Lógica A lógica fornece-nos regras e técnicas para determinar se um argumento é válido. Matemática. Lógica Demonstração de teoremas

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1 Lógica Lógica A lógica fornece-nos regras e técnicas ara determinar se um argumento é válido. Matemática Lógica Demonstração de teoremas Ciências de comutação Lógica erificação de rogramas ida corrente (raciocínios lógicos) 1 Lógica Raciocínios correntes Raciocínios lógicos e não lógicos Os eixes vivem na água, a baleia vive na água, logo a baleia é um eixe. Ontem disse que, se amanhã chovesse, ia ao cinema. Como choveu, vim ao cinema. Ontem disse que, se amanhã chovesse, ia ao cinema. im ao cinema, logo está a chover. 2

2 Lógica - ormalismo Proosição é uma afirmação que é verdadeira ou falsa mas nunca ambas Proosições 2+3=5 2+2=5 x N 2+ x =5 x N 2+ x =5 Não roosições 2+ x =5 Estudem! Já tocou? ( x =?) (ordem) (interrogação) 3 Lógica Proosições simles e comostas Proosições simles (variáveis), q, r, Oerações lógicas ~,,, &,, Proosições simles + Oerações lógicas Proosições comostas (3 > 5 7 = 4) 6 > 3 Hoje, às 3h, vou à aula e ao café. 4

3 Negação - ~ (não) - ~ é o caso contrário de ~ Exemlo 2+1>1 ~(2+1>1) (2+1 1) 5 - q só é verdadeiro quando e q forem ambos verdadeiros Conjunção - ( e ) q q 2 < 3-5 > -8 5 < 3-5 > -8 6

4 Disjunção - ( ou inclusivo ) falso quando e q forem ambos falsos q q 2 < 3-5 > -8 5 < 3-5 > -8-2 < -3 5 > 8 - q só é 7 Disjunção - & ( ou exclusivo ) - & q é verdadeiro quando aenas um ( ou q) for verdadeiro ( ouco usado na matemática) q & q ou ara Engenharia Civil ou Electrotécnica. 2 < 3 & -5 > -8 x R x >1 & x 1 8

5 Imlicação ( se então ) - q só é falso quando é verdadeiro e q é falso q q 3+2=4 3 ar x N 2+x =4 x ar Linguagem corrente: imlica q; q se ; só se q; é condição suficiente ara q (= se ocorre q também ocorre, mas, há casos em q ocorre e não) ; q é condição necessária ara (= se q não ocorre também não, mas, há casos em que q ocorre e não). 9 Equivalência ( se e só se ) - q é verdadeiro quando e q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos q q 4 5>2 5 > 2 / 4 x N 2+x =4 x ar Linguagem corrente: se e só se q; é condição necessária e suficiente ara q (= basta verificar a ocorrência de ara garantir q e vice-versa ) ; 10

6 Lógica Tautologia roosição que é semre verdadeira, qualquer que seja o valor lógico das suas variáveis. Contradição ou Absurdo roosição que é semre falsa. Contingência roosição que ode ser verdadeira ou falsa, conforme o valor das variáveis. Exemlo: absurdo 11 Lógica : ( q) ( q ) tautologia q q q q ( q) ( q ) ( q) ( q) contingência 12

7 Lógica - tautologias Pro. de identidade q q q q Pro. comutativa ( q) r (q r) ( q) r (q r) Pro. associativa (q r) ( q) ( r) (q r) ( q) ( r) Pro. distributiva ~( q) (~) (~q) ~( q) (~) (~q) Leis de Morgan ~~ & q (~ q) ( ~q) alternativa ara rogramar q ~ q alternativa ara rogramar q ~q ~ q ( q) (q ) q ( q) (~q ~) alternativa ara rogramar ~ ( q) ~q ~ ( q) ( ~q) (~ q) & 13 Lógica - Exemlo Escreva um algoritmo ara calcular f(x) f( x) 1 = 0 1 se x< 0 se x= 0 se x> 0 Algoritmo Ler x Se x<0 então f = -1 Senão se x=0 então f = 0 Senão f = 1 im se Nota: No 2º senão, ~(x<0) ~(x=0) x 0 x 0 x>0. Logo, a condição do 3º ramo é semre verificada. 14

8 Lógica exercícios roostos Use a tabela de verdade ara verificar a tautologia 7 (diaositivo 13). Use equivalências ara, a artir de 10, obter a tautologia 11 (diaositivo 13). 15