BIZU PARA POLÍCIA FEDERAL PROFESSOR: GUILHERME NEVES
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- Maria Bergmann Bacelar
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1 Olá, pessoal! Meu nome é Guilherme Neves e estou ministrando o curso de Raciocínio Lógico para o concurso da Polícia Federal que será realizado pelo CESPE-UnB. Vamos, de uma maneira sucinta, fazer uma análise do edital e dar algumas dicas que possam te auxiliar (não basta acertar a questão, tem que fazer rápido!!) na hora da prova. Eis o nosso conteúdo programático: RACIOCÍNIO LÓGICO: 1. Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. O CESPE é gosta de cobrar detalhes que muitas vezes são esquecidos por outras bancas. Vamos começar falando de estruturas lógicas e lógica de argumentação (Tópicos 1, 2, 3 e 4 do conteúdo supracitado). Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Em suma, precisamos saber que toda proposição é uma frase que: i) Deve possuir sentido completo, ou seja, deve possui sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Desta forma, expressões do tipo Os alunos do Ponto dos Concursos. não são consideradas proposições (pois não há predicado). ii) Deve ser declarativa (não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa). Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Exemplo: 5 10 Prof. Guilherme Neves 1
2 Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada. x é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. Vejamos outro exemplo de sentença aberta: Ele ganhou o Oscar de melhor ator em Ora, não sabemos quem é ele. Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F. Se ele for Russel Crowe, então a frase é verdadeira. Se ele for qualquer outra pessoa que não Russel Crowe, então a frase é falsa. Como não sabemos quem é ele, não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada uma proposição. Bom, além de precisar entender o conceito de proposição, devemos aprender a operar com os conectivos lógicos. Podemos resumir todas as regras com a seguinte tabela-verdade: p q p q p q p q p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção p q Disjunção p q Condicional p q Bicondicional p q As duas proposições p, q devem ser verdadeiras. Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. Prof. Guilherme Neves 2
3 É muito importante ter velocidade na construção de tabelas verdade. Vamos treinar um pouco construindo a tabela verdade de cinco proposições com apenas uma tabela. Exercício: Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) (B) ~ (C) ~ (D) (E) Vamos responder esta questão construindo uma tabela única para todas as alternativas (é MUITO importante que você treine a construção de tabelas verdade). Em todas as alternativas precisamos das proposições simples, e suas respectivas negações. Comecemos com elas. ~ ~ V V F F V F F V F V V F F F V V Com esta tabela-base, já temos condições de construir as proposições das alternativas A e B. Para construir as proposições das outras alternativas, precisamos construir as proposições que estão nos parênteses:, e ~. ~ ~ ~ V V F F V F F V F V V F F F V V : Devemos nos ater às duas primeiras colunas. A composta será verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros. Isto acontece apenas na primeira linha. : Novamente devemos nos ater às duas primeiras colunas. A composta do ou é verdadeira quando pelo menos um dos componentes for verdadeiro. Isto só não acontece na última linha. Portanto, as três primeiras linhas são verdadeiras e a última linha é falsa. Prof. Guilherme Neves 3
4 ~ : Vamos nos concentrar na segunda e terceira colunas. Como é uma conjunção (e), a composta será verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros. Isto acontece apenas na terceira linha. ~ ~ ~ V V F F V V F V F F V F V F F V V F F V V F F V V F F F Estamos prontos para construir todas as proposições das alternativas (a alternativa A já foi construída na 6ª coluna e não é uma tautologia). V V F F V V F V F F V F V F F V V F F V V F F V V F F F (B) ~ : Para construir esta coluna devemos nos concentrar na primeira e quarta colunas. A conjunção será verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros (segunda linha). V V F F V V F F V F F V F V F V F V V F F V V F F F V V F F F F (C) ~ : Esta proposição é composta pelo se..., então.... O antecedente (proposição que antecede a seta) é (sexta coluna). O consequente é a proposição ~ (sétima coluna). O condicional (se..., então) só é falso quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (quando aparece VF nesta ordem). Isto acontece na primeira e segunda linhas. Nas outras linhas a proposição composta é verdadeira. V V F F V V F F F V F F V F V F V F F V V F F V V F V F F V V F F F F V (D) : Devemos tomar MUITO CUIDADO nesta alternativa. Ela é muito parecida com a alternativa E. Temos novamente uma proposição composta pelo se..., então.... Este é o único conectivo que FAZ QUESTÃO DE ORDEM. Vejamos: o antecedente é a Prof. Guilherme Neves 4
5 proposição e o consequente é a proposição. Devemos olhar primeiro a sexta coluna e depois a quinta coluna. Devemos olhar estas duas colunas da DIREITA para a ESQUERDA. Repito...tome MUITO CUIDADO!!! V V F F V V F F F V F F V F V F V F F V V F F V V F V F F V V F F F F V Coloquei em vermelho as duas colunas em que devemos nos concentrar. O condicional é. Vamos procurar onde há VF da direita para a esquerda (pois quando ocorre VF o condicional é falso). Isto acontece na segunda e terceira linhas. V V F F V V F F F V V F F V F V F V F F F V V F F V V F V F F F V V F F F F V V (E) : Nesta alternativa vamos nos ater novamente na quinta e na sexta coluna. Só que desta vez olharemos da esquerda para a direita, já que o antecedente é e o consequente é. V V F F V V F F F V V F F V F V F V F F F V V F F V V F V F F F V V F F F F V V Há algum VF da esquerda para a direita? Não!!! Isto significa que o condicional nunca é falso. Trata-se, portanto, de uma tautologia. V V F F V V F F F V V V F F V F V F V F F V F V V F F V V F V F V F F V V F F F F V V V Gabarito: E Prof. Guilherme Neves 5
6 Há ainda dois tópicos importantes nesta parte de Lógica proposicional: equivalências lógicas e negações. E o que são proposições logicamente equivalentes? Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Memorize: As proposições p q, ~ q ~ p e ~ p q são logicamente equivalentes. Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q. ~ q ~ p Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo se...,então ~ p q Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por ou. Por exemplo, dada a proposição Se bebo, então não dirijo, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela: i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo. Veja um exemplo do CESPE: (MPE-AM 2007/CESPE-UnB)09. A proposição Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco é equivalente à proposição O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco. Resolução Dada a proposição Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo por ou. Obtemos: O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco. O item está certo. É importante saber a negação das principais proposições compostas. Comecemos pelas Leis de De Morgan. As Leis de De Morgan explicam como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. Você saberia, por exemplo, negar a proposição Vou à festa ou não me chamo Guilherme.? Bom, a negação de Vou à festa é Não vou à festa. A negação de não me chamo Guilherme é me chamo Guilherme. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa me chamo Guiherme Prof. Guilherme Neves 6
7 É agora que entra a primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO OU PELO E. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa e me chamo Guiherme Pronto, só isso! A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Negue a proposição Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell não era brasileiro. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Lula foi presidente do Brasil Negação Lula não foi presidente do Brasil e Bertrand Russel não era brasileiro. ou Bertrand Russell era brasileiro. Precisamos também aprender a negar proposições compostas pelo se..., então.... Neste caso, basta afirmar o antecedente, negar o consequente e trocar o conectivo por e. Exemplo: Negue a proposição Se bebo, então não dirijo. Afirme o antecedente: Bebo Negue o consequente: Dirijo Troque o conectivo por e : Bebo e dirijo resposta Temos ainda que saber como negar proposições que utilizam quantificadores. Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas. Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Particular afirmativa ( algum... ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) (Agente de Polícia Federal/2009/CESPE) Se A for a proposição Todos os policiais são honestos, então a proposição A estará enunciada corretamente por Nenhum policial é honesto. Prof. Guilherme Neves 7
8 Resolução Para negar uma proposição universal afirmativa (todo), devemos trocá-la pela particular negativa (algum...não). Afirmação Todos Os policiais são honestos. Negação Algum Policial não é honesto. O item está errado. Problemas de contagem e probabilidade são assuntos com pouca teoria. Por outro lado, os níveis das questões variam de muito ridículo a super-hipermega-difícil. Acho que vocês devem treinar bem questões que envolvam o princípio fundamental da contagem e combinações. São os problemas que o CESPE mais gosta (e que você tem uma grande chance de acertar!). As questões de probabilidade do CESPE costumam ser bem mais simples do que outras bancas como ESAF. Eles praticamente se limitam a problemas que envolvem casos favoráveis e casos possíveis. Em relação aos problemas aritméticos, geométricos e matriciais, acho que vocês devem treinar o seguinte: - Aritméticos porcentagens (principalmente aqueles problemas com textos enormes que o CESPE costuma colocar). - Geométricos problemas envolvendo cálculos de áreas, escalas e mudanças de unidades. - Matriciais problemas que recaiam em um sistema de equações (o que é bem comum nas provas do CESPE). É isso, pessoal. Um forte abraço e uma boa prova a todos. Guilherme Neves Prof. Guilherme Neves 8
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