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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 1 - Seções 1.4 e 1.5 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 1/14

2 Números e Funções Reais Conjuntos: reunião e interseção Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Reunião Definição Dados conjuntos A e B, definimos a reunião A B como sendo o conjunto formado pelos elemento de A juntamente com os elementos de B. De forma concisa, A B = {x / x A ou x B}. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 3/14

4 Interseção Definição Dados conjuntos A e B, definimos a interseção A B como sendo o conjunto formado pelos elemento que são simultaneamente de A e de B. Concisamente, temos A B = {x / x A e x B}. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 4/14

5 Conectivos OU e E Observe que as operações A B e A B representam o equivalente matemático dos conectivos lógicos ou e e. Assim, se A é formado pelos elementos que satisfazem a propriedade P e B pelos elementos que satisfazem a propriedade Q, os conjuntos A B e A B estão definidos, respectivamente, pelas propriedades P ou Q e P e Q. Exemplo: Consederemos as propriedades abaixo: (P) x satisfaz a igualdade x 2 + x 6 = 0; (Q) x satisfaz a igualdade x 3 7x x = 0. O conjunto dos números que satifazem a propriedade P é A = { 3, 2} e o conjunto dos números que satisfazem a propriedade Q é B = {0, 2, 5}. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 5/14

6 Conectivos OU e E Assim, a afirmação (P ou Q) x 2 + x 6 = 0 ou x 3 7x x = 0 é equivalente a e a afirmação x A B = { 3, 0, 2, 5} (P e Q) x 2 + x 6 = 0 e x 3 7x x = 0 equivale a x A B = {2}, isto é, x = 2. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 6/14

7 Conectivo OU O conectivo OU tem, em matemática, um significado diferente daquele que lhe é atribuído na linguagem do dia-a-dia. Na linguagem comum OU normalmente é usado em afirmações incompatíveis, por exemplo, na frase Você nasceu no Brasil ou nos Estados Unidos? Em matemática a afirmação P ou Q significa que pelo menos uma das alternativas P ou Q é verdadeira, podendo ser ambas. Por exemplo, é correta a afirmação o triângulo possui um ângulo agudo ou um ângulo obtuso. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 7/14

8 Regras operacionais Todas as regras operacionais a seguir podem ser verificadas considerandose todos os casos possíveis. Essas regras regem o uso combinado do conectivo OU e E. Comutatividade: Associatividade: A B = B A e A B = B A; (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C); PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 8/14

9 Regras operacionais Distributividade: A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C) Conexão entre as operações, e a relação : A B = B A B A B = A; além disso A B A C B C e A C B C para todo C. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 9/14

10 Regras operacionais Relações de De Morgan: Sejam A e B subconjuntos do universo U. Então, (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 10/14

11 Exercício Exercício Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto universo U. Definimos a diferença de conjuntos por A B = {x U / x A e x B}. Mostre que A B = A C se, e somente se, A B = A C. Solução: Inicialmente mostremos que A B B c A c. De fato, suponhamos que A B. Então, x B c x B x A x A c. Portanto B c A c. O restante da demonstração segue por simetria, tendo em vista que (A c ) c = A, A. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 11/14

12 Exercício Demonstremos a recíproca. Inicialmente observe que A B = A B c. Portanto, se A B = A C, então, A B = A B c A (A B) c = A (A C) c = = A (A c C c ) = (A A c ) (A C c ) = = A C c = A C c = A C. Por simetria, temos que A C A B e portanto A B = A C. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 12/14

13 Exercício Suponhamos agora que A B = A C, então, x A B x A e x B x A e x A B x A e x A C x A e x C x A C. Logo, A B = A C. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 13/14

14 . Obrigado PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Conjuntos: reunião e interseção slide 14/14