Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Sabe-se que ( ) p q r é uma proposição falsa. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) ( p r) q (B) ( ) p q r (C) ( p q) r (D) ( ) p q r. Qual das seguintes proposições é falsa? (A) x R + >, x 5 5 (B) ( x N : x R ) (C) ( x N, x é par) (D) x R < : x A negação da proposição x N, x < x 3 é: (A) x R, x x < 3 (B) x N : x x 3 (C) x N : x x < 3 (D) x N : x > x 3 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página

3 4. Considere as seguintes proposições: a : A Juliana estuda Matemática regularmente. b : A Juliana tem sucesso nos testes de Matemática. A afirmação: Como a Juliana não estuda Matemática regularmente, não tem sucesso nos testes de pode ser traduzida por: (A) b a (B) a b (C) a b (D) a b Matemática. 5. Considere os seguintes conjuntos: { N : 5 1 é ímpar} A = x x < x n { Z : ( 1) 7, N} B = x x = + n x < n Em qual das opções seguintes está representado o conjunto B \ A? (A) {3, 5} (B) {1, 3, 5, 7} (C) {0,, 4, 6} (D) {1, 7} Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 3

4 Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. 1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições justificando a sua resposta = 8 ou + + = < 1 e Q 1.3. Se 1 > 1, então < Se o rio Tejo nasce em Portugal, então desagua em Coimbra.. Considere as seguintes proposições: p : A equação x = 0 tem solução em N. q : x Z : 3x + 5 = 8 r : Existem três números inteiros no intervalo ], [. Determine o valor lógico da seguinte proposição, justificando a sua resposta. ( p q) p ( q r) 3. Prove, utilizando uma tabela de verdade, que: ( ) ( ) p p q p q 4. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique a expressão seguinte: ( ) ( ) ( ) a a b a b a b Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 4

5 5. Considere, em R, as seguintes condições: p( x) : x 4 = 0 q( x) : x + 5 < 3 r ( x) : x Classifique cada uma das condições. 5.. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: x {, }, p( x) 5... x Z : q( x) x R : p( x) ( q( x) ) 5.3. Indique uma condição a ( x ), possível mas não universal em R, tal que a condição ( ) p( x) seja universal em R e ( ) a x a seja uma proposição verdadeira. 6. Considere os seguintes conjuntos A, B e C : { Z : 1 5} ; B = { x Z : 3x 6 x < 6} ; C = {, 1, 0,, 3, 6} A = x x < Represente em extensão cada um dos conjuntos: 6.1. A 6.. B 6.3. A B 6.4. C \ A 6.5. C B FIM Grupo I 40 pontos Grupo II 160 pontos COTAÇÕES Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 5

6 1. ( ) p q r é uma proposição falsa. Proposta de resolução Grupo I Logo, p q é verdadeira e r é falsa pelo que p V, q V e r F. ( p r) q ( ) V F V V V F V F ( p q) r ( ) V V F F ( p q) r ( ) V V F F V V ( p q) r ( ) V V F V V F V F Resposta: (C) = 5. Logo, a proposição Resposta: (A), x 5 5 x R + > é falsa. x N, x < x 3 x N : x < x 3 x N : x x < 3 3. ( ) ( ) Resposta: (C) 4. A Juliana não estuda Matemática regularmente. a A Juliana não tem sucesso nos testes de Matemática. b A afirmação: Como a Juliana não estuda Matemática regularmente, não tem sucesso nos testes de pode ser traduzida por a b. Resposta: (D) Matemática. 5. A = { x N : x 5 < 1 x é ímpar } = { x N : x < 17 x é ímpar } = { x N : x 8 x é ímpar} A = { 1, 3, 5, 7} n B = { x Z : x = ( 1) + n x < 7, n N} Para 1 Para Para 3 Para 4 Para 5 Para 6 n =, ( ) 1 x = = 1+ 1 = 0 n =, ( ) x = 1 + = 1+ = 3 n =, ( ) 3 x = = 1+ 3 = n =, ( ) 4 x = = 1+ 4 = 5 n =, ( ) 5 x = = 1+ 5 = 4 n =, x ( ) 6 Para 7 n =, ( ) 7 B = { 0,, 3, 4, 5, 6} = = 1+ 6 = 7 B x = = 1+ 7 = 6 { } { } { } B \ A = 0,, 3, 4, 5, 6 \ 1, 3, 5, 7 = 0,, 4, 6 Resposta: (C) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 6

7 = = 8 V F V A proposição é verdadeira. GRUPO II < 1 Q V F F A proposição é falsa ( V V) V A proposição é verdadeira F F V A proposição é verdadeira.. x = 0 x = 0 A proposição p é falsa: p F 3x + 5 = 8 3x = 3 x = 1 Z A proposição q é verdadeira: q V 1, 0 e 1 são os números inteiros do intervalo ], [. A proposição r é verdadeira: ( p q) p ( q r ) r V ( F V) F ( V V) F ( V V) ( V V) A proposição é verdadeira. V 3. p q p q ( p q) p ( p q) p q p q V V V F F F F F V F F V V F V V F V V F V V F V F F V F V V V V Da igualdade entre as colunas indicadas, podemos concluir que: ( ) ( ) p p q p q Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 7

8 4. a ( a b) ( a b) ( a b ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a b a b a b Distributividade, Leis de De Morgan e ( b) ( ) ( ) F a b a a b a a F e distributividade ( ) ( V ) b a b b F é elemento neutro para a disjunção e a a V ( a b) b V é elemento neutro para a conjunção ( ) a b b ( x y) ( x y) ( ) a b b Leis de De Morgan e ( a) a ( b b ) Associativa a V b b V V a 5.1. x x x 4 = 0 = = p ( x ) é possível não universal. x + 5 < 3 x < q ( x ) é impossível. x x 1 r ( x ) é universal A proposição é verdadeira porque e são soluções de p ( x ) A proposição é falsa porque, como q ( x ) é impossível em R, q ( x ) é impossível em Z q ( x ) é impossível em R. Logo q ( x) é universal em R. Portanto, a proposição x : p ( x) ( q ( x) ) R é verdadeira porque a conjunção de uma condição possível com uma condição universal é uma condição possível Seja a condição a ( x) : x Temos que: ( ) ( ) ( ) p x a x x 4 = 0 x x = x = x x R Logo, a ( x) p ( x) é universal em R. Por outro lado, a ( ) é uma proposição verdadeira. Assim, a condição a ( x) : x é tal que a ( x) p ( x) é uma condição universal em Re ( ) uma proposição verdadeira. a é Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 8

9 6.1. A = { x Z : 1 x < 5} = { 1, 0,1,, 3, 4} B = { x Z : 3x 6 x < 6 } = x Z : x x < 6 = x Z : x x < 6 = { 3, 4, 5} 6.3. A B = { 1, 0,1,, 3, 4} { 3, 4, 5} = { 1, 0,1,, 3, 4, 5} 6.4. C \ A = {, 1, 0,, 3, 6 } \{ 1, 0, 1,, 3, 4} = {, 6} 6.5. C B = { x : x C x B} = C \ B = {, 1, 0,, 3, 6 } \{ 3, 4, 5} = {, 1, 0,, 6} Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 9