MATEMÁTICA 3 MÓDULO 1. Lógica. Professor Renato Madeira

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2 MATEMÁTICA 3 Professor Renato Madeira MÓDULO 1 Lógica

3 SUMÁRIO 1. Proosição. Negação 3. Conectivos 4. Condicionais 4.1. Relação de imlicação 4.. Relação de equivalência 5. Álgebra das roosições 6. Quantificadores 7. Negação de roosições (Leis de De Morgan) 8. Técnicas de demonstração 8.1. Demonstração Indireta ou Redução ao Absurdo 8.. Contra Exemlo 8.3. Princíio Da Indução Finita (P.I.F.)

4 1. PROPOSIÇÃO Proosição ou Sentença é toda oração declarativa que ode ser classificada em verdadeira ou falsa. Toda roosição aresenta um, e somente um, dos valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F). Exemlo: São roosições verdadeiras: 9 5 e Z. São roosições falsas: 1 N e > 5. Tautologia (roosição logicamente verdadeira) é a roosição que ossui valor V (verdadeira) indeendente dos valores lógicos das roosições das quais deende. Ex.: A frase O recém-nascido é menino ou menina é semre verdadeira, ois sendo menino teremos V ou F, sendo menina teremos F ou V e em ambos os casos o resultado é verdadeiro. Contradição (roosição logicamente falsa) é a roosição que ossui valor F (falsa) indeendente dos valores lógicos das roosições das quais deende. Ex.: A frase O recém-nascido é menino e menina é semre falsa, ois sendo menino teremos V e F, sendo menina teremos F e V e em ambos os casos o resultado é falso.

5 . NEGAÇÃO A negação de uma roosição é indicada or (ou ) e tem semre valor oosto ao de. Tabela verdade V F F V Exemlo: A negação de : 9 5 F é : 9 5 V.

6 3. CONECTIVOS A conjunção (e), denotada or verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A disjunção (ou), denotada or ou. q, é verdadeira se e q são ambas é falsa. ou + q, é verdadeira se ao menos uma das roosições ou q é verdadeira; se e q são ambas falsas, então q q Tabela verdade q q q V V V V V F F V F V F V F F F F q q é falsa. Exemlos: é falsa, ois V F é verdadeira, ois é falsa. V F é verdadeira.

7 4. CONDICIONAIS O condicional, denotado or q é falso somente quando é verdadeira e q é falsa; caso contrário, q é verdadeiro. O bicondicional, denotado or q é verdadeiro somente quando e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer q é falso. Tabela verdade q q q V V V V V F F F F V V F F F V V A recíroca de q é a roosição q. A contrária de q é a roosição. A contraositiva de q é a roosição. q q Uma roosição e sua contraositiva são equivalentes: q q A recíroca e a contrária de uma roosição são equivalentes: q q

8 4.1. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO Diz-se que imlica q ( q) quando na tabela de e q não ocorre VF em nenhuma linha, ou seja, quando o condicional q é verdadeiro. q é condição suficiente ara q q é condição necessária ara

9 Um teorema é uma imlicação da forma (hiótese tese). Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que, semre que a hiótese for verdadeira, a tese também será verdadeira. Exemlo: x = x = 4 (note que a volta não é necessariamente verdadeira) A roosição ( q) será falsa se existir um objeto matemático que satisfaça a hiótese e não satisfaça a conclusão q (VF). Esse objeto é chamado contra exemlo ara a roosição ( q). Por outro lado, um objeto matemático que satisfaça a hiótese e a tese q se diz um exemlo ara a roosição ( q). Um único contra exemlo é suficiente ara rovar que uma roosição é falsa, entretanto enumerar exemlos não garante que a roosição seja verdadeira.

10 4.. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Diz-se que é equivalente a q ( q ou q) quando e q têm tabelasverdades iguais, isto é, quando e q têm semre o mesmo valor lógico, ou seja, q é verdadeiro. q é condição necessária e suficiente ara q se, e somente se, q

11 Exemlo: Resolver a equação x 5x 1 1 x. x 5x 1 1 x x 5x 1 x 1 x 0 x 3 x 5x 1 x 1 3x 9x 0 Testando as raízes obtidas verifica-se que x = 0 não é uma raiz válida. Essa raiz aareceu exatamente quando se elevou ao quadrado ambos os membros da equação, ois, nesse caso, não valia a relação de equivalência, mas somente a imlicação. Como se ode notar, o novo conjunto solução S = {0,3} continha o conjunto solução da equação inicial S = {3}. Uma outra maneira de resolver a equação utilizando somente equivalências seria: x 5x 1 1 x x 5x 1 x 1 x 5x 1 x 1 x 1 0 3x 9x 0 x 1 1 x 0 x 3 x x 3

12 5. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Proriedade Idemotente Proriedade Comutativa q q q q Proriedade Associativa Distributividade q r q r q r q r q r q r q r q r

13 5. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Absorção q q Dula Negação Contraositiva ( q) (q ) Transformação de imlicação em disjunção ( q) ( q)

14 6. QUANTIFICADORES O quantificador universal () indica qualquer que seja, ara todo. Exemlo: (xr) (x 0) O quantificador existencial () indica existe, existe elo menos um, existe um. indica existe um único, existe um e um só. Exemlos: x x 1 x x 1

15 7. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (LEIS DE MORGAN) A negação de roosições com conectivos ou condicionais é feita com base nas relações seguintes (Leis de De Morgan): Exemlos: q q q q q q 1) A negação de Juca é bom e honesto é Juca não é bom ou não é honesto. ) A negação de Juca é bom ou honesto é Juca não é bom e não é honesto. 3) A negação de Se Juca é bom, então é honesto é Juca é bom e não é honesto.

16 A negação de uma roosição do tio: Para todo objeto, com uma certa roriedade, algo acontece é: Existe um objeto com a certa roriedade, tal que aquele algo não acontece. A negação de uma roosição do tio: Existe um objeto, com uma certa roriedade, ara o qual algo acontece é: Para todo objeto com a certa roriedade, aquele algo não acontece. Atente ara os casos a seguir: Em geral, usa-se o quantificador existencial ara negar roosições com quantificador universal, e o quantificador universal ara negar roosições com quantificador existencial. PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO Todos os alunos usam óculos. Existe elo menos um aluno que não usa óculos. Algum aluno usa óculos. Nenhum aluno usa óculos. Todo homem é honesto. Algum homem não é honesto. Algum homem é honesto. Todo homem não é honesto. 9 > 5 9 5

17 8. TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO 8.1. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA OU REDUÇÃO AO ABSURDO Consiste em admitir a negação da conclusão q e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer c (uma roosição logicamente falsa como. ex. ). x,y * Exemlo: Sendo, rove que. x y y x Suondo or absurdo a negação da roosição inicial x y y x x y x y x y xy x y 0 y x xy, teremos: CONTRADIÇÃO. Logo, a roosição inicial é válida.

18 8.. CONTRA EXEMPLO Para mostrar que uma roosição da forma mostrar que a sua negação xax xa x é falsa (F), basta é verdadeira (V), isto é, que existe elo menos um elemento x 0 A tal que (x 0 ) é uma roosição falsa (F). O elemento x 0 diz-se um contra exemlo ara a roosição. xax Exemlo: Prove que a roosição n x n é falsa. Basta verificar que ara n = tem-se é falsa. Logo é um contraexemlo ara a roosição aresentada que, em consequência, é falsa.

19 8.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (P.I.F.) Alicação do PIF Passo1: demonstrar que a afirmação é verdadeira ara um caso articular, or exemlo, n = 1 (ou o menor elemento do conjunto); Passo: suor que a afirmação é válida ara n = k (hiótese de indução); Passo3: demonstrar, a artir disto, que a afirmação é válida ara n = k + 1.

20 nn 1 Exemlo: Demonstrar que 1 3 n. Vamos alicar o Princíio da Indução Finita (PIF): 11 1 Passo1: n 1: 1 V Passo : k k 1 Suondo que a roriedade é válida ara n = k, então 1 3 k. Passo 3: Para n = k + 1, temos: k k 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 k 1 1 Como a roriedade é válida também ara n = k + 1, ela é válida ara todo natural. C.Q.D. nn n

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