Percursos em um grafo

Transcrição

1 Percursos em um grafo

2 Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; Percurso aberto: caso contrário

3 Notação A sucessão é indicada por: Vértices Arestas Vértices e arestas alternados

4 Exemplo G a c e b d

5 Comprimento de um percurso Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado?

6 Tipos de percurso Simples: não repete arestas Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) Ciclo: percurso simples e fechado Ciclo elementar: só há repetição do último vértice Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo

7 Percurso abrangente Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez Euleriano Hamiltoniano

8 Exercícios Indique percursos simples e não simples em G 1 Indique percursos elementares em G 2 Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. Indique um ciclo em G 1 e um ciclo elementar em G 2 Indique um caminho de comprimento 4 em G 2 e um percurso de comprimento 6 em G 2 G 1 a d a b c b c G d e 2 e

9 Conexidade

10 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G.

11 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

12 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

13 Reflexiva Equivalência

14 Equivalência Caminho-(u, u)

15 Caminho-(u, u) Simétrica Equivalência

16 Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)

17 Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva

18 Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e (v,w) então existe caminho-(u,w)

19 Componentes Conexas

20 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2,..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi

21 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2,..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi Os subgrafos G(V1),..., G(Vp) são chamados de componentes conexas de G.

22 Maximalidade (Minimalidade) Seja S um conjunto e S' S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade π quando S' satisfaz a propriedade π e não existe subconjunto S'' S e S' S'' que também satisfaz π. Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz π.

23 Maximal (Minimal) G G é maximal em relação a uma propriedade π se não houver G G tal que G tem a propriedade π. Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

24 Exemplo G

25 Exemplo G G é Conexo

26 Exemplo G H G é Conexo

27 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

28 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

29 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

30 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

31 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

32 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo ω(g)= número de componentes conexas de G

33 Decomposição por Conexidade Conex (s 0 V) entrada: G = (V,E) 1. v s 0 ; 2. R(v) {v}; 3. Y ; 4. enquanto Γ (R(v)) R(v) faça 5. Y Γ (R(v)) R(v); 6. R(v) R(v) U Y; 7. fim-enquanto 8. Y R(v); 9. V V Y; 10. se V então 11. Conex (s V) 12. fim-se-então saída: componentes conexos de G

34 Exemplo G a v a Y, {b,c}, {d} R(v) {a}, {a,b,c},{a,b,c,d} b c d e f h i j g

35 Decomposição por Conexidade Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices Complexidade: O(n 2 ) Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter)

36 Exercício Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado. G a d b c e f g h i j

37 Teorema Um grafo G é desconexo sss V pode ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V1 e o outro em V2

38 Teorema Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices

39 Teorema Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

40 ( ) v u

41 ( ) P v u

42 ( ) P w v u

43 ( ) w P Q v u

44 ( ) w P Q v u u 1

45 ( ) w P P Q v u u 1 1

46 ( ) w P P Q u u v Q 1 1 Teoria dos 1 Grafos

47 ( ) w P Q v u u 1

48 ( ) w P Q v u u 1

49 Teorema Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo (n-k)(n-k+1)/2 arestas

50 Prova Idéia: k = 1: (n-1)(n-1+1)/2 (n-1)n/2 k = 2: (n-2)(n-2+1)/2 (n-2)(n-1)/2...

51 Prova Idéia: n1 + n nk = n e ni 1, 1 i k Desigualdade algébrica utilizada: Σi=1,k ni 2 n 2 (k-1)(2n-k)