Faculdade de Informática e Tecnologia de Pernambuco. Primeira lista de exercícios de Álgebra Aplicada à Computação Prof. Diego Machado Dias

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1 Faculdade de Informática e Tecnologia de Pernambuco Primeira lista de exercícios de Álgebra Aplicada à Computação Prof. Diego Machado Dias Instruções 1. No início de cada seção da lista há uma sugestão de livro em que o assunto necessário para resolução das questões da seção pode ser encontrado. Recomenda-se que o aluno leia a bibliografia sugeridae que não estude unicamente através das notas de aula. 2. Tente resolver a lista de exercícios individualmente. Se você tiver dificuldade, junte-se com algum colega de classe para discutir as questões. 3. A prova terá nível de dificuldade equivalente ao da lista e o tempo estimado para resolver a prova leva em consideração que o aluno já conhece o formato das questões. Faça esta lista com dedicação, pois ela vai ajudá-lo na prova. Bons estudos! 1

2 Lógica Formal Sugestão de bibliografia: Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Judith L Gersting. 3a. Edição. Capítulo 1. Questão 1: Quais das frases a seguir são sentenças? a) A lua é feita de queijo verde. b) Ele é um homem alto. c) Dois é um número primo d) O jogo terminará logo? e) As taxas do ano que vem serão maiores. f) As taxas do ano que vem serão menores. Questão 2: Indique o antecedente e o consequente de cada uma das seguintes sentenças: a) O crescimento sadio das plantas é consequência de quantidade suficiente de água. b) O crescimento da oferta de computadores é uma condição necessária para o desenvolvimento científico. c) Haverá novos erros apenas se o programa for alterado. d) A economia de combustível implica um bom isolamento, ou todas as janelas são janelas para tempestades. Questão 3: Construa as tabelas-verdade para as seguintes wffs (well formed formulas). Indique as tautologias e as contradições. a) (A B) A B b) (A B) C A (B C) c) A ( A B) d) A (B A) Questão 4: Toda wff é equivalente a uma sentença que use apenas os conectivos da conjunção e negação. Para garantirmos isto devemos achar wffs equivalentes para A B e A B que usem apenas e. Estas novas wffs poderão substituir, respectivamente, quaisquer ocorrências de A B e A B. (O conectivo já foi definido em termos dos outros conectivos, portanto já sabemos que pode ser substituído em uma wff ). a. Mostre que A B é equivalente a ( A B). b. Mostre que A B é equivalente a (A B). Questão 5: Com o uso dos símbolos predicados mostrados a seguir e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença na língua portuguesa como uma wff predicativa. (O domínio é todo o mundo.) D(x) é x é um dia. 2

3 S é segunda-feira. S(x) é x é ensolarado. T é terça-feira. R(x) é x é chuvoso. a) Todos os dias são ensolarados. b) Alguns dias não são chuvosos. c) Todo dia que é ensolarado não é chuvoso. d) Alguns dias so ensolarados e chuvosos. e) Nenhum dia é ensolarado e chuvoso. f) Sempre é dia ensolarado se, e somente se, um dia chuvoso. g) Nenhum dia é ensolarado. h) Segunda-feira foi ensolarada, portanto todo dia será ensolarado. i) Tanto segunda-feira quanto terça-feira foram chuvosos. j) Se algum dia for chuvoso, então todos os dias serão ensolarados. Questão 6: Prove usando equivalência lógica que as seguintes equações são tautologia. a) (a b) ( a b) b) ((p q) ( p r)) (q r) Questão 7: Prove usando equivalência lógica a) (p (p r)) ( (q r)) (p q) (p r) b) x y(p (x, y) (Q(x, y) R(x, y))) x y(p (x, y) (Q(x, y) R(x, y))) Questão 8: Prove a) (p q) (r s), p, q s b) (p q) r p (q r) c) q r (p q) (p r) d) (p q) (p r), p s, q s, p t, r t s t Questão 9: Sejam p = eu tomo a vacina H1N1 q = eu passo mal r = eu morro s = eu assisto à aula Se eu tomo a vacina H1N1, então eu passo mal e não morro. Se eu não tomo a vacina H1N1, então eu morro ou não passo mal (ou ambos). Se eu passo mal, então eu não assisto à aula. Eu assisti à aula. Dadas as premissas acima, prove que eu não tomei a vacina H1N1 3

4 Conjuntos Sugestão de bibliografia: Álgebra Booleana e Circuitos de Chavemento. Elliott Mendelson. Capítulo 2. Questão 1: Sejam a = {x 2x = 6} e b = 3. Justifique ou refute a afirmação: a = b Questão 2: Sejam A um subconjunto de B e B um subconjunto de C. Suponha que a A, b B, c C, d / A, e / B, f / C. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a) a C b) b A c) c / A d) d B e) e / A f) f / A Questão 3: Mostre que a lei do cancelamento: se A B = A C, B = C é falsa, dando um contra-exemplo. Questão 4: Mostre com um exemplo que A B C precisa de parênteses para não ser ambíguo. Questão 5: Ache todas as partições de S = {1, 2, 3}. Questão 6: Calcule o conjunto das partes de S = {a, b, c, d}. Questão 7: Mostre que a operação de diferença de conjuntos não é comutativa, isto é, a igualdade A B = B A pode falhar. Do mesmo modo, mostre que a difereça de conjuntos não é associativa, isto é, (A B) C = A (B C) também pode falhar. Nestes dois casos, é suficiente que você apresente contra-exemplos. Questão 8: Prove que a) A (B C) = (A B) (A C) b) (A C) (C B) = c) (A B = A) (A B = ) d) A (A B) = A B e) (((A B) (A C)) U) (C E) = (C E) (A (B C)), onde U é o conjunto universo. 4

5 Relações Sugestão de bibliografia: Discrete Mathematics. Kenneth A. Ross (Capítulo 3). Abreviações usadas nesta seção: (R) : Reflexiva (S) : Simétrica (T) : Transitiva (AR) : Anti-Reflexiva (AS) : Anti-Simétrica Questão 1: Para as seguintes relações sobre S = {0, 1, 2, 3}, especifique quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) as relações satisfazem. (a) (m, n) R 1 se m + n = 3 (b) (m, n) R 2 se m n é impar (c) (m, n) R 3 se m 4 (d) (m, n) R 4 se m + n 4 (e) (m, n) R 5 se max{m, n} = 3 Questão 2: Seja A = {0, 1, 2}. Cada uma das afirmações abaixo define a relação R sobre A por (m, n) R se a afirmação é verdadeira para m e n. Escreva cada uma das relações como um conjunto de pares ordenados. (a) m n (b) m < n (c) m = n (d) mn = 0 (e) mn = m (f) m + n A (g) m 2 + n 2 = 2 (h) m 2 + n 2 = 3 (i) m = max{n, 1} Questão 3: Quais das relações da questão 2 são reflexivas? Quais são simétricas? Questão 4: Defina a relação de divisibilidade R sobre N por (m, n) R se m n 5

6 Lembre-se que m n significa que n é multiplo de m. (a) Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a relação R satisfaz? (b) Defina a relação R (relação dual de R). (c) Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a relação dual de R satisfaz? Questão 5: Qual a relação entre a relação R e a relação ((R) )? Questão 6 (a) Se S é um conjunto não vazio, então o conjunto vazio é um subconjunto de S S, tal que é uma relação sobre S, denominada relação vazia. Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a relação possui? Justifique usando a definição das propriedades e identidades da lógica. (b) Repita a parte (a) para a relação universal U = S S sobre S. Questão 7 De um exemplo de uma relação que seja: (a) anti-simétrica e transitiva, mas não reflexiva (b) simétrica, não reflexiva e não transitiva Questão 8 Seja R uma relação e R a relação dual de R. Podemos afirmar que se R satisfaz as propriedades (R),(AR),(S) e (AS) então R também deve satisfaz? O inverso também é verdade? Isto é, se R satisfaz (R),(AR),(S) e (AS), então R também deve satisfaz? Questão 9 Sejam R 1 e R 2 relações sobre um conjunto S. (a) Prove que R 1 R 2 é reflexiva se R 1 e R 2 são. (b) Prove que R 1 R 2 é simétrica se R 1 e R 2 são. (c) Prove que R 1 R 2 é transitiva se R 1 e R 2 são. Questão 10 Sejam R 1 e R 2 relações sobre um conjunto S. Questão 11 Represente graficamente cada uma das relações da questão 1. 6

7 Figure 1: Relações (Questão 12) 7

8 Questão 12 Dê as matrizes para os dígrafos da Figura 1. Questão 13 Quais das seguintes relações são relações de equivalência? Para aquelas que não são relações de equivalência, especifique quais das propriedades (R), (S) e (T) falham e ilustre as falhas com exemplos. (a) Sejam p 1 e p 2 americanos. Seja a relação definida como p 1 p 2 se p 1 e p 2 vivem no mesmo estado. (b) Sejam p 1 e p 2 americanos. Seja a relação definida como p 1 p 2 se p 1 e p 2 vivem no mesmo estado ou em estados vizinhos. (c) Sejam p 1 e p 2 pessoas. Seja a relação definida como p 1 p 2 se p 1 e p 2 possuem um dos pais em comum. (d) Sejam p 1 e p 2 americanos. Seja a relação definida como p 1 p 2 se p 1 e p 2 possuem a mesma mãe. Questão 14 Seja S um conjunto. A igualdade, isto é, = é uma relação de equivalência? Questão 15 (a) Para m e n Z, defina m n no caso em que m n é par. A relação é uma relação de equivalência? (b) Para a e b em R, defina a b no caso em que a b 1. Alguém poderia dizer que a b no caso em que a e b são próximos o suficiente ou aproximadamente igual. A relação é uma relação de equivalência? 8

9 Relações de Ordem e Reticulados Sugestão de bibliografia: Discrete Mathematics. Kenneth A. Ross (Capítulo 11). Questões 1, 3, 7(a), 11, 12, 13 e 20 das pág. 432 e 433 do Discrete Mathematics (Kenneth A. Ross) Há um PDF desta seção do livro no site da disciplina. O link está disponível na aula 11 [09/09/2011]. 9

10 Álgebras de Boole Sugestão de bibliografia: Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento. Elliott Mendenlson (Cap. 3). Questão 1: Faça o exercício 3.1 da seção Problemas resolvidos do capítulo 3 do Elliott Mendelson justificando cada etapa das provas, como foi feito na aula do dia 21/09/2011 (veja slides). Questão 2: Estabeleça a relação entre reticulados e álgebras booleanas. 10