AXB = {(x, y) x A e y B}

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1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE PAULISTA LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA Produto Cartesiano Par ordenado: são dois elementos em uma ordem fixa, (x,y) Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados,nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B: AXB = {(x, y) x A e y B} Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano AXB; a) representação ou forma tabular: AXB = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} b) representação ou forma gráfica: Relação Binária Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação binária (R) de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B, ou seja, R AXB. O conjunto A é chamado de domínio, isto é, origem ou conjunto de partida de R. O conjunto B é chamado de contradomínio, isto é, destino ou conjunto de chegada de R. Os elementos de A são chamados de x e os elementos de B são chamados de y. O conjunto formado por todos os y pertencentes à relação chamamos de imagem. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A X B, temos: A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} Vamos considerar uma relação binária do produto cartesiano A X B, em que, o y é o dobro de x. Na linguagem simbólica: xry R = {(x, y) AXB y = 2x}.

2 Ou seja, a relação pedida é: R = {(2,4), (3,6)} Esta relação pode ser representada por um diagrama de flechas e também por um gráfico cartesiano: Neste exemplo temos: Domínio: D (R) = {1,2,3} Contradomínio: CD (R) = (4,5,6} Imagem: Im (R) = {4,6} Relação Inversa Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por: R 1 = {( y, x) BXA (x, y) R}. Exemplo: Sejam A = {a,b,c} e B = {d,e,f} e R uma relação em AXB, definida por: R = {(a,d), (a,e),(a,f), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)} Então: R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Propriedades das Relações No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo poucos elementos, é útil a representação através do esquema de flechas. Representamos o conjunto A com seus elementos e indicamos cada par (x,y) da relação através de uma flecha com origem x e extremidade y. Se (x,x) está na relação, usa-se um laço envolvendo a, conforme o exemplo: Exemplo: O esquema abaixo representa a relação: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,b)} sobre A = {a,b,c} 2

3 Propriedade Reflexiva Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja,para todo x A: (x, x) R, isto é, para todo x A: xrx. Exemplo: Uma relação reflexiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é reflexiva pois c não se relaciona com c. Propriedade Simétrica Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x, y) R,segue que ( y, x) R Exemplo: Uma relação simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,b), (c,c), (b,a)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é simétrica pois a se relaciona com c mas c não se relaciona com a. Propriedade Transitiva Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x, y) R e ( y, z) R então (x, z) R. Exemplo: Uma relação transitiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,c), (c,b), (a,b)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c)} sobre A = {a,b,c} não é transitiva pois arb e brc mas a não se relaciona com c. Propriedade Anti-simétrica Uma relação R é anti-simétrica se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,b), (a,b)} Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} sobre A = {a,b,c} não é antisimétrica pois sendo a b, arb e bra. Relação de Equivalência Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ordem Parcial Uma relação binária em um conjunto A que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de uma ordem parcial em A. 3

4 Ordem Total Uma ordem parcial onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos é chamada de ordem total ou cadeia. FUNÇÃO Definição: Dados dois conjuntos A e B (formados por números reais), não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x,y) f. A) Esquema de flechas É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x,y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha. É necessário que cada elemento x A participe de apenas um único par (x,y) f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Exemplos Contra-exemplos B) Gráfico cartesiano Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função; basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0), em que x A, encontra sempre o gráfico em um só ponto. Exemplo A = { x 1 x 3} Contra-exemplo A = { x 2 x 2} 4

5 Notação das funções Toda função é uma relação binária de A em B; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x,y) f, então f = {(x,y) x A, y B e y = f(x)} Exemplos: f: A B tal que y = 2x f: IR IR tal que y = x 2 Imagem de um elemento Se (a,b) f, o elemento b é chamado imagem de a pelo valor de f no elemento a, e indicamos f(a) = b. Exemplo: Seja a função f: IR IR tal que y = 2x + 1, então: a) a imagem de 0 pela função f é 1, isto é: f(0) = = 1 b) a imagem de -2 pela função f é -3, isto é: f ( 2) = 2 ( 2) + 1 = 3 Domínio e imagem Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x,y) f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é, D = A. Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x,y) f; portanto: imagem é subconjunto do contradomínio, isto é, Im B. Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos: 5