Aula 9 Aula 10. Ana Carolina Boero. Página:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 9 Aula 10. Ana Carolina Boero. Página:"

Transcrição

1 Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

2 Funções Sejam A e B conjuntos. Uma função f : A B (leia f de A em B ) é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento de A, um único elemento de B. Exemplos: (a) A regra que associa a cada número natural n o seu sucessor n + 1 é uma função. (b) O conjunto de instruções { n N é uma função. n/2 se n for par 3n + 1 se n for ímpar

3 Funções Mais exemplos de funções: (c) A regra que associa a cada número real x o número x. (d) A regra que associa cada número real x 0 o número x. (e) A regra x R {1} x 3 3x + 2 x 2 2x + 1 (f) A regra x R {1} x 4 + x 3 x 2 + x 2 x 3 x 2 + x 1

4 Funções Mais exemplos de funções: (c) A regra que associa a cada número real x o número x. (d) A regra que associa cada número real x 0 o número x. (e) A regra x R {1} x 3 3x + 2 x 2 2x + 1 (f) A regra x R {1} x 4 + x 3 x 2 + x 2 x 3 x 2 + x 1

5 Funções Mais exemplos de funções: (c) A regra que associa a cada número real x o número x. (d) A regra que associa cada número real x 0 o número x. (e) A regra x R {1} x 3 3x + 2 x 2 2x + 1 (f) A regra x R {1} x 4 + x 3 x 2 + x 2 x 3 x 2 + x 1 Pergunta: Qual o significado preciso da expressão regra que associa?

6 Relações Chamamos de relação um conjunto qualquer de pares ordenados. Ilustração de uma relação: as setas indicam os pares ordenados que a constituem.

7 Domínio e imagem de uma relação Seja R uma relação. O domínio de R é o conjunto dom R = {x : y tal que (x, y) R}. A imagem de R é o conjunto im R = {y : x tal que (x, y) R}. Ilustração do domínio e imagem de uma relação.

8 Exemplos Sejam A = {0, 1, 2} e B = { 2, 1, 0, 1}. (a) R 1 = {(x, y) A B : y 2 = x 2 } = {(0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2)} dom R 1 = A im R 1 = B

9 Exemplos (b) R 2 = {(x, y) A B : y = x 1} = {(0, 1), (1, 0), (2, 1)} dom R 2 = A im R 2 = { 1, 0, 1}

10 Exemplos (c) R 3 = {(x, y) A B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)} dom R 3 = A im R 3 = {0}

11 Exemplos (d) R 4 = {(x, y) A B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)} dom R 4 = {0, 1} im R 4 = {0, 1}

12 Funções Uma relação f recebe o nome de função se para cada x dom f existe um único y tal que (x, y) f. Ilustração de uma função. Outra ilustração de função.

13 Funções Uma relação f recebe o nome de função se para cada x dom f existe um único y tal que (x, y) f. Ilustração de uma função. Outra ilustração de função. Para cada x dom f, o único y tal que (x, y) f é denominado o valor de f em x e é denotado por f (x) (leia f de x ).

14 Funções de A em B Dados dois conjuntos A e B, dizemos que uma função f é uma função de A em B se dom f = A e im f B. Notação: f : A B (leia f de A em B ) Observação: B é denominado o contradomínio de f : A B.

15 Exemplos Sejam A = {0, 1, 2} e B = { 2, 1, 0, 1}. (a) R 1 = {(x, y) A B : y 2 = x 2 } = {(0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2)} dom R 1 = A im R 1 = B A relação R 1 não é função de A em B.

16 Exemplos (b) R 2 = {(x, y) A B : y = x 1} = {(0, 1), (1, 0), (2, 1)} dom R 2 = A im R 2 = { 1, 0, 1} A relação R 2 é função de A em B.

17 Exemplos (c) R 3 = {(x, y) A B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)} dom R 3 = A im R 3 = {0} A relação R 3 é função de A em B.

18 Exemplos (d) R 4 = {(x, y) A B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)} dom R 4 = {0, 1} im R 4 = {0, 1} A relação R 4 não é função de A em B, mas é função.

19 Observações Observações: Uma vez esclarecido o sentido da expressão regra que associa, estamos livres para pensar em uma função como uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único elemento de sua imagem; em outras palavras, estamos livres para pensar em uma função como algo que faz e não como algo que é. O conjunto {(x, f (x)) : x dom f } (isto é, o que a função f é) será denominado o gráfico de f. Não se deve confundir f com f (x): f é a função, enquanto f (x) é o valor que a função f assume num elemento x de seu domínio.

20 Domínio, contradomínio e imagem Seja f : A B uma função. Os conjuntos A e B são denominados o domínio e o contradomínio de f, respectivamente.

21 Domínio, contradomínio e imagem Seja f : A B uma função. Os conjuntos A e B são denominados o domínio e o contradomínio de f, respectivamente. Para cada x A, o elemento f (x) de B chama-se a imagem de x por f ou, ainda, o valor assumido pela função f em x. O subconjunto im f = {f (x) : x A} de B é denominado a imagem de f. Exemplo: f : N N, tal que f (n) = n + 1 para todo n N. dom f = N; im f = {n N : n > 1}, enquanto seu contradomínio é N.

22 Exercício resolvido Qual o maior subconjunto A de R tal que a regra f (x) = 1 + x x define uma função f : A R?

23 Exercício resolvido Qual o maior subconjunto A de R tal que a regra f (x) = 1 + x x define uma função f : A R? Solução: A é constituído de todos os números reais x que satisfazem as seguintes condições: (1) 1 + x 0; (2) 1 + x x 0. A primeira é satisfeita se, e somente se, x S 1 = [ 1, + ). A segunda, por sua vez, é equivalente a 1 + x x. Esta inequação só faz sentido para x 1. Vamos, portanto, determinar quais números reais maiores ou iguais a 1 são solução desta inequação. Para x 0, ela equivale a 1 + x x 2 (por quê?), ou seja, a x [ 1 5, 1+ 5 ]. 2 2 Portanto, os números reais não negativos que são solução de 1 + x x são exatamente aqueles que pertencem ao intervalo [0, 1+ 5 ]. Note também que todo 2 x [ 1, 0) é solução de 1 + x x (por quê?). Portanto, o conjunto-solução de 1 + x x é S2 = [ 1, 0] [0, 1+ 5 ] = [ 1, 1+ 5 ]. 2 2 Logo, A = S 1 S 2 = [ 1, ].

24 Exercício resolvido Seja f : R R dada por f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Determine im f.

25 Exercício resolvido Seja f : R R dada por f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Determine im f. Solução: f (x) = 2 ( [ x x + 2) (x ) ] = [ (x ) ] = = 2 ( x + 3 ) Logo, im f [ 23 8, + ). Resta mostrar que [ 23 8, + ) im f. Seja y [ 23 8, + ) e considere a equação f (x) = y, a qual é equivalente a 2x 2 + 3x + (4 y) = 0. Seu discriminante é = y. Para y 23, temos que 8 0 e, portanto, tal equação tem solução real x. Portanto, y = f (x) para algum x R, o que significa que y im f. Logo, im f = [ 23 8, + ).

26 Imagem de conjuntos Sejam f : A B uma função e X um subconjunto de A. O conjunto f (X ) = {f (x) : x X } é denominado a imagem de X por f. Ilustração de X e f (X ). Exemplo: f : R R, f (x) = x X = { 2, 1, 0, 1, 3}; f (X ) = {2, 1, 0, 3}.

27 Imagem inversa de conjuntos Sejam f : A B uma função e Y um subconjunto de B. A imagem inversa de Y por f é dada por f 1 (Y ) = {x A : f (x) Y }. Ilustração de Y e f 1 (Y ). Exemplo: f : R R, f (x) = x Y = { 1, 1, 3, 4, 5}; f 1 (Y ) = { 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 5}.

28 Exercício resolvido Seja f : R R dada por f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Determine f 1 ({3}).

29 Exercício resolvido Seja f : R R dada por f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Determine f 1 ({3}). Solução: f 1 ({3}) = {x R : f (x) {3}} = {x R : f (x) = 3} = {x R : 2x 2 + 3x + 4 = 3} = {x R : 2x 2 + 3x + 1 = 0} Resolvendo 2x 2 + 3x + 1 = 0, obtemos x = 1 ou x = 1 2. Logo, f 1 ({3}) = { 1, 1 2 }.

30 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y

31 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y

32 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y

33 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y X, f (X ) e f 1 (f (X )).

34 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y X, f (X ) e f 1 (f (X )).

35 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y X, f (X ) e f 1 (f (X )).

36 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função, X A e Y B. Valem: (1) f 1 (f (X )) X (2) f (f 1 (Y )) Y X, f (X ) e f 1 (f (X )). Y, f 1 (Y ) e f (f 1 (Y )).

37 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função e X 1, X 2 A. Valem: (1) se X 1 X 2 então f (X 1 ) f (X 2 ) (2) f (X 1 X 2 ) = f (X 1 ) f (X 2 ) (3) f (X 1 X 2 ) f (X 1 ) f (X 2 ) (4) f (X 1 X 2 ) f (X 1 ) f (X 2 )

38 Propriedades Proposição Sejam f : A B uma função e Y 1, Y 2 B. Valem: (1) se Y 1 Y 2 então f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (2) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (3) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (4) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 )

39 Função injetora Dizemos que f : A B é injetora se, para quaisquer x 1, x 2 A, x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Ilustração de uma função injetora. Observação: f é injetora sse x 1, x 2 A, f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Exemplos: (a) f : R R R, f (x) = (x, x ) é injetora. { n/2 se n é par (b) g : N N, g(n) = 3n + 1 se n é ímpar não é injetora.

40 Função sobrejetora Dizemos que f : A B é sobrejetora se im f = B. Exemplos: Ilustração de uma função sobrejetora. (a) f : R R R, f (x) = (x, x ) não é sobrejetora. { n/2 se n é par (b) g : N N, g(n) = é sobrejetora. 3n + 1 se n é ímpar

41 Função bijetora Dizemos que f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora. Ilustração de uma função bijetora. Exemplos: (a) f : R R, f (x) = ax + b com a 0 é bijetora. (b) g : R R, g(x) = ax 2 + bx + c com a 0 não é bijetora.

42 Exercício resolvido Seja f : R \ { 2} R dada por f (x) = 2x + 3. Decida se f é injetora, sobrejetora x + 2 ou bijetora e justifique sua resposta.

43 Exercício resolvido Seja f : R \ { 2} R dada por f (x) = 2x + 3. Decida se f é injetora, sobrejetora x + 2 ou bijetora e justifique sua resposta. Solução: f é injetora: Sejam x 1, x 2 R \ { 2} tais que f (x 1 ) = f (x 2 ). Temos que: f (x 1 ) = f (x 2 ) 2x 1+3 x 1 +2 = 2x 2+3 x 2 +2 (2x 1 + 3)(x 2 + 2) = (2x 2 + 3)(x 1 + 2) 2x 1 x 2 + 4x 1 + 3x = 2x 1 x 2 + 4x 2 + 3x x 1 = x 2 f não é sobrejetora: 2 im f, já que a equação 2x+3 x+2 Note que im f = R \ {2}, uma vez que: y = f (x) y = 2x + 3 x + 2 = 2 não possui solução. y(x + 2) = 2x + 3 (y 2)x = 3 2y x = 3 2y y 2 Logo, f é injetora, mas não é sobrejetora (e, consequentemente, não é bijetora).

44 Composição de funções Sejam f e g funções tais que im f dom g. A composta de g e f é a função com domínio dom f que associa cada x dom f a g(f (x)). Notação: g f (leia g bola f )

45 Composição de funções Sejam f e g funções tais que im f dom g. A composta de g e f é a função com domínio dom f que associa cada x dom f a g(f (x)). Notação: g f (leia g bola f )

46 Composição de funções Sejam f e g funções tais que im f dom g. A composta de g e f é a função com domínio dom f que associa cada x dom f a g(f (x)). Notação: g f (leia g bola f )

47 Composição de funções Sejam f e g funções tais que im f dom g. A composta de g e f é a função com domínio dom f que associa cada x dom f a g(f (x)). Notação: g f (leia g bola f ) Ilustração da composta de f e g.

48 Composição de funções Exemplos: f : R R, f (x) = x g : R R, g(x) = x 2 h : R + R, h(x) = x (a) (g f )(x) = g(f (x)) = g(x) = x 2 (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 ) = x 2 (b) (g h)(x) = g(h(x)) = g( x) = ( x) 2 = x (h g)(x) = h(g(x)) = h(x 2 ) = x 2 = x (c) (f h)(x) = f (h(x)) = f ( x) = x h f não está definida, pois im f dom h

49 Propriedades Proposição Sejam f, g e h funções tais que im f dom g e im g dom h. Vale: (h g) f = h (g f ). Observação: A proposição acima nos permite escrever h g f.

50 Propriedades Proposição Sejam f, g e h funções tais que im f dom g e im g dom h. Vale: (h g) f = h (g f ). Observação: A proposição acima nos permite escrever h g f. Proposição Sejam f : A B e g : B C. Valem: (1) Se f e g são injetoras então g f : A C é injetora. (2) Se f e g são sobrejetoras então g f : A C é sobrejetora. (3) Se f e g são bijetoras então g f : A C é bijetora.

51 Função inversa Seja f : A B bijetora. A função f 1 : B A dada por é denominada a inversa de f. f 1 (y) = x onde x A é tal que f (x) = y Ilustração de f. Ilustração de f 1.

52 Exemplos (1) Para todo n N, a função f : [0, + ) [0, + ) dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : [0, + ) [0, + ) dada por f (y) = n y.

53 Exemplos (1) Para todo n N, a função f : [0, + ) [0, + ) dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : [0, + ) [0, + ) dada por f (y) = n y.

54 Exemplos (1) Para todo n N, a função f : [0, + ) [0, + ) dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : [0, + ) [0, + ) dada por f (y) = n y.

55 Exemplos (2) Se n é ímpar, então a função f : R R dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : R R dada por f (y) = n y.

56 Exemplos (2) Se n é ímpar, então a função f : R R dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : R R dada por f (y) = n y.

57 Exemplos (2) Se n é ímpar, então a função f : R R dada por f (x) = x n é uma bijeção, cuja inversa é f : R R dada por f (y) = n y.

58 Propriedades Proposição Seja f : A B bijetora. Valem: (1) (f 1 f )(x) = x para todo x A; (2) (f f 1 )(y) = y para todo y B.

59 Propriedades Proposição Seja f : A B bijetora. Valem: (1) (f 1 f )(x) = x para todo x A; (2) (f f 1 )(y) = y para todo y B. Proposição Seja f : A B. Se existe g : B A tal que (g f )(x) = x para todo x A e (f g)(y) = y para todo y B então f é bijetora e g = f 1.

60 Propriedades Proposição Se f : A B é bijetora então f 1 : B A é bijetora e (f 1 ) 1 = f.

61 Propriedades Proposição Se f : A B é bijetora então f 1 : B A é bijetora e (f 1 ) 1 = f. Proposição Se f : A B e g : B C são bijetoras então (g f ) 1 = f 1 g 1.

Lista 6 - Bases Matemáticas

Lista 6 - Bases Matemáticas Lista 6 - Bases Matemáticas Funções - Parte 1 Conceitos Básicos e Generalidades 1 Sejam dados A e B conjuntos não vazios. a) Defina rigorosamente o conceito de função de A em B. b) Defina rigorosamente

Leia mais

CÁLCULO I Aula 01: Funções.

CÁLCULO I Aula 01: Funções. Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

APLICAÇÕES IMAGEM DIRETA - IMAGEM INVERSA. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

APLICAÇÕES IMAGEM DIRETA - IMAGEM INVERSA. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Professora: Elisandra Bär de Figueiredo APLICAÇÕES DEFINIÇÃO 1 Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F se (i) D(f) = E; (ii) dado a D(f), existe um único b F tal que (a, b)

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função

Leia mais

Funções, Seqüências, Cardinalidade

Funções, Seqüências, Cardinalidade Funções, Seqüências, Cardinalidade Prof.: Rossini Monteiro Noções Básicas Definição (Função) Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um mapeamento de exatamente um elemento de B para cada elemento

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções. Objetivos da Aula. Aula n o 01: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função;

CÁLCULO I. 1 Funções. Objetivos da Aula. Aula n o 01: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 01: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Denir funções compostas e inversas.

Leia mais

Ana Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

Ana Carolina Boero.   Página:  Sala Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores

Leia mais

FUNÇÕES. Prof.ª Adriana Massucci

FUNÇÕES. Prof.ª Adriana Massucci FUNÇÕES Prof.ª Adriana Massucci Introdução: Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano dependem uma da outra, isto é, a variação de uma delas tem como consequência a variação da outra. Exemplo:

Leia mais

Matemática Complementos de Funções. Professor Marcelo Gonsalez Badin

Matemática Complementos de Funções. Professor Marcelo Gonsalez Badin Matemática Complementos de Funções Professor Marcelo Gonsalez Badin Paridade Função PAR f (x) é chamada FUNÇÃO PAR se f ( x) = f (x) Exemplo: f (x) = x 4 f ( x) = ( x) 4 = x 4 = f (x) O gráfico de uma

Leia mais

V Workshop de Álgebra UFG-CAC. Só Funções. Francismar Ferreira Lima. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 09 de novembro de / 43

V Workshop de Álgebra UFG-CAC. Só Funções. Francismar Ferreira Lima. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 09 de novembro de / 43 V Workshop de Álgebra UFG-CAC Só Funções Francismar Ferreira Lima Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 09 de novembro de 2016 1 / 43 Planejamento da Apresentação 1 Produto Cartesiano 2 Relação

Leia mais

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2 Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa

Leia mais

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0 FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 04 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 04 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Funções Sobrejetoras Dizemos que uma unção : é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem or igual ao contradomínio, isto é, se Im() =. Em outras palavras, dado um elemento z qualquer no contradomínio,

Leia mais

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,

Leia mais

Lista Função - Ita Carlos Peixoto

Lista Função - Ita Carlos Peixoto Lista Função - Ita Carlos Peixoto. (Ita 07) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X Y. II. Existe uma função injetora g: Y X. III.

Leia mais

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R.

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Capítulo 2 Funções e grácos 2.1 Funções númericas Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Denição

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação Primeiro Semestre Letivo de /04/2014 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma:

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação Primeiro Semestre Letivo de /04/2014 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação Primeiro Semestre Letivo de 014 6/04/014 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: Instruções Gerais: 1- A prova pode ser feita a lápis, exceto

Leia mais

Contando o Infinito: os Números Cardinais

Contando o Infinito: os Números Cardinais Contando o Infinito: os Números Cardinais Sérgio Tadao Martins 4 de junho de 2005 No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us David Hilbert 1 Introdução Quantos elementos há no

Leia mais

Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica

Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: Funções 10/04/14 e 11/04/14 Definição de função Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de A em

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------

Leia mais

Lista 6. Bases Matemáticas. Funções I. 1 Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B.

Lista 6. Bases Matemáticas. Funções I. 1 Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B. Lista 6 Bases Matemáticas Funções I Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de função de A em B. Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {,, 3, 4, 5}, diga qual das relações abaixo

Leia mais

O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO

O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO As funções explicitam relações matemáticas especiais entre duas grandezas. As grandezas envolvidas nessas relações são conhecidas como variável dependente

Leia mais

Matemática I Capítulo 06 Propriedades das Funções

Matemática I Capítulo 06 Propriedades das Funções Nome: Nº Curso: Mineração Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 Matemática I Capítulo 06 Propriedades das Funções 6.1 Paridade das Funções 6.1.1 - Função par Dada uma função

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente

Leia mais

Generalidades sobre conjuntos

Generalidades sobre conjuntos Generalidades sobre conjuntos E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos

Leia mais

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência.

1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria II Prof.: Rogério

Leia mais

Generalidades sobre conjuntos

Generalidades sobre conjuntos Generalidades sobre conjuntos E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos

Leia mais

Funções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição

Funções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1 Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?

Leia mais

1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade

1.1. Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade Expressão geral de arcos com uma mesma extremidade UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1.1. Expressão geral de arcos

Leia mais

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E.

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS Injetiva FUNÇÕES Sobrejetiva Bijetiva Carlos Eurico Galvão Rosa UFPR 1 / 33 de Injetiva Sobrejetiva Bijetiva : Dados

Leia mais

Aula 2 Função_Uma Ideia Fundamental

Aula 2 Função_Uma Ideia Fundamental 1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 2 Função_Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega 2 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO A função é como uma máquina onde entram elementos que são transformados

Leia mais

Notas de aulas. álgebra abstrata

Notas de aulas. álgebra abstrata 1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos 1 Conjuntos Um conjunto está bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou não

Leia mais

ÁLGEBRA. Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA. Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora 1 ÁLGEBRA Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora 2 FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto

Leia mais

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 41 Funções II 1. (OPM) Seja f uma função de domínio dada por x x + 1 f(x) =. Determine o conjunto-imagem x + x + 1 da função.. Considere

Leia mais

Bacharelado em Ciência da Computação Matemática Discreta

Bacharelado em Ciência da Computação Matemática Discreta Bacharelado em Ciência da Computação Matemática Discreta Prof. Diego Mello da Silva Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga 27 de fevereiro de 2013 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática

Leia mais

Revisão de Função. Inversa e Composta. Professor Gaspar. f : 1,,3, f(x) x 2x 2 e. g(x) x 2x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? g(x) 2x.

Revisão de Função. Inversa e Composta. Professor Gaspar. f : 1,,3, f(x) x 2x 2 e. g(x) x 2x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? g(x) 2x. Revisão de Função. (Espcex (Aman) 05) Considere a função bijetora f :,,, definida por f(x) x x e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a b é a). b) 4. c)

Leia mais

Funções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição

Funções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 07 Aula 9 Matemática Básica 1 Aula 9 Matemática Básica 2 O que é uma

Leia mais

1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:

1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que: Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números

Leia mais

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2,

f(x) ax b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2, Ensino Aluno (: Nº: Turma: ª série Bimestre: º Disciplina: Espanhol Atividade Complementar Funções Compostas e Inversas Professor (: Cleber Costa Data: / /. (Eear 07) Sabe-se que a função invertível. Assim,

Leia mais

Plano Cartesiano. Relação Binária

Plano Cartesiano. Relação Binária Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Definição

Leia mais

A derivada da função inversa

A derivada da função inversa A derivada da função inversa Sumário. Derivada da função inversa............... Funções trigonométricas inversas........... 0.3 Exercícios........................ 7.4 Textos Complementares................

Leia mais

Introdução às Funções

Introdução às Funções Introdução às Funções Guilherme Prado Curso Pré-vestibular Unicentro Plano cartesiano O plano cartesiano é um sistema ortogonal de coordenadas utilizado para demonstrar a localização de pontos no espaço

Leia mais

O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem.

O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem. QUESTÕES-AULA 33 1. Determine quais das funções abaixo são pares, quais são impares e quais não são pares nem impares. Justifique as suas respostas. (a) g : [ 3, 3] R, x x 3 (b) h : ( 3, 3) R, x x 3 x

Leia mais

Capítulo 1. Conjuntos, Relações, Funções

Capítulo 1. Conjuntos, Relações, Funções i Sumário 1 Conjuntos, Relações, Funções 1 1.1 Axiomas e Definições.................................. 2 1.2 Operações com Conjuntos............................... 4 1.3 Relações.........................................

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 1

Cálculo Diferencial e Integral 1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr 09/Sem_0 Cálculo ii Índice Funções Intervalos Deinição de unção Classiicação de unções 6 4 Função composta 8 5 Função

Leia mais

Argumentos: aquecimento

Argumentos: aquecimento Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 4 Parte 4 Matemática Básica 1 Parte 4 Matemática Básica 2 Considere a seguinte condição

Leia mais

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 11 de Março de 2014

Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 11 de Março de 2014 Funções - Aula 06 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 11 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica O principal objetivo do

Leia mais

Matemática A Semi-Extensivo V. 3

Matemática A Semi-Extensivo V. 3 Matemática A Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0 f: R R f() = c) f: R R f() = 0. Falsa alsa. CD = R, mas Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Já não é sobrejetora. 08. Verdadeira f( 5

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor

Leia mais

Função: parte 1. Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio. 26 de março de 2018 FAMAT/UFU

Função: parte 1. Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio. 26 de março de 2018 FAMAT/UFU Função: parte 1 Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio FAMAT/UFU 26 de março de 2018 Denição Sejam os conjuntos A, B (conjunto vazio). Uma função de A em B é uma relação que associa a cada elemento a A

Leia mais

Aula 1 Revendo Funções

Aula 1 Revendo Funções Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas _ TADS 1 Aula 1 Revendo Funções Professor Luciano Nóbrega 2 SONDAGEM 1 Calcule o valor das expressões abaixo. Dê as respostas de todas as formas possíveis

Leia mais

Função Definida Por Várias Sentenças

Função Definida Por Várias Sentenças Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi SUMÁRIO Função Definida Por Várias Sentenças Lembrando... Dados dois conjuntos não vazios

Leia mais

FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES

FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a,

Leia mais

Aula 5 Aula 6 Aula 7. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 5 Aula 6 Aula 7. Ana Carolina Boero.   Página: E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Números naturais Como somos apresentados aos números? Num primeiro momento, aprendemos

Leia mais

Semana 1 Revendo as Funções

Semana 1 Revendo as Funções 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Semana 1 Revendo as Funções Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 SONDAGEM Inicialmente, façamos uma revisão: 1 Calcule o valor das expressões abaixo. Dê as respostas

Leia mais

A idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com.

A idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com. Matemática Básica Unidade 5 Estudo de Funções RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com A idéia

Leia mais

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO FACET Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Avaliação 30/03/016 RESOLUÇÃO 01. A

Leia mais

Matemática. Professor Adriano Diniz 26/02/2013. Aluno (a): EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Matemática. Professor Adriano Diniz 26/02/2013. Aluno (a): EXERCÍCIOS PROPOSTOS Matemática Professor Adriano Diniz 0 Aluno (a): 6/0/01 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (MACKENZIE) Se, na figura abaixo, temos o esboço do gráfico da função y = f(x), o gráfico que melhor representa y = f(x 1)

Leia mais

Matemática Básica EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS. Dê um contraexemplo para cada sentença falsa.

Matemática Básica EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS. Dê um contraexemplo para cada sentença falsa. DR. SIMON G. CHIOSSI @ GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 NOME LEGÍVEL: Matemática Básica Prova V 1 turma A1 0 / 02 / 2016 MATRÍCULA: EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS (1) Sejam P(x) o predicado x 2 = x e Q(x) o predicado

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos. 2.1 Existem diferentes tipos de infinito

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos. 2.1 Existem diferentes tipos de infinito Capítulo 2 Conjuntos Infinitos O conjunto dos números naturais é o primeiro exemplo de conjunto infinito que aprendemos. Desde crianças, sabemos intuitivamente que tomando-se um número natural n muito

Leia mais

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Segunda Prova. Primeiro Semestre de T o t a l

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Segunda Prova. Primeiro Semestre de T o t a l Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 2006 Segunda Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Questão 1. A matriz de mudança da base ordenada

Leia mais

p: João Alvaro w: e: Lista de exercícios de Matemática Função composta. Função inversa.

p: João Alvaro w:  e: Lista de exercícios de Matemática Função composta. Função inversa. p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Lista de exercícios de Matemática Função composta. Função inversa. EXERCÍCIOS DE EMBASAMENTO 1. Dados A = { 1, 1, 0, 1, 2}, B = { 3,

Leia mais

3º Bimestre. Álgebra. Autor: Leonardo Werneck

3º Bimestre. Álgebra. Autor: Leonardo Werneck 3º Bimestre Autor: Leonardo Werneck SUMÁRIO CAPÍTULO 01 RELAÇÕES E FUNÇÕES... 6 1. O Plano Cartesiano... 6 2. Produto Cartesiano... 7 2.1. Gráfico de um Produto Cartesiano... 8 2.2. O produto ℝ ℝ ou ℝ𝟐...

Leia mais

Lista de Exercícios 01

Lista de Exercícios 01 OBS: O exercícios marcados com "*" devem ser entregues na aula seguinte Conjunto: representa uma coleção de objetos. Elemento: é um dos componentes de um conjunto. Lista de Exercícios 01 Pertinência: é

Leia mais

Unidade 3. Funções de uma variável

Unidade 3. Funções de uma variável Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.

Leia mais

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas Prof a.: Elisangela Farias e Sérgio Motta FUNÇÕES Sejam X e Y conjuntos.

Leia mais

MATEMÁTICA. Função Composta e Função Inversa. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

MATEMÁTICA. Função Composta e Função Inversa. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1 MATEMÁTICA Função Composta e Função Inversa Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Função Composta A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção

Leia mais

Matemática Discreta Parte 11

Matemática Discreta Parte 11 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta Parte 11 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti

Leia mais

FUNÇÃO. Regra. Lei de Formação. Propriedade

FUNÇÃO. Regra. Lei de Formação. Propriedade FUNÇÃO Regra Lei de Formação Propriedade Definição: Uma relação f é chamada função desde que (a,b) f e (a,c) f impliquem b=c. A definição acima equivale a dizer que : uma relação f não é uma função se

Leia mais

MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre transformações lineares. Os Exercícios 3 e 4 são os exercícios bônus dessa lista.

MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre transformações lineares. Os Exercícios 3 e 4 são os exercícios bônus dessa lista. MCTB002-13 Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre transformações lineares Os Exercícios 3 e 4 são os exercícios bônus dessa lista. Definição 1. Dados conjuntos X e Y, uma função ϕ :

Leia mais

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi IMPORTANTE A resolução apresentada aqui vai além de um mero gabarito. Além de cumprir esse papel de referência para as respostas,

Leia mais

MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/ Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5

MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/ Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5 MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/2016 Aula 04 FUNÇÃO MODULAR 01.01. Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5 c) ( ) x² d) ( ) 3 ² 3 e) (

Leia mais

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0 Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,

Leia mais

Jair Silvério dos Santos * par ordenado tal que x A e y B}.

Jair Silvério dos Santos * par ordenado tal que x A e y B}. MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 1, 1 16 (2010) Calculo Cálculo Diferencial e Integral I FUNÇÕES Jair Silvério dos Santos * Relação entre conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

Função Inversa. 1.Função sobrejetora 2.Função injetora 3.Função bijetora 4.Função inversa

Função Inversa. 1.Função sobrejetora 2.Função injetora 3.Função bijetora 4.Função inversa UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Inversa Prof.: Rogério

Leia mais

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 1

Cálculo Diferencial e Integral 1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 08/Sem_0 Cálculo ii Índice Funções.... Intervalos.... Deinição de unção.... Classiicação de unções... 6.4 Função composta...

Leia mais

Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda)

Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda) Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Etensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda). (Udesc 0) A função f definida por f() é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o domínio (D(f)) e a imagem

Leia mais

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)

Leia mais

Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações

Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações Notação. Usaremos Nat para representar o conjunto dos números naturais; Int para representar o conjunto dos números inteiros. Para cada n Nat, [n] representa o

Leia mais

Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais

Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte A

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte A Universidade Federal do Rio Grande FURG Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 5 CAPES FUNÇÕES Parte A Prof. Antônio Maurício Medeiros Alves Profª Denise Maria Varella Martinez UNIDADE

Leia mais

Bases Matemáticas - Turma B3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi

Bases Matemáticas - Turma B3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi Bases Matemáticas - Turma B3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi IMPORTANTE A resolução apresentada aqui vai além de um mero gabarito. Além de cumprir esse papel de referência para as respostas,

Leia mais

Aula 04 Funções. Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1

Aula 04 Funções. Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1 PARIDADE Define-se como paridade o estudo das características do que é igual ou semelhante, ou seja, é uma comparação para provar que uma coisa pode ser igual ou semelhante à outra. Função Par Define-se

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B.

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B. Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento

Leia mais

Funções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).

Funções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2). FUNÇÃO QUADRÁTICA Funções quadráticas Definição Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser definida por uma expressão analítica da forma ax 2 + bx + c, com a, b, c R e a 0 (ou seja, é toda

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 2 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

(j) f(x) = (w) h(x) = x. (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sin x. > 0 x 2 4x (g) x + 4 2x 6 (h)

(j) f(x) = (w) h(x) = x. (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sin x. > 0 x 2 4x (g) x + 4 2x 6 (h) Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista : Funções - Cálculo Diferencial e Integral I. Determine o domínio e construa o gráco das seguintes funções. A seguir identique como estão relacionados os grácos

Leia mais