Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011

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1 Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP (A) Relações de Equivalência e Quocientes 1. Seja N = {0, 1, 2,...} o conjunto dos números naturais e considere em X = N N a seguinte relação: (a, b) (c, d) a + d = b + c. (a) Mostre que essa relação é uma relação de equivalência em X. (b) Quais elementos estão relacionados com (1, 2)? E com (2, 1)? (c) Seja Z = X/ o quociente de X pela relação de equivalência, ou seja, o conjunto das classes de equivalência. A classe de equivalência de (a, b) será denotada por [(a, b)], isto é: [(a, b)] = {(c, d) X ; (a, b) (c, d)}. Vamos definir uma soma em Z da seguinte maneira: [(a, b)] + [(u, v)] := [(a + u, b + v)]. Mostre que essa operação está bem definida, isto é, que não depende dos representantes. (d) Mostre que essa operação é associativa, comutativa, possui um elemento neutro (vamos denotá-lo 0)(quem é ele?) e que todo elemento de Z possui um oposto (qual?). (e) Vamos definir um produto em Z assim: [(a, b)] [(c, d)] := [(bc + ad, bd + ac)]. Mostre que essa definição independe dos representantes das classes e, portanto, está bem definida. (f) Mostre que esse produto é comutativo e associativo e possui uma identidade (vamos denotá-lo 1) (quem é ele?). (g) Mostre que vale a propriedade distributiva. (h) Mostre que vale a propriedade do cancelamento, isto é: se [(a, b)] = 0, então [(a, b)] [(u, v)] = [(a, b)] [(x, y)] = [(u, v)] = [(x, y)]. (i) Seja P = {[(0, j)] ; j = 1, 2,...}. Se [(a, b)] P diremos que [(a, b)] > 0, ou seja, que [(a, b)] é positivo. Quais [(a, b)] estão em P? (j) Diremos que [(a, b)] < [(c, d)] se [(c, d)] + [(b, a)] P. Mostre que [(a, b)] P se, e somente se, 0 < [(a, b)]. (k) Mostre que se [(a, b)], [(c, d)] P então [(a, b)] + [(c, d)] e [(a, b)] [(c, d)] estão em P. (l) Mostre que, qualquer que seja [(a, b)] Z, ou [(a, b)] = 0 ou [(a, b)] > 0 ou 0 > [(a, b)].

2 (m) Se F for um subconjunto não vazio de P, mostre que F possui mínimo. (n) Mas afinal de contas: quem é esse quociente Z? Qual a finalidade de tudo o que foi feito acima? (B) Congruências 2. Mostre que cada uma das congruências abaixo é verdadeira (a) mod 7 (b) mod 40 (c) mod 37 (d) 3 30 mod Para quais inteiros positivos m as congruências abaixo são verdadeiras? (a) 27 5 mod m (b) mod m (c) mod m (d) mod m 4. Mostre que se a for par então a 2 0 mod 4 e se a for ímpar então a 2 1 mod Se a for ímpar, mostre que a 2 1 mod 8. Compare com o exercício anterior. 6. Encontre o menor resíduo não negativo módulo 13 dos seguintes inteiros: 100, 1001, 1,, 100, Encontre o menor resíduo não negativo de módulo 25. 1! + 2! + 3! ! 8. Mostre que se a b mod m e n 1 é um divisor de m, então a b mod n. Com esse resultado, mostre que é possível construir uma função π : Z m Z n definida por π(ā) = ā (cuidado: as barras denotam as classes mod m e mod n respectivamente). Mostre que π é uma função sobrejetora. Se ā Z n, encontre todas as classes b Z m tais quem π( b) = ā. Faça um caso concreto, considerando π : Z 18 Z Mostre que se a, b, c e m são inteiros tais que c > 0 e m > 0 e a b mod m então ac cb mod cm. 10. Mostre que se a b mod m então (a, m) = (b, m).

3 11. Que dígitos decimais podem aparecer como o último dígito de uma quarta podência de um inteiro? 12. Suponhamos que p seja um número primo e que a 2 b 2 mod p. Qual a relação entre as classes de a e de b em Z p? 13. Suponhamos que k e m sejam inteiros positivos tais que as congruências a k b k mod m, a k+1 b k+1 mod m sejam verdadeiras. Suponhamos que (a, m) = 1. Mostre que a b mod m. Vale a mesma conclusão se retirarmos a hipótese de que (a, m) = 1? 14. Suponhamos que n 3 seja ímpar. Mostre que Se n for par vale a mesma coisa? (n 1) 0 mod n. 15. Mostre que se n 3 for ímpar ou se n for divisível por 4 então (n 1) 3 0 mod n. 16. Mostre que se n 3 mod 4 então n = a 2 + b 2 quaisquer que sejam a, b Z. 17. Mostre que, se p é um primo, as únicas soluções de x 2 x mod p são os inteiros x tais que ou x 0 mod p ou x 1 mod p. 18. Encontre o menor resíduo não negativo de módulo Encontre o menor resíduo positivo de mod mod mod mod 23 Será que você pode propor um teorema baseado nas congruências acima? 20. Encontre o menor resíduo positivo de 1. 6! mod ! mod 11

4 3. 12! mod ! mod 17 Será que você pode propor um teorema baseado nas congruências acima? 21. Mostre que, para cada inteiro positivo m, existem infinitos números de Fibonacci F n tais que m divide F n. [Sugestão: Considere a sequência de Fibonacci projetada em Z m ] 22. Cinco homens e um macaco escaparam de um naufrágio se refugiando numa ilha. Os homens coletaram uma grande quantidade de cocos os quais eles planejaram dividir igualmente entre si na manhã seguinte. Não confiando nos seus companheiros, um dos homens se levantou durante a noite e dividiu os cocos em cinco partes iguais e mais um coco que ele deixou para o macaco. Depois disso ele escondeu a sua parte. Durante a noite, cada um dos quatro outos homens fez exatamente a mesma coisa, dividindo o montante em cinco partes iguais, deixando um coco para o macaco e escondendo a sua parte. Pela manhã os homens se reuniram e dividiram os cocos restantes em cinco partes, deixando um coco para o macaco. Qual é o número mínimo possível de cocos que os homens reuniram no dia anterior? 23. Sejam m e k inteiros positivos. Se a b mod m mostre que a k b k mod m. Se f (x) Z[x] é um polinômio de grau 1 e coeficientes inteiros, mostre que f (a) f (b) mod m. Mostre que podemos definir uma função f (x) : Z m Z m da seguinte forma ā f (a). 24. Será que existe um polinômio f (x) de coeficientes inteiros tal que f (n) é um número primo para todo natural n? [Sugestão: se existir tal f (x) então f (1) = p é primo. Calcule f (1 + kp) para k natural.] 25. Em Z m dizemos que a classe ā é invertível se existir uma classe b Z m tal que ā b = Encontre os invertíveis em Z 3, Z 4, Z 5, Z 6, Z 7, Z Encontre os invertíveis em Z p, onde p é primo. 3. Descreva todos os invertíveis em Z m. 26. Suponha que a b mod m 1, a b mod m 2,... a b mod m k. Mostre que a b mod [m 1, m 2,..., m k ], onde [m 1, m 2,..., m k ] é o menor múltiplo comum de m 1,..., m k. 27. Suponha que a b mod m 1, a b mod m 2,... a b mod m k, onde m 1,..., m k são dois a dois primos entre sí. Mostre que a b mod (m 1 m 2 m k ).

5 (C) Congruências lineares em uma variável 28. Considere o seguinte jogo entre dois jogadores A e B: existe uma pilha com 10 palitos e o jogador A inicia o jogo retirando um mínimo de 1 e um máximo de 4 palitos da pilha. O jogador B faz a mesma coisa com a pilha restante. Quem retirar o último palito perde o jogo. Existe alguma estratégia que faça A sempre vencer o jogo? 29. Generalize o problema anterior considerando uma pilha de n palitos e cada jogador é obrigado a tirar entre 1 e k palitos por jogada. 30. Seja p 5 um primo. Seja A/B a fração, já na forma reduzida, do racional abaixo: p 1. Mostre que A 0 mod p 2. Continuação da Lista. 31. Considere n = Justifique as seguintes afirmações: 1) n é divisível por 2 pois o último dígito, 8, é divisível por 2. 2) n é divisível por 4 pois o número formado pelos dois últimos dígitos, 48, é divisível por 4. 3) n é divisível por 8 pois o número formado pelos três últimos dígitos, 048, é divisível por 8. 4) n é divisível por 16 pois o número formado pelos quatro últimos dígitos, 8048, é divisível por 16. 5) n não é divisível por 32 pois o número formado pelos cinco últimos dígitos, , não é divisível por Baseado nas suas descobertas no exercício anterior, formule um critério de divisibilidade por 2 k. Faça o mesmo para 5 k. 33. Usando o fato de que 10 1 mod 3 e 10 1 mod 9, mostre que se n = (a k a k 1 a 1 a 0 ) 10 (lembre-se, essa é a notação para a representação de n na base 10), então n (a k + a k a 1 + a 0 ) mod 3 n (a k + a k a 1 + a 0 ) mod 9 Deduza daí um critério para divisibilidade por 3 e um critério de divisibilidade por 9. Aplicando o seu critério, decida se é divisível por 3 e por Um aluno observou o seguinte: O natural é divisível por 11 pois a soma alternada dos seus dígitos, = 22,

6 é um número divisível por 11. Porém o natural não é divisível por 11 pois a soma alternada dos seus dígitos, = 4, não é divisível por 11. O que você acha desse critério? 35. Se p é um primo e a é um inteiro qualquer, mostre que a p a mod p. 36. Se p é um primo e a é um inteiro tal que p a, mostre que a p 2 é o inverso de a modulo p. Use esse resultado e obtenha uma fórmula para as soluções de ax b mod p, quando p a. 37. Usando o Teorema de Wilson, encontre o menor resíduo positivo modulo 7 do inteiro Encontre o resto da divisão Euclideana de por Sabe-se que p = 4423 é um número primo e que M(p) = 2 p 1 é um primo de Mersenne que tem 1332 dígitos. Encontre o menor resíduo positivo de módulo M(p) Encontre o último dígito da expansão de na base Seja n = 4 um inteiro que não é primo. Mostre que (n 1)! 0 mod n. 42. Se p é um primo ímpar, mostre que 2(p 3)! 1 mod p 43. Se n é ímpar e 3 n, mostre que n 2 1 mod Mostre que 42 (n 7 n) para todo natural positivo n. 45. Se p e q são primos distintos, mostre que p q 1 + q p 1 1 mod (pq). 46. Se p é primo e a e b são inteiros tais que a p b p mod p, mostre que a p b p mod p Se p é um primo ímpar, mostre que (p 4) 2 (p 2) 2 ( 1) p+1 2 mod p

7 48. Se p é primo e a é um inteiro, mostre que p [a p + (p 1)!a]. 49. Para quais inteiros positivos não múltiplos de 5, temos que 4 n + n 4 é um número primo? Você é capaz de responder no caso de n ser múltiplo de 5? 50. Mostre que o par de inteiros positivos n e n + 2 são ambos primos (primos gêmeos) se, e somente se 4 [(n 1)! + 1] + n 0 mod n(n + 2). 51. Nós estudamos o Teorema Chinês dos Restos quando os módulos eram dois a dois primos entre si. Um estudante considerou o sistema: x 3 mod 45 x 7 mod 756 e raciocinou assim: Pelo Teorema Chinês dos Restos que estudamos em classe, a primeira equação é equivalente ao sistema: x 3 mod 9 x 3 mod 5 e a segunda equação do sistema original, igualmente pelo TCR já visto, é equivalente ao sistema x 7 mod 27 x 7 mod 28 Ora, a primeira e a terceira equações são tais que, se x 7 mod 27, então automaticamente x 7 mod 9, ou seja, x 3 mod 9. Assim, o sistema original onde os módulos não eram relativamente primos ficou equivalente ao sistema x 3 mod 5 x 7 mod 27 x 7 mod 28 E esse último sistema tem os módulos dois a dois relativamente primos e pode ser resolvido como em classe O que você acha desse raciocínio? Você seria capaz de generalizar esse exmplo e obter um TCR mais geral? 52.