Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o Cálculo Proporcional ou Cálculo Sentencial ou ainda Cálculo das Sentenças.

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1 NE SISTEMAS DIGITAIS I LÓGICA PROPOSICIONAL, TEORIA CONJUNTOS. A.0 Noções de Lógica Matemática A,0.1. Cálculo Proposicional Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o Cálculo Proporcional ou Cálculo Sentencial ou ainda Cálculo das Sentenças. A.0.2. Conceito de Proposição: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. A lua é quadrada. A neve é branca. Matemática é uma ciência. Não serão objetos de estudos as sentenças interrogativas ou exclamativas. A.0.3. Os símbolos da linguagem do Cálculo Proposional a) Variáveis Proporcionais: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca : q b) Conectivos Lógicos: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: 1)Λ : E, 2) V: OU, 3) : se...então, 4) " : se e somente se, 5) ~: não. Exemplos : A bola é quadrada e o céu é azul. : p Λ q (p e q são chamados conjuntivas) A bola é quadrada ou o céu é azul. : p V q ( p e q são chamados disjuntivas) Se a bola é quadrada então o céu é azul. : p q (p é o antecedente e q o conseqüente) A bola é quadrada se e somente se o céu é azul. : p " q A bola não é quadrada. : ~p A.0.4 Símbolos Auxiliares: ( ), parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos : Se a bola é quadrada e o céu é azul então a bola não é quadrada. : ((p Λ q) ~ p) A bola não é quadrada se e somente se o céu é azul. : ((~ p) "q)) A.0.5 Definição de Fórmula: 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então (A Λ B), (A V B), (A B), (A " B) e (~ A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas em 1 e 2. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, Λ, V,, ". Pág.1

2 Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Notas de Aulas Aula 2 Exemplo : A fórmula p V q V ~ r p ~ q deve ser entendida como (((p V q) Λ (~ r)) ( p (~ q))). A.0.6 As Tabelas Verdade - A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue: A.0.7 Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. A.0.8 Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. A.0.9 Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade: 1. Tabela verdade da "negação": ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). p ~p F V V F 2. Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é verdadeira se e somente as conjuntivas são verdadeiras p Λ q ; p q p Λ q V F F F V F F F F 3. Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntivas são falsos. p V q; p q p V q V F V F V V F F F 4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. p => q ; p q p => q V F F F V V F F V 5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos p q; Pág.2

3 p q p q V F F F V F F F V A.0.10 Número de Linhas de uma Tabela - Verdade: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2 n. Assim, para duas proposições são 2 2 = 4 linhas; para 3 proposições são 2 3 = 8; etc. Exemplo : A tabela verdade ((p Λ q) => r) terá 8 linhas como segue : p q r ((p Λ q) => r ). p q r F F F F V F F V V F V F V F V F F V V F V V V V F F V 1. Frases que não são proposições o Chega! o Quer assistir ao jogo? o Eu não sei bem ao certo m certo se o dia foi nublado ou escuro. 2. Frases que são proposições o A cor dos olhos da Mayra são castanhos (V) o O Marcio é um estudante de engenharia da FEI (V) o A Lucapel é uma empresa multinacional (F) o O FEI fica em São Caetano do Sul (F) o O Corinthians é o maior time do mundo (F). A.0.11 Composição de Proposições O método de construir proposições a partir de proposições existentes.é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, A = "Marcio é piloto profissional" B = "Marcio é menor" A proposição A é falsa F e B é verdadeira V, Os exemplos a seguir mostram as várias combinações com as proposições A e B e os conectivos: "Marcio não é piloto profissional " (não A) "Marcio não é menor" (não B) "Marcio é piloto profissional " e "Marcio é menor" (A e B) "Marcio é piloto profissional" ou "Marcio é menor" (A ou B) "Maria não é piloto profissional " e "Marcio é menor" ((não A) e B) Pág.3

4 "Marcio não é piloto profissional " ou "Marcio é menor" (não(a) ou B) "Marcio é piloto profissional " ou "Marcio não é menor" (A ou não(b)) "Marcio é piloto profissional " e "Marcio não é menor" (A e não(b)) Se "Marcio é piloto profissional " então "Marcio é menor" (A => B) Se "Marcio não é piloto profissional " então "Marcio é menor" (não(a) => B) "Marcio não é piloto profissional " e "Marcio é menor" (não(a) e B) "Marcio tem 22 anos" é equivalente a "Marcio não é menor" (C <=> não(b)) Observação : Para composição das proposições utiliza-se os símbolos conectivos NÃO (negação), E (conjunção), OU (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Marcio tem 22 anos. Assim, não(b) representa Marcio não é menor, uma vez que B representa Marcio é menor. A.0.12 Algumas Leis Fundamentais Lei do Meio Excluido Lei da Contradição Lei da Funcionalidade Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): Uma proposição não pode ser, simultaneamente, (F) e (V). O valor lógico (F ou V) de uma composição de proposições é determinada pelos valores lógicos de suas proposições individuais. A. ANEXO A - ÁLGEBRA DE BOOLE pág. 515 INTRODUÇÃO : George Boole nasceu em 1815 e morreu em Matemático Britânico, nasceu em Lincoln a 2 de Novembro de Boole foi e continua a ser considerado pelos colegas de profissão, e por todos aqueles que se dedicam à matemática, como um gênio. A lei especial da Lógica de Boole é baseada na proposição : x em relação a y = x. Para isso ser verdade, implica que x = 1 ou x = 0. Sendo assim, a Lógica de Boole tem que utilizar um sistema binário. Então dessa afirmação, temos: 1. X + Y = X (União) 2. X ΛY = X (Intersecção) Pela teoria dos conjuntos, temos: União X + Y Intersecção X Λ Y Pág.4

5 A.1 Teoremas da álgebra booleana. Notas de Aulas Aula 2 B = {a,b,c,...n} P1: Comutativa P2: Distributiva P3: Identidade P4: Complemento Se a,b B, então: Se a,b, e c B, então: i. a + 0 = 0 + a = i. a + a = i. a + b = i. a + (b c) = ii. a 1 = 1 a = ii. a a = ii. a b = ii. a (b + c) = ORDEM DE PRECEDÊNCIA Operador ( ) tem precedência sobre o operador ( ). A.2 ÁLGEBRA DE CHAVEAMENTO Teorema 1. Usada para descrever funções de chaveamento por meio de expressões de chaveamento. Consiste de 2 elementos B = (0,1) e 2 operações E e OU, definidas pela seguinte maneira: E OU a a a+a a a = 0 1 = A.3. Teoremas da álgebra de boole T2. Princípio da Dualidade As operações + e são intercambiáveis entre si; e Os elementos de identidade 0 e 1 tb são intercambiáveis entre si. T3. Único Complemento Todo elemento tem um único complemento. T4. T.5 T6. t7. a + 1 = 0 = a + a = (a ) = a 0 = 1 = a a = T8. Absorção 1. a + a b = 2. a (a + b) = (a a) + (a b) = T9. Pág.5

6 1. a + a b = 2. a + ab = 3. a(a + b) = T10. Associativa 1. a + (b + c) = 2. a(bc) = T11. DeMorgan 1. (a + b) = 2. (ab) = Pág.6