Matemática Discreta 11/12 Soluções

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1 Matemática Discreta 11/1 Soluções Lógica 1. (a) Não é proposição. (b) Proposição verdadeira. (c) Proposição falsa. (d) Não é proposição. (e) Proposição falsa. (f) Não é proposição.. (a) e. (c) A primeira edição do Memorial do Convento não tem 1500 páginas. (e) Alguns números ímpares não são divisíveis por. 4. a b = a b, a b = ( a b) ( b a) e a b = (a b) (b a). 6. (a) Não é tautologia. (b) É tautologia. (c) Não é tautologia. (d) É tautologia. 7. (a) É contradição. (b) É contradição. (c) Não é contradição. (d) Não é contradição. 8. (a) São logicamente equivalentes. (b) Não são logicamente equivalentes 9. (a) a b. (b) a b. (c) a (b c). (d) b a. (e) a b. (f) (a) a = 1, b = 0. (b) a = b = 1. (c) a = b = c = (a) Argumento válido. (b) Argumento válido. (c) Argumento válido. (d) Argumento incorrecto. (e) Argumento válido. (f) Argumento incorrecto. 1. Argumento válido. 1. (a) A é uma tautologia. (b) Não são equivalentes. (c) Argumento válido.

2 Matemática Discreta 11/1 Soluções Conjuntos 14. (a) Proposição falsa. (b) Proposição verdadeira. (c) Proposição falsa. (d) Proposição falsa. (e) Proposição verdadeira. (f) Proposição falsa. (g) Proposição verdadeira. (h) Proposição verdadeira. (i) Proposição verdadeira. (j) Proposição verdadeira. (k) Proposição verdadeira. (l) Proposição falsa. 15. (a). (b) ou. (c). (d) ou. 16. (a) [, + [ e R\{, 11}. (b) [, + [ e. (c) [ 1, 5[ \{}. (d) {(x, y) R : (x = x = 11) 1 y < 5}. (e) [, 1[ {} [5, + [. (f) ], [ {11}. 18. (b) T 00 e T 5. (c) N e {1} P({a}) = {, {a}}, P( ) = { }, P({ }) = {, { }} e P(P( )) = P({ }) = {, { }}.. ], 1[ ]1, + [ e [ 1, 1]. 4. (a) x H, p(x). (b) Existe pelo menos um homem que foi à Lua. (c) x H, p(x). (d) Todos os homens foram à Lua. (e) x H, p(x). (f)nenhum homem foi à Lua. 5. (a) x R, x + 5 = 0. (b) x R : x (c) x N : x não é número primo. (d) x N, x não é múltiplo de 5 ou x não é múltiplo de 6. (e) x N, y N, x > y y 4. (f) x N, y N, x + y x xy 0. (g) x R, x R : x y = 7. (h) x R, y N : x y. 6. (a) Qualquer homem é pai de alguma mulher. (b) Existe pelo menos um homem que é pai de todas as mulheres. (c) Existe pelo menos um homem que é pai de pelo menos uma mulher. (d) Qualquer homem é pai de todas as mulheres. (e) Existe pelo menos um homem que não é pai de nenhuma mulher. (f) Para cada homem, existe pelo menos uma mulher de quem ele não é pai.

3 Matemática Discreta 11/1 Soluções Relações 7. (a) A B = {(a, 1), (a, ), (a, ), (a, 4), (b, 1), (b, ), (b, ), (b, 4), (c, 1), (c, ), (c, ), (c, 4)}, B A = {(1, a), (, a), (, a), (4, a), (1, b), (, b), (, b), (4, b), (1, c), (, c), (, c), (4, c)}, A C = {(a, pão), (a, queijo), (b, pão), (b, queijo), (c, pão), (c, queijo)}, C C = {(pão, pão), (pão, queijo), (queijo, pão), (queijo, queijo)}. (b) i. R = {(a, 1), (a, ), (b, 1), (c, 4)}. ii. S = {(1, c), (, c), (, c), (4, c)}. iii. T = {(a, pão), (a, queijo), (b, queijo), (c, pão), (c, queijo)}. iv. U = {(pão, pão), (pão, queijo), (queijo, queijo)}. Há duas relações reflexivas e não simétricas: U e U = {(pão, pão), (queijo, pão), (queijo, queijo)}. 8. (a) não reflexiva, simétrica e não transitiva. (b) não reflexiva, simétrica e não transitiva. (c) reflexiva, simétrica e transitiva. (d) não reflexiva, não simétrica e não transitiva. (e) não reflexiva, simétrica e transitiva. (f) não reflexiva, simétrica e não transitiva. 9. R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (d, e), (e, d), (b, c), (c, b)}. [a] = [b] = [c] = {a, b, c} e [d] = [e] = {d, e}. 0. [(1, k)] = {(a, ka) : a N}, k N. 1. (a) É cpo, mas não é cto e não é bem ordenado. (b) Não é cpo (nem cto) e não é bem ordenado. (c) É cpo, é cto e não é bem ordenado. (d) É cpo, mas não é cto e não é bem ordenado.. (b) A = {1,, 15, 75}.. (b) A = {{}, {, 4, 5}}. 4. (a) reflexiva: (a, b) R, (a, b) (a, b) porque a = a b b (verifica a a condição da definição de ); anti-simétrica: (a, b) (x, y) (x, y) (a, b) (a, b) = (x, y) porque (a, b) (x, y) (x, y) (a, b) = [a < x (a = x b y)] [x < a (x = a y b)]. Então temos quatro casos: (a < x x < a) [a < x (x = a y b)] [(a = x b y) x < a] [(a = x b y) (x = a y b)], que se podem representar da seguinte forma: a < x a = x b y x < a x = a y b x < a x = a y b. imp imp imp O único caso possível é o último, onde se deduz que a = x b = y, ou seja, (a, b) = (x, y). transitiva: Queremos provar que (a, b) (x, y) (x, y) (u, v) (a, b) (u, v). Os casos

4 possíveis estão representados no diagrama: a < x a = x b y x < u a < u x = u y v a < u x < u a < u x = u y v a = u b v. Logo, concluímos que a = u (a = u b v, i.e. (a, b) (u, v). (R, ) é um cpo. Falta provar que é um cto: (a, b), (x, y) R, podemos afirmar que a < x a = x x < a. Se a < x, então (a, b) (x, y). Se x < a, então temos (x, y) (a, b). Se a = x, então temos dois casos para as ordenadas: b y, o que leva a concluir que (a, b) (x, y), ou temos y b, o que leva a concluir que (x, y) (a, b). Em todos os casos podemos sempre afirmar que (a, b) (x, y) ou (x, y) (a, b), i.e. quaisquer dois elementos de R estão relacionados por. (b) i. min F = (0, 1), max F = (1, 0). ii. min Q = (1, ), max Q. iii. min P, max P. iv. min S, max S = (1, ). 5. (a) f() = { 4, f(6) = 1, f f() = f(f()) = 5, f f(5) = f(f(5)) = 1. (b) f é bijectiva. (c) f 1 x 1, x 1 (x) = 6, x = 1 6. (a) f() = 1, f(6) =, f f() = f(f()) = 1, f f(5) = f(f(5)) = 1. (b) f não é injectiva nem sobrejectiva. (c) Não existe f 1 por f não ser bijectiva. 7. f não é aplicação porque ln não está definida para valores negativos; g não é aplicação porque cada número inteiro tem mais do que um divisor (a), (c), (h). (b), (d), (e), (f), (g).

5 Matemática Discreta 11/1 Resolução Indução 44. (b) n = 0: temos n = 0 = 1 e (n + 1)! = (0 + 1)! = 1. Logo 0 (0 + 1)!. Suponhamos que n (n + 1)!, para algum n 0. Queremos provar que n+1 (n + )!. Então n+1 = n (n + 1)! por hipótese (n + 1)!(n + ) porque 0 n n + = (n + )!. 44. (c) n = : temos n (n!) = (!) = 16 e (n)! = (4)! = 4. Logo (!) < ( )!. Suponhamos que n (n!) < (n)!, para algum n. Queremos provar que n+1 ((n + 1)!) < ((n + 1))!. Então n+1 ((n + 1)!) = n ((n + 1)n!) = n (n + 1) (n!) < (n)! (n + 1) por hipótese = (n)! (n + 1)(n + 1) = (n)!(n + )(n + 1) < (n)!(n + )(n + 1) porque n < n n + 1 < n + 1 = (n + )!. 44. (e) n = 1: temos 4 n = 4 1 = 4 e n = 1 = 1. Logo 4 1 > 1. Suponhamos que 4 n > n, para algum n 1. Queremos provar que 4 n+1 > (n + 1). Então 4 n+1 = 4n 4 > n 4 por hipótese = (n ) = (n + n) (n + 1) porque n 1 n + n n + 1 (n + n) (n + 1). 44. (g) n = 1: temos (1 + x) n = (1 + x) 1 = 1 + x e 1 + nx = 1 + x. Logo (1 + x) x. Suponhamos que (1 + x) n 1 + nx, para algum n 1. Queremos provar que (1 + x) n (n + 1)x. Então (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx por hipótese > 1 + (n + 1)x porque n 1 e x > 0 nx > (h) n = 1: temos n + n = + 1 = é par. Suponhamos que n +n é par, para algum n 1. Queremos provar que (n+1) +(n+1) é par. Então (n + 1) + (n + 1) = (n + n + 1) + n 1 = n + 7n + = (n + n ) + 6n + 4, que é par, pois (n + n ) é par, por hipótese, e 6n e 4 também são pares. 44. (i) n = 1: temos n = 1 + = e n+1 1 = =. Logo = Suponhamos que 1+ + n = n+1 1, para algum n 1. Queremos provar que 1+ + n + n+1 =

6 n+ 1. Então n + n+1 = n n+1 por hipótese = n+1 1 = n (k) n = 1: temos n (n + 1) = 1 = e 1 = 1(1 + 1)(1 + ). n(n + 1)(n + ) = 1(1 + 1)(1 + ) = 1. Logo n(n + 1)(n + ) Suponhamos que n (n + 1) =, para algum n 1. Queremos provar (n + 1)(n + )(n + ) que n (n + 1) + (n + 1) (n + ) =. Então n (n + 1) + (n + 1) (n + ) = n(n + 1)(n + ) = + (n + 1) (n + ) por hipótese n(n + 1)(n + ) + (n + 1)(n + ) = (n + 1)(n + )(n + ) = 45. Começamos por determinar algumas somas: n = 1: a soma do primeiro ímpar é 1 n = : a soma dos primeiros ímpares é 1 + = 4 n = : a soma dos primeiros ímpares é = 9 n = 4: a soma dos primeiros 4 ímpares é = 16 colocando (n + 1)(n + ) em evidência. n = 5: a soma dos primeiros 5 ímpares é = 5 Ao fim de algumas tentativas, parece que a soma dos primeiros n ímpares é igual a n. Vamos mostrar que esta afirmação é verdadeira, i.e. vamos provar que n 1 = n, n 1. n = 1: já foi verificado. Suponhamos que n 1 = n, para algum n 1. Queremos provar que n 1 + (n + 1) 1 = (n + 1). Então n 1 + (n + 1) 1 = n + n + 1 por hipótese = (n + 1) caso notável. 46. (a) n = 1: temos x n = x 1 e x 1 + (n 1)r = x 1 + (1 1)r = x 1. Logo x 1 = x 1 + (1 1)r. Suponhamos que x n = x 1 + (n 1)r, para algum n 1. Queremos provar que x n+1 = x 1 + nr. Então x n+1 = x n + r por ser uma progressão aritmética = x 1 + (n 1)r + r por hipótese = x 1 + nr. 46. (b) n = 1: temos n i=1 x i = 1 i=1 x i = x 1 e x 1 + x n n = x 1 + x 1 Suponhamos que n i=1 x i = x 1 + x n x 1 + x n+1 (n + 1). Então 1 = x 1. Logo 1 i=1 x i = x 1 + x 1 n, para algum n 1. Queremos provar que n+1 i=1 x i = 1.

7 n+1 i=1 x i = n i=1 x i + x n+1 = x 1 + x n n + x n+1 = x 1n + x n n + x n+1 = x 1n + (x n+1 r)n + x n+1 = x 1n + x n+1 n rn + x n+1 + x n+1 = x 1n + x n+1 (n + 1) + x 1 = x 1(n + 1) + x n+1 (n + 1) = x 1 + x n+1 (n + 1). por hipótese porque x n = x n+1 r por definição de progressão aritmética por (a), sabemos que x 1 = x n+1 nr 47. (a) n = 1: temos x n = x 1 e x 1 r n 1 = x 1 r 1 1 = x 1. Logo x 1 = x 1 r 1 1. Suponhamos que x n = x 1 r n 1, para algum n 1. Queremos provar que x n+1 = x 1 r n. Então x n+1 = x n r por ser uma progressão geométrica = x 1 r n 1 r por hipótese = x 1 r n. 47. (b) n = 1: temos n i=1 x i = 1 i=1 x r n 1 i = x 1 e x 1 r 1 = x r r 1 = x 1. Logo 1 i=1 x r 1 1 i = x 1 r 1. Suponhamos que n i=1 x r n 1 i = x 1 r 1, para algum n 1. Queremos provar que n+1 i=1 x i = r n+1 1 x 1 r 1. Então n+1 i=1 x i = n i=1 x i + x n+1 r n 1 = x 1 r 1 + x n+1 por hipótese r n 1 = x 1 r 1 + x 1 r n por (a) = x 1 ( r n 1 r 1 + rn ) = x 1 r n 1 + r n+1 r n r 1 = x 1 r n+1 1 r n = : temos = Vejamos ainda o caso n = : temos = Suponhamos que = 1 + 0, = 0 + 1,, n 1 = î + ĵ, n = i + j, para algum n 4. Queremos provar que i, j N 0 : n + 1 = i + j. Então n + 1 = (n 1) + = î + ĵ + por hipótese = (î + 1) + ĵ. Assim, i = î + 1, j = ĵ : n + 1 = i + j.

8 Matemática Discreta 11/1 Soluções Divisibilidade/Congruências 50. (a) 441. (b) 1. (c) 11. (d) 4. (e) (f) , , 41 8, (a) (b) B9 16 e 15E 16. (c) e (d) e (a) (b) (c) 6757E 16 (d) (a) b = 6. (b) b =. (c) b = 1. (d) b = (a) Todos os números x: 81 x 168. (b) Todos os números x: 4 x x =. 57. x = e (a) x = 0, y = 0. (b) x = 5, y = (a) A9 1, 95B41 1. (b) A18 1, 95C51 1. (c) 9EF 5 16, 95F (d) , (e) , 1 4. (f) , (g) (h) 18DCB 16. (i) (j) (k) 1994BB 1. (l) 510F C 16. (m) (n) (o) 5 1. (p) 41AB 16. (q) (r) A1BB ,,, 5, 6, 15, 0 0, 1, 5, 7, 5 5, 1,, 5, 9, 15, 45 45, 1,, 4, 8, 16,, É divisível por, 4, 8, 16 mas não por. 6. É divisível por 5, 5, 15 mas não por (a) Divisível por mas não por 9. (b) Divisível por e por 9. (c) Não é divisível por nem por 9. (d) Não é divisível por nem por São divisíveis por 11 (a) e (b). 67. (a) x = 0. (b) x = 9. (c) x = 7, y = ou x =, y = 6. (d) x = 1, y = 6. (e) x = 7. (f) y = 0, x = 1 ou y = 0, x = 8 ou y = 5, x = a sse r 0, a sse (r 0 + r 1 + r + r + r 4 + ), 4 a sse 4 r 0, 5 a sse 5 (r 0 + r 1 + 4r + r + r 4 + r 5 + ), 6 a sse 6 (r 0 + r 1 + 4r + r + 4r 4 + ), 7 8 sse 7 (r 0 + r 1 + r + ). 69. (a) x = 7, y = 0 ou x = 1, y = 6. (b) x = y = (a) 0. (b) (a) 18 = (b) = (c) 5 = (a) mas (b) 8 e (c) x = (a) x = 6, y = 180 ou x =, y = 6 ou x = 1, y = 90 ou x = 18, y = 60. (b) x = 1, y = 48 ou x = 4, y = 6. (c) x = 9 (y = 56 y = 168 y = 504) ou (y = 504 (x = 1 x = ).

9 { { x = k x = 5 + 4k 76. (a) Não admite soluções inteiras. (b), k Z. (c), k Z. (d) y = k y = 8 69k { { x = k x = 9 + 6k, k Z. (e) Não admite soluções inteiras. (f) y = 6 7k y = 7 47k, k Z. 77. Há três possibilidades: 4 selos de 6 cêntimos e 4 de 15 cêntimos; 9 selos de 6 cêntimos e de 15 cêntimos; 14 selos de 6 cêntimos e 0 de 15 cêntimos l de leite e 4 pacotes de bolachas. 79. Não são congruentes (c), (e) e (g). 80. (a) m {, 4, 5, 10, 0}. (b) m = 5. (c) m N. 81. (a) 5. (b) 8. (c). (d) 4. (e) 6. (f) 4. (g) 0. (h) (a) 1. (b) 0. (c) 5. (d) 0. (e) 6. (f) (a) É divisível por 7. (b) Não é múltiplo de 14.

10 Matemática Discreta 11/1 Algumas Soluções Grafos 94. (a) G 1, G 5. (b) G, G 4. (c) G, G 4. (d) G 1, G, G. (e) G, G 4. (f) G. 94. (a) G 1, G 5. (b) G, G 5. (c) G, G 4. (d) G 1, G, G. (e) G. (f) G G 1 : gr(1) = gr() = gr() = gr(7) = gr(8) = gr(9) = 1, gr(6) =, gr(4) = gr(5) = 4 G : gr(a) = gr(b) = gr(c) = gr(d) = gr(e) = 4 G : gr(1) = 5, gr() = 1 G 4 : gr(1) = gr() = 4, gr() =, gr(4) = 5, gr(5) = 0 G 5 : gr(a) = gr(b) = gr(c) = gr(d) = gr(e) = G 6 : gr(p) = gr(q) = gr(r) = gr(s) = G 1 : gr (1) = 0, gr + (1) = 1, gr () = 0, gr + () = 1, gr () = 0, gr + () = 1, gr (4) =, gr + (4) =, gr (5) =, gr + (5) =, gr (6) = 1, gr + (6) = 1, gr (7) = 1, gr + (7) = 0 G : gr (a) = 1, gr + (a) =, gr (b) = 1, gr + (b) =, gr (c) =, gr + (c) =, gr (d) =, gr + (d) = 1, gr (e) =, gr + (e) = 1 G : gr (1) =, gr + (1) =, gr () = 1, gr + () = 0 G 4 : gr (1) =, gr + (1) =, gr () =, gr + () = 1, gr () =, gr + () = 1, gr (4) = 1, gr + (4) = 4, gr (5) = 0, gr + (5) = 0 G 5 : gr (v) = gr + (v) = 1, v G 6 : gr (p) = 1, gr + (p) =, gr (q) =, gr + (q) = 1, gr (r) =, gr + (r) = 1, gr (s) = 1, gr + (s) = G 1 é conexo, logo C(v) = {1,,, 4, 5, 6}, v. G é conexo, logo C(v) = {a, b, c, d, e}, v. G é conexo, logo C(v) = {u, v, w, z}, v. G 4 é desconexo; C(A) = {A}, C(B) = {B}, C(C) = {C}, C(D) = {D}. G 5 é desconexo; C(1) = C() = C() = C(4) = C(5) = {1,,, 4, 5} e C(6) = C(7) = C(8) = {6, 7, 8} Conexos: (a), (b), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j). Fortemente conexos: (d), (h) (a) O primeiro é isomorfo ao terceiro. (b) O primeiro é isomorfo ao segundo. (c) O segundo é isomorfo ao terceiro (a) = (b) (c) c = (d) 111. Primeiro segundo = terceiro e segundo = quarto (a) traços. (b) traços. (c) 4 traços. (d) 5 traços (a) 7. (b) (a). (b) (a) ABCF ED com comprimento 7. (b) AEHD com comprimento (a) ABCEG com comprimento. (b) ABDEG com comprimento (a). (b). (c). (d) 6.

11 15. (a) k (k 1) (k ). (b) k(k 1) (k ). (c) k(k 1) (k ). (d) k(k 1) (k ). (e) k(k 1)(k ). (f) k(k 1) 4 k(k 1)(k k + ). (g) k(k 1)(k )(k )(k 4). (h) k(k 1) (a). (b). (c). (d). 17. (b) k(k 1)(k k + ), k(k 1)(k ), k(k 1)(k ) (k ). (c),, 4.