Aula 4: Álgebra booleana
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- Zilda Ávila Mendes
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1 Aula 4: Álgebra booleana Circuitos Digitais Rodrigo Hausen CMCC UFABC 01 de fevereiro de Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
2 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
3 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
4 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
5 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); desligado e ligado; Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
6 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); desligado e ligado; nível baixo e nível alto de um sinal; Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
7 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); desligado e ligado; nível baixo e nível alto de um sinal; 0 e 1, etc. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
8 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); desligado e ligado; nível baixo e nível alto de um sinal; 0 e 1, etc. Variável booleana: pode assumir um dos dois valores booleanos válidos. Geralmente denotada por uma letra maiúscula: A, B, C, X, Y, Z,... Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
9 Uma álgebra diferente Álgebra booleana [Boole, 1854] Álgebra onde há apenas dois valores válidos: falso e verdadeiro. Também denotados: F e V; false e true (ou F e T); desligado e ligado; nível baixo e nível alto de um sinal; 0 e 1, etc. Variável booleana: pode assumir um dos dois valores booleanos válidos. Geralmente denotada por uma letra maiúscula: A, B, C, X, Y, Z,... George Boole ( ). Matemático e filósofo inglês, pai da lógica digital moderna. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
10 Operações básicas As operações básicas da álgebra booleana são: conjunção ou multiplicação booleana: X e Y X and Y X Y X Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
11 Operações básicas As operações básicas da álgebra booleana são: conjunção ou multiplicação booleana: X e Y X and Y X Y X Y disjunção ou produto booleano: X ou Y X or Y X Y X + Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
12 Operações básicas As operações básicas da álgebra booleana são: conjunção ou multiplicação booleana: X e Y X and Y X Y X Y disjunção ou produto booleano: X ou Y X or Y X Y X + Y negação ou complemento: não X not X X X X Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
13 Operações básicas As operações básicas da álgebra booleana são: conjunção ou multiplicação booleana: X e Y X and Y X Y X Y disjunção ou produto booleano: X ou Y X or Y X Y X + Y negação ou complemento: não X not X X X X Em Java, respectivamente: X && Y, X Y,!X Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
14 Tabuadas da álgebra booleana Assim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana é obtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas são chamadas tabelas verdade. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
15 Tabuadas da álgebra booleana Assim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana é obtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas são chamadas tabelas verdade. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da negação (não) x F V x V F Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
16 Tabuadas da álgebra booleana Assim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana é obtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas são chamadas tabelas verdade. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da negação (não) Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y forem verdadeiros. x F V x V F Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
17 Tabuadas da álgebra booleana Assim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana é obtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas são chamadas tabelas verdade. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da negação (não) Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y forem verdadeiros. Disjunção (oper. ou): resultado verdadeiro apenas se x ou y forem verdadeiros. x F V x V F Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
18 Tabuadas da álgebra booleana Assim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana é obtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas são chamadas tabelas verdade. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da negação (não) Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y forem verdadeiros. Disjunção (oper. ou): resultado verdadeiro apenas se x ou y forem verdadeiros. Negação: resultado só será verdadeiro se x não for verdadeiro. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19 x F V x V F
19 Tabelas verdade com valores 0 e 1 Equivalências: F = 0, V = 1 Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da negação (não) x F V x V F Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
20 Tabelas verdade com valores 0 e 1 Equivalências: F = 0, V = 1 Tabela verdade da conjunção (e) x y x y F F F F V F V F F V V V Tabela verdade da conjunção (e) x y x y Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y F F F F V V V F V V V V Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y Tabela verdade da negação (não) x F V x V F Tabela verdade da negação (não) x x Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
21 Tabelas verdade com valores 0 e 1 Cuidado! Não confunda tabelas verdade com tabuadas da aritmética na base 2. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y Tabela verdade da negação (não) x x Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
22 Tabelas verdade com valores 0 e 1 Cuidado! Não confunda tabelas verdade com tabuadas da aritmética na base 2. Tabela verdade da conjunção (e) x y x y Tabela verdade da disjunção (ou) x y x + y Tabela verdade da negação (não) x x A partir de agora, daremos preferência a representar os valores lógicos por 0 e 1 (exceto quando for mais claro representar por F e V). Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
23 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
24 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
25 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
26 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = 0 + Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
27 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = 0 + (0 1) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
28 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = 0 + (0) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
29 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
30 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
31 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
32 Expressões lógicas Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formando expressões lógicas. O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-se cada operação lógica, consultando-se as tabelas verdade correspondentes. Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parênteses como na álgebra comum. Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo: 1 + (0 1) = = 0 Se não houver parênteses, a operação tem precedência sobre a operação + Ou seja, significa o mesmo que 1 + (0 1) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
33 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
34 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
35 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
36 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
37 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
38 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
39 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade = = = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
40 Variáveis booleanas e expressões lógicas Como na álgebra comum, também podemos deixar valores a determinar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados são chamados variáveis booleanas. Ex 2.: considere a expressão X Y + X Y. Qual o seu valor quando X = 1 e Y = 0? Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usando as tabelas verdade = = = 1 Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicas atribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
41 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y 0 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
42 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
43 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
44 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
45 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
46 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
47 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
48 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
49 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
50 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
51 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
52 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
53 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
54 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
55 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
56 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
57 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
58 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
59 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
60 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
61 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
62 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
63 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = = = = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
64 Variáveis, expressões lógicas e tabelas verdade Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X Y + X Y e interprete o resultado. Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas com resultados intermediários. X Y X Y X Y X Y X Y + X Y = = = = = = = = = = = = 0 Interpretação: o resultado será verdadeiro se apenas uma das variáveis for verdadeira; será falso, caso contrário. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
65 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
66 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
67 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
68 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex) X Y X Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
69 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex) X Y X Y Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre: 1º negação; Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
70 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex) X Y X Y Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre: 1º negação; 2º conjunção (e); Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
71 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex) X Y X Y Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre: 1º negação; 2º conjunção (e); 3º disjunção (ou); Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
72 Nova operação: disjunção exclusiva A expressão X Y + X Y costuma aparecer com muita frequência em álgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva. Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor. Denotada pelo símbolo : X Y = X Y + X Y em Java: X ˆˆY (dois acentos circunflexos) Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex) X Y X Y Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre: 1º negação; 2º conjunção (e); 3º disjunção (ou); 4º disjunção exclusiva (ou-ex) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
73 Funções lógicas Função lógica: associação que leva de um conjunto de n variáveis booleanas no conjunto {0,1}. F : {0,1} n {0,1} X 1, X 2,..., X n Y = F (X 1, X 2,..., X n ) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
74 Funções lógicas Função lógica: associação que leva de um conjunto de n variáveis booleanas no conjunto {0,1}. F : {0,1} n {0,1} X 1, X 2,..., X n Y = F (X 1, X 2,..., X n ) Podemos descrever uma função lógica por uma expressão booleana ou pela sua tabela verdade. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
75 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
76 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
77 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
78 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
79 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
80 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
81 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
82 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
83 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
84 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
85 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
86 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
87 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
88 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
89 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
90 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
91 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? ? Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
92 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? ? 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
93 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? ? ? ? 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
94 Funções lógicas Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B C A B C B C F (A,B,C) = A + B C ? ? ? ? 1 Onde há? não importa o valor de B C, pois nos quatro casos, como A = 1, então A + B C = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
95 Funções lógicas Ex. 5: determine, se possível, uma expressão para a função F dada pela seguinte tabela verdade. X Y F(X,Y) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
96 Funções lógicas Ex. 5: determine, se possível, uma expressão para a função F dada pela seguinte tabela verdade. X Y F(X,Y) Note que o resultado de F (X,Y ) é sempre o contrário do resultado de X Y. Ou seja, o resultado da operação ou-ex é verdadeiro se, e somente se, F (X,Y ) é falso. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
97 Funções lógicas Ex. 5: determine, se possível, uma expressão para a função F dada pela seguinte tabela verdade. X Y F(X,Y) Note que o resultado de F (X,Y ) é sempre o contrário do resultado de X Y. Ou seja, o resultado da operação ou-ex é verdadeiro se, e somente se, F (X,Y ) é falso. Da observação anterior, e conhecendo as tabelas verdade das operações lógicas, uma expressão possível para F (X,Y ) é: F (X,Y ) = X Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
98 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
99 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
100 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
101 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
102 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
103 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
104 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
105 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
106 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
107 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
108 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
109 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
110 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
111 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
112 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
113 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
114 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
115 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
116 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
117 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z Y + Z X (Y + Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
118 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
119 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
120 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
121 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
122 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
123 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
124 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
125 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
126 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
127 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
128 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
129 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
130 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
131 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
132 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
133 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
134 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
135 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
136 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
137 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
138 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
139 Funções lógicas Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funções F (X,Y,Z) = X (Y + Z) e G(X,Y,Z) = X Y + X Z, compare-as e interprete os resultados. X Y Z X Y X Z X Y + X Z Igual à tabela para F (X,Y,Z) = X (Y + Z). Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
140 Equivalência de funções Duas funções lógicas são equivalentes se suas tabelas verdade são iguais. F (X,Y,Z) = X (Y + Z) G(X,Y,Z) = X Y + X Z X Y Z F (X,Y,Z) G(X,Y,Z) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
141 Equivalência de funções Duas funções lógicas são equivalentes se suas tabelas verdade são iguais. F (X,Y,Z) = X (Y + Z) G(X,Y,Z) = X Y + X Z X Y Z F (X,Y,Z) G(X,Y,Z) Pela tabela, nota-se que F (X,Y,Z) = G(X,Y,Z) X (Y + Z) = X Y + X Z Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
142 Equivalência de funções Duas funções lógicas são equivalentes se suas tabelas verdade são iguais. F (X,Y,Z) = X (Y + Z) G(X,Y,Z) = X Y + X Z X Y Z F (X,Y,Z) G(X,Y,Z) Pela tabela, nota-se que F (X,Y,Z) = G(X,Y,Z) X (Y + Z) = X Y + X Z Acabamos de demonstrar que a conjunção é distributiva! Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
143 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
144 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
145 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
146 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
147 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
148 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
149 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 7. X 0 = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
150 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 7. X 0 = 0 8. X 1 = X elem. neutro da conjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
151 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 7. X 0 = 0 8. X 1 = X elem. neutro da conjunção 9. X X = X Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
152 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 7. X 0 = 0 8. X 1 = X elem. neutro da conjunção 9. X X = X 10. X X = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
153 Regras básicas da álgebra booleana Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duas tabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências. Considere X, Y, Z variáveis booleanas. 1. X + 0 = X elem. neutro da disjunção 2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + X comutatividade da disjunção 4. X Y = Y X comutatividade da conjunção 5. X + X = X 6. X + X = 1 7. X 0 = 0 8. X 1 = X elem. neutro da conjunção 9. X X = X 10. X X = X X = 0 Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
154 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
155 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção 13. X (Y Z) = (X Y ) Z associatividade da conjunção Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
156 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção 13. X (Y Z) = (X Y ) Z associatividade da conjunção As regras 12 e 13 nos permitem escrever X + Y + Z e X Y Z sem parênteses de maneira não ambígua. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
157 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção 13. X (Y Z) = (X Y ) Z associatividade da conjunção As regras 12 e 13 nos permitem escrever X + Y + Z e X Y Z sem parênteses de maneira não ambígua. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
158 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção 13. X (Y Z) = (X Y ) Z associatividade da conjunção As regras 12 e 13 nos permitem escrever X + Y + Z e X Y Z sem parênteses de maneira não ambígua. 14. X + Y = X Y 15. X Y = X + Y As regras 14 e 15 são chamadas Leis de Morgan (ou Leis de DeMorgan). Muito importantes para simplificar expressões envolvendo negações. Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
159 Regras básicas da álgebra booleana (cont.) 12. X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção 13. X (Y Z) = (X Y ) Z associatividade da conjunção As regras 12 e 13 nos permitem escrever X + Y + Z e X Y Z sem parênteses de maneira não ambígua. 14. X + Y = X Y 15. X Y = X + Y As regras 14 e 15 são chamadas Leis de Morgan (ou Leis de DeMorgan). Muito importantes para simplificar expressões envolvendo negações. Exemplo de aplicação das regras: demonstre que X + X Y = X + Y Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
160 Para casa Ler seções 4-1, 4-2, 4-3 e 4-5 (despreze os comentários e diagramas sobre portas lógicas; nós veremos portas lógicas daqui a 2 aulas); Auto-teste: 1 a 10 Problemas: 4-1 (todos); 4-2 (todos); 4-3 (todos); 4-5 (apenas 17, 18 e 19) Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de / 19
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