UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO. 5 a Lista de Exercícios

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO MATEMÁTICA COMBINATÓRIA 5 a Lista de Exercícios 1. O grafo de intersecção de uma coleção de conjuntos A 1,..., A n é o grafo que tem um vértice para cada um destes conjuntos e uma aresta conectando os vértices que representam dois conjuntos se estes conjuntos têm intersecção não vazia. Construa o grafo de intersecção das seguintes coleções de conjuntos: (a) A 1 = {0, 2, 4, 6, 8}, A 2 = {0, 1, 2, 3, 4}, A 3 = {1, 3, 5, 7, 9}, A 4 = {5, 6, 7, 8, 9}, A 5 = {0, 1, 8, 9}. (b) A 1 = {..., 4, 3, 2, 1, 0}, A 2 = Z, A 3 é o conjunto dos inteiros pares, A 4 é o conjunto dos inteiros ímpares e A 5 é o conjunto dos múltiplos de Desenhe os seguintes grafos: K 7, K 1,8, K 4,4, C 7 e W Para que valores de n os seguintes grafos são bipartidos: K n, C n e W n. 4. Determine o número de vértices e o grau de cada vértice para cada um dos seguintes grafos: E n, K n, C n, W n e K m,n. 5. Existe um grafo simples com 15 vértices, cada um de grau 5? Por quê? 6. Para qual das seqüências de 5 inteiros dadas abaixo existe um grafo de 5 vértices que tem estes números como graus de seus vértices? Desenhe o grafo, caso exista. (a) 4, 3, 3, 2, 2; (b) 3, 3, 3, 3, 2; (c) 1, 2, 3, 4, 4; (d) 0, 1, 2, 2, 3; (e) 1, 2, 3, 4, 5; (f) 3, 4, 3, 4, 3; (g) 1, 1, 1, 1, Um grafo simples é chamado regular se cada um de seus vértices tem o mesmo grau. Um grafo simples é n-regular se cada um de seus vértices tem grau n. 1

2 2 MATEMÁTICA COMBINATÓRIA (a) Para quais valores de n cada um dos seguintes grafos é regular: K n, C n, W n? (b) Para quais valores de m e n o grafo K m,n é regular? (c) Quantos são os vértices de um grafo 4-regular com 10 arestas? 8. Usando o teorema do aperto de mão, mostre que um grafo tem que ter sempre um número par de vértices de grau ímpar. 9. Considere o grafo C 3. (a) Quantos são os seus subgrafos? (b) Quantos são os seus subgrafos não isomorfos? (c) Quantos são os seus subgrafos conexos? 10. Quantos são os subgrafos de C 4? 11. Determine quais dos grafos dados abaixo são conexos. Determine o número de componentes conexas daqueles que não são conexos. (a) (b) (c)

3 MATEMÁTICA FINITA Seja G um grafo com, pelo menos, dois vértices. Mostre que G admite ao menos um vértice v tal que G \ {v} é conexo. 13. Quais dos seguintes grafos são árvores? (a) (b) (c) (d) (e) (f) 14. Uma estrela dupla é uma árvore que tem exatamente dois vértices internos. Quantas estrelas duplas não isomorfas existem com n vértices? 15. Mostre que um grafo G é uma árvore se e somente se G é conexo e quando uma aresta qualquer de G é apagada, o subgrafo resultante é desconexo. 16. Quantas são as pontes de uma árvore?

4 4 MATEMÁTICA COMBINATÓRIA 17. Qual o número mínimo de folhas de uma árvore que tem um vértice de grau d? 18. Mostre, por indução em h, que uma árvore m-ária de altura h tem no máximo m h folhas. 19. Pode existir uma árvore m-ária de altura 3 com 84 folhas? 20. Quantas são as arestas de uma árvore binária completa que tem 1000 vértices internos? 21. Ache todas as pontes de cada um dos grafos abaixo. (b) (a) (c) 22. Seja G um grafo simples. Um grafo H é uma expansão de G, se podemos obter H a partir de G acrescentando vértices de grau dois em arestas pré-existentes de G. (a) Dê exemplo de um grafo H que é uma expansão de G, e do qual G é um subgrafo.

5 MATEMÁTICA FINITA 5 (b) Dê exemplo de um grafo H que é uma expansão de G, e do qual G não é um subgrafo. (c) Dê exemplo de um grafo H que não é uma expansão de G, mas do qual G é um subgrafo. 23. Quais das seguintes listas de vértices formam caminhos no grafo dado abaixo? Quais são caminhos simples? Quais são ciclos? Qual o comprimento de cada caminho? (a) a, e, b, c, b; (b) a, e, a, d, b, c, a; (c) e, b, a, d, b, e; (d) c, b, d, a, e, c. a b c d e 24. Vários multigrafos são dados abaixo. Converta cada um deles em grafos simples e determine quais deles admitem um circuito de Euler? Construa um circuito de Euler sempre que possível.

6 6 MATEMÁTICA COMBINATÓRIA 25. É possível desenhar a figura abaixo sem tirar o lápis do papel? Se for possível, mostre como fazê-lo.

7 MATEMÁTICA FINITA É possível desenhar as figuras abaixo sem tirar o lápis do papel? Se for possível, mostre como fazê-lo. 27. Para que valores de n os seguintes grafos podem ter um circuito de Euler: K n, C n, W n. 28. Para cada um dos grafos abaixo, encontre um ciclo hamiltoniano, se existir, ou mostre que tal ciclo não existe. 29. O grafo dado abaixo é conhecido como grafo de Petersen. (a) Determine se o grafo de Petersen tem um ciclo de Euler. (b) Determine se o grafo de Petersen tem um ciclo de hamiltoniano. (c) Determine se o grafo de Petersen tem um caminho hamiltoniano.

8 8 MATEMÁTICA COMBINATÓRIA 30. Ache o número cromático de cada um dos grafos abaixo. 31. Pinte o grafo abaixo usando o algoritmo descrito em aula. Quantas cores você usou?

9 MATEMÁTICA FINITA Pinte o grafo de Petersen usando o algoritmo descrito em aula. 33. Quais os grafos que têm número cromático 1? 34. Mostre, por indução em n, que K n tem número cromático n. 35. Qual o número cromático de W n? Prove sua resposta. 36. Qual o número cromático do grafo de Peterson? Prove sua resposta. 37. Mostre que um grafo simples G é bipartido se e somente se tem número cromático Mostre que um grafo simples que tem um ciclo com um número ímpar de vértices não pode ser pintado com duas cores. 39. Qual o número cromático do grafo Q n, definido recursivamente pela seqüência abaixo? Prove sua resposta por indução forte. n = 1 n = 2

10 10 MATEMÁTICA COMBINATÓRIA n = 3 n = Determine quais dos grafos abaixo são planares, desenhando-os de modo que as arestas não se cortem, quando for possível.

11 MATEMÁTICA FINITA Para quais valores de n 1 o grafo K 2,n é planar? E K 3,n? 42. Quais dos seguintes grafos são planares? Desenhe aqueles que forem planares sem que as arestas se cortem e prove que os demais não são planares usando a fórmula de Euler. (a) O complementar de C 6 ; (b) o grafo obtido removendo duas arestas de K 5 ; (c) o grafo de Peterson. 43. Considere a seguinte afirmação: Se Ĝ for uma expansão de um grafo não planar G, então Ĝ não é planar. Prove esta afirmação se for verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa. 44. Considere a seguinte afirmação: Se G contém um vértice de grau no máximo d, então χ(g) d + 1. Prove esta afirmação se for verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa. 45. Considere a seguinte afirmação: Se todo subgrafo de G tem um vértice de grau no máximo d, então χ(g) d + 1. Prove esta afirmação se for verdadeira, ou dê um contra-exemplo, se for falsa.