Prova Parcial 1 com peso de 0,2 na média Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 12/04/2012

Transcrição

1 Prova Parcial com peso de, na média Aluno(a): Data: /4/. (3p) Usando regras de inferência, prove que os argumentos são válidos. Use os símbolos proposicionais indicados: a. A Rússia era uma potência superior, e ou a França não era suficientemente poderosa ou Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas, se o exército não perdeu então a França era poderosa. Portanto, o exército perdeu e a Rússia era uma potência superior. (R, F, N, E) b. Se José levou as jóias ou a Sra. Krasov mentiu, então foi cometido um crime. O Sr. Krasov não estava na cidade. Se um crime foi cometido, então o Sr. Krasov estava na cidade. Portanto, José não levou as jóias. (J, M, C, K). (3p) Prove por prova direta ou indireta ou contradição que: a. Dados a e bnúmeros reais positivos. Se a média aritmética ( a+ b) é maior que a média geométrica ab, a e b são distintos b. Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é zero 3. (3p) Prove usando indução matemática que a proposição é verdadeira (apresente todos os passos): n ( n ) n n + ; n N, n. (p) Quantas permutações distintas existem das letras da palavra APALACHICOLA que tenham os dois Ls juntos?

2 Prova Parcial com peso de, na média - da Chamada Aluno(a): Data: 3/4/. (3p) Usando regras de inferência, prove que os argumentos são válidos. a. Se o caixa ou a secretaria houvessem ativado o alarme, o cofre ter-se-ia fechado automaticamente e a policia teria chegado em 3 minutos. Se a polícia tivesse chegado em 3 minutos, poderia ter alcançado os ladrões. A polícia não alcançou os ladrões. Portanto, o caixa não ativou o alarme. b. Se você me enviar um , eu termino de escrever o programa. Se você não me enviar um , então eu vou dormir cedo. Se eu for dormir cedo, então eu vou acordar revigorado. Portanto, se eu não terminar de escrever o programa, vou acordar revigorado.. (p) Prove por prova direta ou indireta ou contradição que o produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par 3. (p) Obtenha uma fórmula simples ( a n?? ) que gere os termos de uma seqüência de inteiros que inicia com a lista:, 3, 7, 5,, 7, 54, 43, (3p) Prove usando indução que para qualquer número inteiro positivo n: n Apresente todos os passos de prova. 3n + 5n ( n+ ) 4 ( n+ ) ( n+ ), n 5. (p) Quantos números inteiros ímpares existem no intervalo [, 999] com dígitos distintos?

3 Prova Parcial com peso,3 na média Aluno(a): Data: 4/5/. (,5p) Seja S { φ, a,. Determine se cada um dos itens a seguir é: um elemento de S, um subconjunto de S, nem elemento, nem subconjunto de S, elemento e subconjunto de S. a) b) c) φ. (,5p) Apresente todos os termos da seguinte expressão: d) { φ,a e) { φ f) { φ,a 3. (3p) Seja A ( x y) { x y Z x x 8,. Defina se a relação R sobre Aé transitiva. A regra esta dada pela expressão a seguir: ( a, b) R( c, d) a c b d 4. (,5p) Seja Ruma relação sobre {,,3,4 R A de modo que {(,, )(,4)(,,3, )( 3,, )( 3,3, )( 4,4) Encontre os fechos: reflexivo, simétrico e transitivo. (,5p) Sejam R e R relações, sobre um conjunto A, representadas pelas matrizes: M R M R Encontre as matrizes que representam: a) R R b) R R c) R o R

4 Prova Parcial com peso,3 na média Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 9//. (,5 p) Sejam: A,, B C { φ,, Quais afirmações a seguir são verdadeiras? E para as que não o são, porque não? a) B A b) B A c) C A d) φ C e) φ C. ( p) Qual é o coeficiente de 3. ( p) Seja A ( x y) { x y Z f), A g), A h) B C a i) { A x y+5 x 3 y 4 na expansão de ( ) 8,. Define-se a relação R sobre A pela regra: ( a, b) R( c, d) a c b d Determinar se R sobre A é reflexiva, simétrica ou anti-simétrica 4. ( p) Seja Ruma relação sobre A {,,,4,6. Encontre os fechos: reflexivo, simétrico e transitivo para cada uma das relações a seguir: R R R R 5. (,5 p) Seja A ( x y) {(,)(,,, )(,)(, 4,4)(, 6,6)(,,, )(,)(,,4)(, 4,6) {(,, )(,)(,,4)(, 4,)(, 4,6)(, 6,4) {(,, )(,)(,,)(,,)(,,, )(,)(,,)(,,, )(,) {(,)(,,, )(,)(, 4,4)(, 6,6)(, 4,6)(, 6,4) { x y Z,. Define-se uma relação Rsobre A dada pela regra: ( a, b) R( c, d) a c b d Diga quando uma relação é de ordem parcial e determine se R é uma relação de ordem parcial sobre A.

5 Prova Parcial 3 com peso,5 na média Aluno(a): Data: //. (,5p) Defina Função e apresente de forma gráfica os seguintes conceitos: a) Domínio b) Contradomínio c) Imagem d) Encontre o conjunto Domínio e Imagem das funções abaixo. Note que em cada caso, para encontrar o domínio, deve-se determinar o conjunto dos valores designados aos elementos pela função: i. A função que determina, para cada número inteiro positivo, o maior número inteiro não excedente à raiz quadrada deste inteiro. ii. A função que determina, para cada cadeia de bits, o número de bit menos o número de bit zero.. (,5p) Defina função injetora, sobrejetora e bijetora, apresente os conceitos de forma gráfica. As funções a seguir são bijetoras? Caso não serem: Quais as restrições para torná-las bijetoras? 3 a) f ( x) x de R em R b) ( x) x + f de R em R 3. (,5p) Defina e utilize diagramas para exemplificar os seguintes conceitos: Circuito Euleriano, Circuito Hamiltoniano, indique diferenças e/ou semelhanças entre estes circuitos. 4. (,5p) Na figura esta desenhada uma construção com quatro salas, designadas por S a S4, interconectadas por seis portas, P a P6. Determine o número mínimo de novas portas a instalar de forma que uma pessoa possa, ao chegar à construção, passar por cada porta exatamente uma vez e sair para o exterior. Justifique sua resposta, modelando o problema por meio de grafos. Em que locais devem ser instaladas as novas portas? Figura 5. (,5p) A prefeitura contratou uma empresa de segurança para patrulhar a rede de estradas cujo mapa esta mostrado no grafo da figura. A empresa de segurança quer realizar o serviço com uma única viatura e quer determinar a existência de um percurso da rede de estradas de maneira que fique vigiada cada parte da estrada uma única vez. Existe esse percurso? Qual é? A solução é única? 6. (,5p) Seja o conjunto S, b, c Figura Quantas funções booleanas diferentes de 7 variáveis existem? Apresente uma destas funções booleanas.