Unidade 2 Conceito de Funções

Transcrição

1 Unidade 2 Conceito de Funções Conceito Sistema Cartesiano Ortogonal Estudo do domínio, contradomínio e imagem de função Representações de funções por meio de tabelas, gráficos e fórmulas

2 Conceito de Função Situação 1: Um vendedor, em dias de jogos de futebol, vende cachorros-quentes ao preço de R$1,80 a unidade. Ele deixa uma tabela exposta para que os clientes saibam quando será a conta, dependendo do número de cachorros-quentes consumidos. Com essa tabela, os clientes não precisam fazer cálculos para saber qual será o valor da conta. Pelo menos, se o consumo for de até cinco cachorrosquentes.

3 Essa situação que envolve a relação de dependência entre duas grandezas: a quantidade de cachorros-quentes vendidos e o valor a ser cobrado.

4 Situação 2: Alguns paraquedistas caem em queda livre, sujeitos apenas à ação da gravidade, de uma altura inicial igual a 1000 metros. Desprezando a resistência do ar, observe a altura em que eles se encontram após alguns segundos de queda.

5 Mais uma vez, existe uma relação de dependência entre o tempo de queda e a altura em que se encontra os paraquedistas. Se conhecêssemos essa relação, poderíamos, por exemplo, encontrar o instante em que atingiram o solo, caso nã usassem o parequedas.

6 Podemos utilizar a linguagem dos conjuntos para representar essa situação, de tal forma que, para cada elemento do conjunto A (tempo de queda), exsiste um único elemento do conjunto B (altura em relação ao solo) associado a ele.

7 Se representar o tempo pela letra t e a altura pela letra h, dizemos que as grandezas t e h estão relacionadas, ou seja, que existe uma correspondência entre t e h. Em outras palavras, dizemos que h (altura) é uma função de t (tempo).

8 Conceito Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função f de A em B, representamos por f :A B, é uma relação que associa a cada elemento x A um único elemento correspondente y B. Em símbolos, escrevemos: y = f (x) y é uma função de x

9 Sistema Cartesiano Ortogonal Em 1596, em La Haye, França, nasceu uma pessoa fascinante, digna dos mais efusivos elogias. Renè Descartes ( ), conhecido como o pai da Filosofia moderna, é considerado um dos maiores pensadores da História. Além de interessantes trabalhos publicados em Filosofia e Teologia, Descartes acreditava que somente por meio da Matemática seria possível compreender o mundo. Em sua extensa obra, nosso interesse será focado em uma das sua maiores invenções: o sistema cartesiano ortogonal.

10 Esse sistema é constituído por um plano em que existem dois eixos orientados e perpendiculares. Sobre esse plano, podemos representar pontos constituídos de duas coordenadas. O eixo horizontal será denominado eixo das abscissas e o eixo vertical denominado, eixo das ordenadas. Para localizar um ponto, é preciso conhecer as coordenadas (x; y). A coordenada x, chamada de abscissa do ponto, será representada no eixo da horizontal; A coordenada y, chamada de ordenada do ponto, será representada no eixo das vertical.

11 Eixo das ordenadas 2º Quadrante Q ( - ; +) 1º Quadrante P (+ ; +) Q (x; y) y P (x; y) 0 x Eixo das abscissas R (x; y) S (x; y) 3º Quadrante P (- ; -) 4º Quadrante P (+ ; -)

12 Estudo do domínio, contradomínio e da imagem de uma função Numa função, é importante saber não apenas a lei (ou expressão matemática) que permite relacionar as grandezas, mas também quais números cada uma delas pode assumir e quais são efetivamente relacionados. Para tanto, precisamos conhecer de domínio, contradomínio e conjunto-imagem de uma função.

13 Estudo do domínio, contradomínio e da imagem de uma função Considere a função f ilustrada a seguir. A B f: A B Imagem de f Domínio de f Contradomínio de f

14 Estudo do domínio, contradomínio e da imagem de uma função O domínio de f é o conjunto A, considerado o conjunto de partida ou campo de existência de f. O contradomínio de f é o conjunto B, formado conjunto de chegada. O subconjunto de A, e denominado conjuntoimagem de f. Domínio de f: D(f) = A = {1, 2, 3, 4} Contradomínio de f: CD(f) = B = {5, 6, 7, 8} Imagem de f: Im(f) = {5, 6, 7}

15 Estudo do domínio, contradomínio e da imagem de uma função

16 Estudo do domínio, contradomínio e da imagem de uma função f ( x) = y f ( 1) = 5 f ( 2) = 5 f ( 3) = 6 f ( 4) = 7 Elementos x pertencentes ao domínio Elementos y pertencentes á imagem

17 Representações de funções por meio de tabelas, gráficos e fórmulas As funções podem ser aplicadas em inúmeras situações que são descritas por meio de modelos matemáticos. Em experiências científicas por exemplo, é frequente a utilização de relações matemáticas envolvendo grandezas com objetivo de estudar um determinado fenômeno.

18 A usina Hidrelétrica de Itaipu foi construída no Rio Paraná na década de 70 do século XX e hoje é responsável por 25%de energia consumida no Brasil e por 95% da demanda do Paraguai. Sua obra monumental foi considerada por uma revista especializada dos EUA uma das setes maravilhas do mundo moderno. Atualmente, ela gera, em média, cerca de 8GW (gigawatts) de energia por hora. Sendo t o tempo em horas e E = f(t) a energia gerada pela hidrelétrica, a lei E = 8t Relaciona a energia E em função do tempo t. Se, para cada valor de t, temos em correspondência um único valor de E, podemos associar para cada par de valores (t; E) um ponto P(t; E) no plano cartesiano ortogonal.

19 Representações de funções por meio de tabelas, gráficos e fórmulas Assim, por intermédio da função, podemos calcular a energia gerada em um instante qualquer. E = f(t) = 8. t t = 0 E = f (0) = 8.0 = 0 (No instante 0, nada foi gerado) t = 1 E = f (1) = 8.1 = 8 (1;8) (0;0) (Após1 hora, 8GW de energia foram gerados) t = 2 E = f (2) = 8.2 = 16 (2;16) (Após 2 hora,16gw de energia foram gerados) t = 3 E = f (3) = 8.3 = 24 (3;24) (Após 3 hora, 24GW de energia foram gerados)

20 Representações de funções por meio de tabelas, gráficos e fórmulas Procedendo dessa maneira, podemos encontrar mais coordenadas de pontos. Localizando os pontos por meio de suas coordenadas cartesianas, podemos construir o gráfico da função e ter uma ideia de seu comportamento.

21 Os pontos estão alinhados, já que, par acréscimos iguais a t, temos acréscimos iguais a E. À variável t (tempo) foram atribuídos apenas alguns valores. Se atribuímos também todos os infinitos valores reais positivos para t, teremos uma semirreta formada por infinitos pontos.

22 O gráfico da função é uma semirreta com extremidade na origem. Todas as vezes que construímos o gráfico, é importante observar qual é o domínio dessa função. Como t assume apenas valores reais não negativos, ou seja, t 0, temos: D t ( ) = { t R / t 0} = R+ Os valores de E associados a t constituem o conjuntoimagem. Pelo gráfico, observamos que E assume valores positivos ou nulos. Im ( t) = { E R / E 0} = R+ O contradomínio, quando não declarado, é considerado o conjunto formado por todos os números reais. Então nesse caso; CD( t) = R

23 Conclusão Por intermédio do gráfico de uma função, podemos compreender o comportamento de uma variável em relação à outra, além de observar tendências. Podemos também obter o domínio e a imagem dessa função.