se fossem m os caminhos de A até B e n os de B até C, então o número de caminhos que nossa formiguinha poderia tomar de A até C seria m.n. 7. Equação quadrática: A opção correta é d Como 3 e 1 3 são raízes da equação ax 6x + c = 0, temos 9a 18 + c = 0 e a 9 + c = 0, ou seja, 9a + c = 18e a + 9c = 18. Somando essas duas equações, resulta 10(a + c) = 36, isto é, a + c = = Altura de salário: A opção correta é d. O enunciado diz que 1 real= cruzados. O salário de João é 640 reais, o que é equivalente a = = cruzados. O número de pilhas de cem notas que se pode fazer com essa quantidade de notas de 1 cruzado é = Como cada uma destas pilhas tem 1, 5 cm de altura, a altura de todas elas é 1, = cm. Agora lembramos que 1 km=1000m=10 3 m e que 1 m=100 cm=10 cm, donde 1 km= = 10 5 cm. Assim, a pilha de cm tem = = km de altura. 9. A opção correta é b. A figura mostra as dobras que serão feitas para montar a caixa, que terá as di-mensões seguintes: 0 cm de largura, 15 cm de comprimento e 10 cm de altura. Logo, seu volume será de V = = 3000cm Muitos fatores: A opção correta é d. Cada um dos fatores é uma diferença de quadrados, isto é, a b, em que a = 1 e b = ( 1 c ). Usando a fatoração a b = (a + b)(a b), obtemos: (1 1 4 )(1 1 9 )( )(1 1 5 )...(1 1 5 ) = (1 1 )(1 1 3 )(1 1 4 )(1 1 5 )...( ) = (1 1 )(1 + 1 )(1 1 3 )( )(1 1 4 )( )(1 1 5 )( )...( )( ) = = = 8 15

4 11. Falta um ângulo: A opção correta é a. Os ângulos internos do quadrilátero dado são 50, = 150, α e = 140. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 temos que α = Circulos vizinhos: A opção correta é b. Lembramos primeiro que se duas circunferências são tangentes então a reta que passa por seus centros passa também pelo ponto de tangência. No nosso caso, chamando de P, Q e R os centros das circunferências (como na figura abaixo), isso mostra que P R = 3, P Q = 4 e QR = 5. Como = 5, segue que o triângulo P QR é retângulo em P e como temos que P A = P B = 1 vemos que AB é a diagonal de um quadrado de lado 1, ou seja AB = 13. Pentágonos e segmentos: A opção correta é e O pentágono tem 5 lados e 5 diagonais, num total de 10 segmentos. Uma figura consiste de destes segmentos, e escolhas distintas de dois segmentos correspondem a figuras distintas. Segue que o número de figuras distintas é C 10 = 10! = 45 8!! 14. Porcentagem de mortalidade: A opção correta é a. A proporção de toda a população que fica doente da enfermidade é 15 e, entre os que 100 ficam doentes, a proporção dos que morrem é 8. Assim, a proporção da população que 100 morre pela doença é , o que corresponde a = 1, % da população Perímetro e diagonal: A opção correta é b. Denotando por a e b os comprimentos dos lados do retângulo, temos a + b = 0, de modo que a + b = 10. O quadrado do comprimento da diagonal, dado pelo Teorema de Pitágoras, é d = a + b. Mas, (a + b) + (a b) = a + b = d e como a + b = 10 temos que d = 50 + (a b). Portanto, podemos observar que o minimo do comprimento da diagonal ocorre quando a = b e isso nos diz que d = Dois motoristas: Sabemos que a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto. Seja d a distância entre as duas cidades A e B. O primeiro motorista percorre a distância de d à velocidade constante de 80 km/h, portanto, o tempo total gasto por esse motorista é t = d horas. 80 O segundo motorista percorre a distância d na ida à uma velocidade constante de 90 km/h e, na volta, percorre a mesma distância d à velocidade constante de 70 km/h. Logo, o tempo gasto na ida e volta é t = d + d = 8d horas Como d = 8d < 8d, verificamos que o motorista que viaja à velocidade constante de km/h é o que gasta menos tempo no percurso de ida e volta.

5 17. A paridade do número a ser formado depende da paridade do número escrito na bola a ser retirada por Maria. Dentre os números inteiros de 1 a 9, existem cinco ímpares, 1, 3, 5, 7 e 9, e quatro pares,, 4, 6 e 8. Portanto, a probabilidade de que o número a ser formado seja par é = PA e PG: Os quatro termos de uma progressão aritmética de razão r podem ser escritos como x, x + r, x + r, x + 3r. Assim, os três números em progressão geométrica são x, x+r, x+3r. Então, pela própria definição de progressão geométrica, x + r é a média geométrica de x e x + 3r,ou seja,. x(x + 3r) = (x + r) Segue daí que, x + 3xr = x + 4xr + 4r e, portanto, xr = 4r. O caso r = 0 não é interessante, pois daria origem a progressões constantes. Supondo r diferente de 0 temos x = 4r. Atribuindo valores não-nulos a x, obtemos soluções do problema. Por exemplo, para x = 4, obtemos r = 1 com progressão aritmética 4, 3,, 1 tal que os números 4,, 1 formam uma progressão geométrica. Note que esse problema tem uma infinidade de soluções, uma paracada valor escolhido de x diferente de 0 escolhido. 19. O triângulo de moedas: Supondo que o triângulo esteja formado por n linhas, foram usadas n moedas, ou seja, n = n(n + 1) = = 465, o que fornece n + n 930 = 0. Resolvendo essa equação obtemos n = 30. Logo o triângulo tem 30linhas. 0. Área em azulejos: A figura dada pode ser decomposta em quatro figuras congruentes à figura dada. Para calcular a área do triângulo sombreado nessa figura, escolhemos como base o lado BC. Então, a altura correspondente é AE e, como os azulejos são quadrados com 10cm de lado, segue que AE = BC = 10cm. Logo, a área do triângulo BCE é 50cm. Assim, a área desejada é A = 4.50cm = 00cm