n. 26 PRODUTO CARTESIANO

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1 n. 26 PRODUTO CARTESIANO Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes ( ), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim era Renatus Cartesius, daí vem o nome cartesiano. Obteve reconhecimento matemático por sugerir a fusão da álgebra com a geometria - fato que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome. Por vezes chamado de "o fundador da filosofia moderna" e o "pai da matemática moderna", é considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da História do Pensamento Ocidental. O pensamento de Descartes era revolucionário para uma sociedade feudalista em que ele nasceu. Foi um dos precursores do movimento, considerado o pai do racionalismo, e defendeu a tese de que a dúvida era o primeiro passo para se chegar ao conhecimento. Descartes criou, em suas obras método e Meditações. Discurso sobre o

2 Descartes instituiu a dúvida: só se pode dizer que existe aquilo que puder ser provado, sendo o ato de duvidar indubitável. Também consiste o método de quatro regras básicas: Verificar se existem evidências reais e indubitáveis acerca do fenômeno ou coisa estudada; Analisar, ou seja, dividir ao máximo as coisas, em suas unidades mais simples e estudar essas coisas mais simples; Sintetizar, ou seja, agrupar novamente as unidades estudadas em um todo verdadeiro; Enumerar todas as conclusões e princípios utilizados, a fim de manter a ordem do pensamento. O PLANO CARTESIANO O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem (O, O). O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = (a, b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

3 O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem ( 2, O) para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem (O, 3) para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Logo, a indicação do ponto A no plano cartesiano é: A = ( 2, 3) e de B = (4, 3). Observe os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus).

4 Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido antihorário. PRODUTO CARTESIANO DE DOIS CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y) onde x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Este produto é representado por A B, que se lê: A por B, A vezes B, A cartesiano B. Os conjuntos A e B dizem-se fatores do produto cartesiano A B, sendo A o primeiro fator e B o segundo fator. Simbolicamente temos: A B = { (x, y)/ x A e y B} Se A B, logo B A = { (y, x)/ y B e x A} E (x, y) (y, x), segue-se que A B B A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. Se A possui m elementos e B, possui n elementos, então A B possui m x n elementos: n(a B) = n(a). n(b)

5 Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, então A B será composto por 4 x 3 = 12 pares ordenados, quais sejam: A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c)(3, d)} QUADRADO CARTESIANO DE UM CONJUNTO Particularmente quando A = B, o produto: A B = B A = A A chama-se o quadrado cartesiano do conjunto A, ou apenas o quadrado do conjunto A. Indicamos esse tipo de conjunto por A 2, que se lê: A dois. Os elementos de A 2 são todos os pares ordenados (x, y) tais que x e y pertencem a A. Simbolicamente: A 2 = { (x, y)/ x, y A } O conjunto de todos os pares ordenados idênticos (x, x), com x A, que é uma parte de A 2, chama-se a diagonal do quadrado cartesiano A 2 de A e indica-se por D A. Simbolicamente: D A = { (x, x)/ x A } Exemplo: Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, logo: A 2 = { (x, y)/ x, y A } A 2 = { (1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} D A = { (x, x)/ x A }

6 D A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Observe que o quadrado A 2 tem 3 2 = 9 elementos e que a sua diagonal D A tem 3 elementos. Dispondo os elementos de A 2 em forma de quadrado temos: A diagonal do quadrado é composta pelos pares ordenados idênticos (1, 1), (2, 2), (3, 3) o que justifica a denominação que se dá ao subconjunto { (1, 1), (2, 2), (3, 3)} de A 2. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DO PRODUTO CARTESIANO O produto cartesiano A B pode ser representado graficamente por um diagrama cartesiano, por uma tabela de dupla entrada ou por um diagrama sagital. DIAGRAMA CARTESIANO Tomam-se dois eixos ortogonais, 0x e 0y, representa-se sobre o eixo 0x o conjunto A e sobre o eixo 0y, o conjunto B. A seguir deve-se traçar paralelas a esses dois eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B. Os pontos de

7 intersecção dessas paralelas representam os pares ordenados (x, y), elementos de A B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, o diagrama cartesiano do produto A B é: A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c)(3, d)} TABELA DE DUPLA ENTRADA Numa tabela de dupla entrada escrevem-se os elementos do conjunto A na 1ª coluna da esquerda e os elementos do conjunto B na 1ª linha. Na intersecção da linha x com a coluna y, se encontra o par ordenado (x, y) A B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, a tabela de dupla entrada do produto A B é:

8 DIAGRAMA SAGITAL Constroem-se os diagramas de Venn dos conjuntos A e B, e cada um dos elementos de A é ligado por uma flecha a todos os elementos de B. Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}, o diagrama sagital do produto A B é: PROPRIEDADES DO PRODUTO CARTESIANO P1: A relação A B = é equivalente a A = ou B =, isto é:

9 A B = A = ou B = Suponhamos que A B = A e B Então, se A e B, x (x A) e y (y B) (x, y)[ (x, y) A B] A B O que contraria a hipótese A B =. Logo, A = ou B =. Suponhamos agora que A B, A = ou B = Então, se A B, (x, y) [(x, y) A B] x A e y B A e B O que contraria a hipótese A = ou B =. Logo, A B =. P2: A relação A B = B A é equivalente a A = ou B = ou A = B, isto é: A B = B A ( A = ou B = ou A = B) Se A = ou B = então, A B = = B A (Por P1). E se, por hipótese, A = B, então A B = B A. Suponhamos agora que A, B e A B. A B implica que: x ( x A e x B) ou x ( x A e x B) Se x A, como B, existe y B e portanto, (x, y) A B Mas, como por hipótese x B, então (x, y) B A. Logo, A B B A.

10 Agora, suponha que x A P3: A B ( A E B E e E A E B) Como A B então: (x, y) A E x A x B e y E e y E (x, y) B E A E B E Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como A B então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c, 1, 2, 3}, E = {7, 8} Logo, A E = {(1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)} B E = {(a, 7), (a, 8), (b, 7), (b, 8), (c, 7), (c, 8)(1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)} Como A B então: (x, y) E A x E x E e y A e y B (x, y) E B E A E B Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como A B então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c, 1, 2, 3}, E = {7, 8} Logo,

11 E A = {(7, 1), (8, 1), (7, 2), (8, 2), (7, 3), (8, 3)} E B = {(7, a), (8, a), (7, b), (8, b), (7, c), (8, c)(7, 1), (8, 1), (7, 2), (8, 2), (7, 3), (8, 3)} P4: i. A e A B A E B E ii. A e B A E A B E A proposição (i) é verdadeira no caso particular em que B =. Agora, suponhamos que B. Como por hipótese A, segue que se x A e y B, então: (x, y) A B (x, y) A E y E Logo, y B y E, isto é, B E. Seja A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8} Como B E então: A = {1, 2, 3}, B = { a, b, c}, E = {7, 8, a, b, c} Logo, A E = {(1,7), (1,8), (1, a), (1, b), (1, c), (2,7), (2,8), (2, a), (2, b), (2, c)(3,7), (3,8), (3, a), (3, b), (3, c)} A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)} De modo análogo prova-se a proposição (ii).

12 P5: Distributividade do produto cartesiano em relação a intersecção: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B e y E)} = {(x, y)/(x A e y B) e (x A e y E)} = {(x, y)/ (x, y) A B) e (x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii). P6: Distributividade do produto cartesiano em relação a união: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B ou y E)} = {(x, y)/(x A e y B) ou (x A e y E)} = {(x, y)/ (x, y) A B) ou (x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii).

13 P7: Distributividade do produto cartesiano em relação à diferença: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = {(x, y)/ x A e y (B E)} = {(x, y)/ x A e ( y B e y E)} = {(x, y)/(x A e y B) e (x A e y E)} = {(x, y)/((x, y) A B) ou ((x, y) A E) } = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii). P8: Distributividade do produto cartesiano em relação a diferença simétrica: i. A (B E) = (A B) (A E) ii. (A B) E = (A E) (B E) A (B E) = A [(B E) (B E)] = [A (B E)] [ A (B E)] = [(A B) (A E)] [(A B) (A E)] = (A B) (A E) De modo análogo prova-se a proposição (ii).

14 P9: (A B) (E F) = (A E) (B F) (A B) (E F) = {(x, y)/(x, y) A B e (x, y) E F} = {(x, y)/(x A e y B) e (x E e y F)} = {(x, y)/(x A e x E) e (y B e y F)} = {(x, y)/(x A E) e (y B F)} = (A E) (B F) P10: (A B) (E F) = (A E) (B F) (A B) (E F) = {(x, y)/ x A B e y E F} = {(x, y)/(x A e x B) e (y E e y F)} = {(x, y)/(x A e y E) e (x B e y F)} = {(x, y)/(x, y) (A E) e (x, y) (B F)} = (A E) (B F) DIFERENÇA SIMÉTRICA A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à união desses conjuntos, mas não pertencem a intersecção deles: A B = {x / x A B e x A B}

15 Exercícios: 1. Apresente os conjuntos A, B e E que satisfaçam as condições simultaneamente: a. A B = {a, b, c, 1, 2, 4} b. A E = {a, b, 1, 2, 3, 4} c. A B = {a, b} d. A E = {1, 2} e. B E = {4} f. A B E = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} 2. Sejam os conjuntos A = {1,2,3}, B = {2,3,4} e E = {a, b, c}. Calcule e represente geometricamente: a. (A B) (A E) b. A (B E) c. (A B) (A E) d. A (B E)

16 3. Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A B e n(a B) = 12, represente A B pelos seus elementos. 4. Sendo A = {x Z / 2 < x 4} e B o conjunto de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A B? 5. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e que n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2. Resoluções: 1. Apresente os conjuntos A, B e E que satisfaçam as condições simultaneamente: a. A B = {a, b, c, 1, 2, 4} b. A E = {a, b, 1, 2, 3, 4} c. A B = {a, b} d. A E = {1, 2} e. B E = {4} f. A B E = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} R: A = {a, b, 1, 2} B = {a, b, c, 4} E = { 1, 2, 3, 4} 2. Sejam os conjuntos A = {1,2,3}, B = {2,3,4} e E = {a, b, c}. Calcule e represente geometricamente:

17 a. (A B) (A E) R : (A B) (A E) = b. A (B E) R: {(1,2), (1,3), (1,4), (1, a), (1, b), (1, c), (2,2), (2,3), (2,4), (2, a), (2, b), (2, c), (3,2), (3,3), (3,4), (3, a), (3, b), (3, c)} c. (A B) (A E) R: {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)} d. A (B E) R: A (B E) = A = 3. Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A B e n(a B) = 12, represente A B pelos seus elementos. A = { 1, 0, 2} e B = {5, 2, 1} Mas como A B, logo B = { 1, 0, 2, 5} R: A B = {( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 2), ( 1, 5), (0, 1), (0, 0), (0, 2), (0, 5), (2, 1), (2, 0), (2, 2), (2, 5)} 4. Sendo A = {x Z / 2 < x 4} e B o conjunto de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A B? R: A B tem 54 elementos. 5. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e que n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2.

18 R: O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto, n(a 2 ) = [n (A)] 2 = 9 Logo, n (A) = 3 Se A é um conjunto com 3 elementos e como {(1, 2), (4, 2)} A 2 então (1, 2) A 2 e (4, 2) A 2. Logo, A = {1, 2, 4}. Portanto, A 2 = A A = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} Referências ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20 ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Nobel, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, PRODUTO CARTESIANO. Disponível em: < content/uploads/sites/12/2016/06/apostila-matematica RELA%C3%87%C3%95ES-e-FUN%C3%87%C3%95ES-cassio-.pdf >. Acesso em: 28 maio 2017.