Grafos Orientados (digrafos)

Transcrição

1 Grafos Orientados (digrafos)

2 Grafo Orientado ou digrafo Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v 1,, v n } é um conjunto de vértices e A = {a 1,, a k } é um conjunto de arcos tais que a k, k=1,,m é representado por um par ordenado (v i,v j ) de vértices, i,j = 1,,n. c e f d

3 Lista de adjacência

4 Matriz de Adjacência Seja G = (V,A) A = (a ij ), 1 i,j n a ij = 1, quando (i,j) A 0, caso contrário

5 Matriz de Adjacência a b c d e b a c a b c d e d e

6 Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: grafos sem laços Matriz não necessariamente simétrica. Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arcos

7 Matriz de Incidência Seja G = (V,E) B = (b kl ), 1 k n, 1 l m b kl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial do arco l -1, quando o vértice k é extremidade final do arco l 0, caso contrário

8 Matriz de Incidência (a,b) (a,c) (a,e) (c,b) (c,d) (d,b) (e,c) a a b c b d c e d e

9 Relações de adjacência Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y X é sucessor de x X quando existe (x,y) U. Diz-se também que x é antecessor de y. Γ + (x): conjunto de sucessores de x Γ - (x): conjunto de antecessores de x

10 Vizinhança Vizinho ou vértice adjacente de um vértice x, em um grafo orientado ou não, é todo vértice y que participa de uma ligação (arco ou aresta) com x. x Γ + (x) x Γ - (x)

11 Vizinhança Seja A X. Então Γ + (A) = U Γ + (x), x A a A b c d e Idem para Γ - (A)!

12 Fechos Transitivos Conjuntos que representam ligações diretas ou indiretas entre vértices em grafos orientados. Diz-se que um vértice y é atingível a partir de x em um grafo G quando existe em G uma seqüência de sucessores que começa em x e termina em y.

13 ^ Fecho Transitivo Direto Γ + (x): conjunto de vértices de G atingíveis a partir de x

14 ^ Fecho Transitivo inverso Γ - (x): conjunto de vértices de G a partir dos quais x é atingível

15 Incidência de um vértice Um arco incide exteriormente em x X se x for extremidade inicial e interiormente se x for extremidade final do arco. O arco (i,j) é incidente em A X de um grafo G, se ele tem uma e só uma extremidade em um vértice pertencente a A. (i,j) é incidente a A: interiormente (i A, j A) exteriormente (i A, j A)

16 Grau de um vértice Semigrau exterior (d + (x)): número de arcos incidentes exteriormente a x Semigrau interior (d - (x)): número de arcos incidentes interiormente a x d(x) = d + (x) + d - (x) Vértice nulo: d + (x) = d - (x) = 0

17 Isomorfismo Seja G um digrafo e G o grafo correspondente sem orientações. Seja G um grafo não orientado. Então G, obtido a partir de G definindo-se uma orientação arbitrária de suas arestas é dito digrafo associado a G.

18 Isomorfismo Se G é um digrafo e G é um grafo não orientado obtido a partir de G: único. Se G é um grafo não orientado e G é orientado, obtido a partir de G: várias possibilidades.

19 Isomorfismo Quando dois digrafos G1 e G2 são isomorfos? Os grafos não orientados G1 e G2 correspondentes a G1 e G2 devem ser isomorfos. As orientações entre as arestas correspondentes devem ser as mesmas.

20 Alguns tipos de digrafos Simples: sem laços ou arestas paralelas Assimétrico: possui no máximo um arco entre cada par de vértices Simétrico: para cada par de vértices existe um arco em cada direção Completo simétrico (n(n-1) arcos) Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos)

21 Percursos Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido. Caminho direcionado: percurso simples sem repetição de vértices Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção.

22 Conexidade Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não a direcionado b c d

23 Conexidade Grafo semi-fortemente conexo ou sfconexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou a seja, entre eles existe b c um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis d

24 Conexidade Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos a b c Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado

25 Níveis de Conexidade s-conexo sf-conexo f-conexo

26 Componentes f-conexas Atingibilidade recíproca: (simetria) Todo vértice é atingível a partir de si mesmo: (reflexividade) Se z é atingível a partir de y e y é atingível a partir de x então z é atingível a partir de x: (transitividade) relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G

27 Componentes f-conexas Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais. Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo.

28 Árvores Uma árvore é um digrafo s-conexo sem circuitos ou ciclos no grafo não orientado associado a b c d