ELEMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA Exame de Segunda Data 18/01/2011

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1 Uma Resolução ELEMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA Exame de Segunda Data 18/01/ Seleccione e transcreva para a sua folha de exame a única opção correcta: A fórmula proposicional (p q) (p q) é a) logicamente equivalente a (p q) b) logicamente equivalente a (p q) c) logicamente equivalente a p d) uma contradição c) logicamente equivalente a p 2. (a) Transcreva para a sua folha de exame e complete a seguinte tabela de verdade p q q p q (p q) q e use-a para obter uma fórmula logicamente equivalente a (p q) q na forma normal disjuntiva. (p q) q pq pq (b) Mostre, sem usar tabelas de verdade, que (p q) p é logicamente equivalente a p q. (p q) p (p q) p ( p q) p ( p p) ( q p) (p q) (p q) (c) Para cada uma das afirmações seguintes, diga (sem justificar) se é Verdadeira ou Falsa: i. x R y R(x < y z R(x < z < y)) ii. x Z y Z(x < y x 2 < y 2 ) i. Verdadeira ii. Falsa

2 3. Sejam A = {x N x 2 < 11}, B = {5,9} e C = P(B). Represente em extensão os conjuntos a seguir indicados: (a) A = {1,2,3} (b) B A = {5,9} (c) C = {,{5},{9},{5,9}} (d) B A = {1,2,3,5,9} 4. (a) Aplicando convenientemente as Leis de DeMorgan, escreva a negação da seguinte proposição: x y(xry (yrx yry)) x y(xry (y Rx y Ry)) (b) Considere o conjunto A = {alunos inscritos na FCUL}, e a função f : A N 0 tal que, para cada aluno x, f(x) é o número de disciplinas em que já foi aprovado. i. Diga, justificando, se f é injectiva. ii. Considere a relação binária R, definida no conjunto A por Diga, justificando, se: R é transitiva; R é anti-simétrica. xry f(x) f(y) i. A função f NÃO É injectiva, porque há alunos diferentes que foram aprovados no mesmo número de disciplinas. ii. A relação binária R É transitiva: se arb e brc, então temos f(a) f(b) e f(b) f(c); pela transitividade da relação de ordem nos números inteiros, concluímos que f(a) f(c), i. e., que arc. A relação binária R NÃO É anti-simétrica, porque há alunos que foram aprovados no mesmo número de cadeiras. Tomando dois alunos diferentes, a e b, aprovados no mesmo número de disciplinas, temos arb e bra, mas a b.

3 5. a) Diga o que entende por uma relação de equivalência num conjunto X. Uma relação de equivalência num conjunto X é uma relação binária em X que é reflexiva, simétrica e transitiva. b) Considere, no conjunto A = {a,b,c,d,e,h,i}, a relação de ordem parcial descrita pelo seguinte diagrama de Hasse: i c a d b e h i. Indique todos os majorantes do conjunto {a,b} e diga se existe supremo deste conjunto. ii. Indique, em cada caso, elementos de A nas condições indicadas, caso existam: A. Um elemento minimal diferente de h. B. Um elemento maximal C. a e D. Um par de elementos que não tenha ínfimo iii. Diga, justificando, se o c.p.o. é ou não um reticulado. i. Os majorantes do conjunto {a,b} são c, d e i. Como não existe mínimo do conjunto {c,d,i}, o conjunto {a,b} não tem supremo. ii. A. e B. i C. d D. b e e iii. O c.p.o. NÃO É um reticulado, porque, por exemplo, há pares de elementos que não têm supremo (como se viu na alínea i.) (para ser reticulado, cada par de elementos tem de ter supremo e ínfimo).

4 6. Sejam A = {a,b,c}, B = {h,i,j,k} e C = {1,2,3,4,5}. a) Em cada uma das alíneas seguintes, descreva uma função nas condições indicadas ou explique por que razão tal função não existe. (Pode usar diagramas de Venn se o desejar) i. uma função injectiva, mas não sobrejectiva, f : A C; ii. uma função sobrejectiva g : B C. b) Usando diagramas de Venn, descreva duas funções f : A B e g : B C, tais que (g f)(a) = (g f)(b) = 1, (g f)(c) = 2 e f(a) f(b). a) i. ii. Não existe nenhuma função sobrejectiva de B para C, porque o conjunto B tem menos elementos do que C. a 1 2 b 3 c 4 5 b) a f h i g 1 2 b j 3 c k a) Das quatro afirmações seguintes, apenas duas são verdadeiras, para quaisquer números inteiros a e b. Transcreva-as para a sua folha de exame. (i) Se mdc(a,b) 24, então a 24 ou b 24. (ii) Se mdc(a,b) 24, então 5 a ou 5 b. (iii) Se a 16 e b 24, então mmc(a,b) 48. (iv) Se mmc(a,b) 48, então a 16 e b 24. (ii) Se mdc(a,b) 24, então 5 a ou 5 b. (iii) Se a 16 e b 24, então mmc(a,b) 48.

5 b) Justifique APENAS UMA das afirmações que seleccionou como verdadeiras. (ii) Se a 16, e como 16 48, também, por transitividade, a 48. Analogamente, porque b 24 e 24 48, também b 48. Por definição de mínimo múltiplo comum, concluímos que mmc(a,b) 48. c) Para APENAS UMA das afirmações que não são verdadeiras, apresente um contraexemplo adequado. Contra-exemplo para a afirmação (iv): se a = 48 e b = 48, tem-se mmc(a,b) 48, mas a a) Considere o número inteiro n = Sem efectuar a multiplicação, determine o resto da divisão de n por 4. b) Considere, para um certo inteiro positivo m, a congruência 12x 3(modm). i. Para m = 11, indique uma solução da congruência. ii. Mostre que, para m = 18, a congruência não admite soluções. a) Pelo critério de congruência módulo 4, cada número é congruente com o número formado apenas pelos algarismos das dezenas e das unidades, pelo que e Logo, temos n = = 9 1 O resto da divisão de n por 4 é igual a 1. b) i. Como 12 1(mod11), temos 12x x(mod11), peloque uma solução dacongruência 12x 3(mod11) é x = 3. ii. Como mdc(12,18) = 6 3, a congruência 12x 3(mod18) não tem soluções. 9. a) Utilize a decomposição em factoresprimos de1029 = e413 = 7 37 paradeterminar o mdc(1029,413). b) Diga, justificando, qual o menor número inteiro positivo u que se pode escrever na forma u = 1029x+413y, com x e y inteiros. a) Das decomposições de 1029 e 413 em factores primos resulta imediatamente que mdc(1029, 413) = 7. b) O menor número inteiro positivo que se pode exprimir na forma indicada é o mdc(1029, 413) que, como vimos na alínea anterior, é igual a a) Considere as matrizes A = B =

6 Para cada um dos produtos A B e B A, calcule-o ou explique por que razão não faz sentido. b) i. Escreva a matriz que determina, em R 3, uma homotetia de centro na origem e razão 3. ii. Escreva uma matriz P tal que P = a) O produto A B não faz sentido, porque o número de colunas de A não é igual ao número de linhas de B. B A = = b) i ii. P = a) Usando congruências módulo 7, mostre que, para quaisquer inteiros x e a, 10x+a 0(mod7) se e só se x 2a 0(mod7). (Sugestão: para estabelecer uma das implicações, multiplique 10x + a por 2; para a outra, multiplique x 2a por 3) b) Utilize o resultado estabelecido na alínea anterior para mostrar que o número 7133 é divisível por 7, sem efectuar a divisão. [Nota: este resultado permite estabelecer um critério de divisibilidade por 7, que não estudámos nas aulas.] a) Supondo que 10x+a 0(mod7), então temos, módulo 7: 0 = ( 2) 0 ( 2) (10x+a) = 20x 2a x 2a em que a última congruência resulta de que 20 1(mod7). Reciprocamente, se x 2a 0(mod7): 0 = (x 2a) = 3x 6a 10x+a em que a última congruência resulta de ser 3 10(mod7) e 6 1(mod7). b) Pelo resultado anterior 7133 = será divisível por 7 (i. e., congruente com zero módulo 7) se e só se o for. Ora = 707 = é divisível por 7; logo, 7133 também o é.