Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade

Transcrição

1 Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade Prof. Ohara Kerusauskas Rayel Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C Curitiba, PR 9 de abril de / 30

2 Álgebra Booleana Principal diferença para a álgebra convencional: variáveis só assumem os valores 0 e 1 É um modo de expressar a relação entre entradas e saídas de um circuito lógico Exemplo: A é uma variável booleana. Dois valores possíveis: A = 0 e A = 1 Tabela: Termos sinônimos Lógico 0 Lógico 1 Falso Desligado Baixo Não Verdadeiro Ligado Alto Sim 2 / 30

3 Álgebra Booleana Mais fácil que a álgebra convencional, pois somente 2 valores são possíveis! Não existem portanto frações, números negativos, raízes, logaritmos, números imaginários, e assim por diante! Só existem 3 operações básicas: AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO). 3 / 30

4 Operação OR (OU) Deve retornar verdadeiro quando uma OU outra variável é verdadeira Exemplo: tela do celular. Deve apagar quando se aproxima do rosto OU quando se aperta o botão para desligar Digamos que A representa proximidade com o rosto, e B representa botão apertado. X = 0 representa tela ligada, X = 1 tela desligada Tabela: Operação OU entre A e B A B X / 30

5 Operação OR (OU) É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B Quanto é então 1 + 1? 5 / 30

6 Operação OR (OU) É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B Quanto é então 1 + 1? 1, pois a operação OU entre dois valores VERDADEIRO tem resultado VERDADEIRO Portanto, a operação OU gera resultado 1 sempre que quaisquer das variáveis seja 1 5 / 30

7 Operação AND (E) Deve retornar verdadeiro somente quando uma E outra variável é verdadeira Exemplo: máquina de lavar roupas. Deve funcionar quando o botão Iniciar é pressionado E a porta estiver fechada Digamos que A representa botão iniciar pressionado, e B porta fechada. X = 0 representa máquina desligada, X = 1 máquina funcionando Tabela: Operação E entre A e B A B X / 30

8 Operação AND (E) É representada pelo sinal na Álgebra Booleana. Ex.: X = A B Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional. Quanto é então 0 1? 7 / 30

9 Operação AND (E) É representada pelo sinal na Álgebra Booleana. Ex.: X = A B Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional. Quanto é então 0 1? 0, a operação E gera resultado 1 somente se todas as variáveis forem 1 7 / 30

10 Operação NOT (NÃO) Deve retornar o valor inverso ao valor da variável de entrada Exemplo: aviso de combustível na reserva. Se o nível NÃO está acima do volume de reserva, o aviso é emitido. Digamos que A representa nível acima do volume de reserva. A = 0 representa portanto volume abaixo do volume de reserva. Tabela: Operação NÃO A A X / 30

11 Operação NOT (NÃO) É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana Quanto é então 0? 9 / 30

12 Operação NOT (NÃO) É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana Quanto é então 0? 1, pois a operação NÃO sempre inverte o valor da variável 9 / 30

13 Precedência de Operador Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A B + C? 10 / 30

14 Precedência de Operador Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A B + C? 1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes da operação OU Portanto: A B = = 1. Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria o resultado? 10 / 30

15 Precedência de Operador Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A B + C? 1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes da operação OU Portanto: A B = = 1. Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria o resultado? 0, pois B + C = = 0 10 / 30

16 Precedência de Operador Parênteses possuem precedência sobre a operação AND Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser a primeira a ser realizada Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A (B + C)? 11 / 30

17 Precedência de Operador Parênteses possuem precedência sobre a operação AND Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser a primeira a ser realizada Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A (B + C)? 0, pois B + C = 1 = = 0 Quando a operação não aparece sobre uma expressão, primeiro obtém-se o resultado da expressão, para depois aplicar a operação NÃO 11 / 30

18 Tabelas-Verdade Nada mais são do que tabelas listando as saídas para todos os valores de entrada possíveis Exemplo: A B + C? Tabela: Tabela-Verdade X = A B + C A B C X / 30

19 Exercício Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A BC A + D 13 / 30

20 Exercício Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A BC A + D A B C D t = ABC u = A + D v = A + D x = tv / 30

21 Teoremas Booleanos Álgebra booleana pode ser usada para auxiliar na descrição de circuitos lógicos Teoremas booleanos poderão nos ajudar a simplificar estes circuitos Se simplificamos a expressão algébrica, consequentemente simplificamos o circuito 14 / 30

22 Teoremas Booleanos Teorema 1: x 0 = 0 Teorema 2: x 1 = x 15 / 30

23 Teoremas Booleanos Teorema 3: x x = x Teorema 4: x x = 0 16 / 30

24 Teoremas Booleanos Teorema 5: x + 0 = x Teorema 6: x + 1 = 1 17 / 30

25 Teoremas Booleanos Teorema 7: x + x = x Teorema 8: x + x = 1 18 / 30

26 Substituindo Variáveis Podemos aplicar os teoremas anteriores em expressões que possuam mais de uma variável, quando possível Exemplo: AB(AB) Se chamarmos x = AB, a expressão anterior fica xx Pelo teorema 4, concluímos que AB(AB) = 0 19 / 30

27 Teoremas Booleanos Teorema 9: x + y = y + x Comutatividade da operação OR Teorema 10: x y = y x Comutatividade da operação AND 20 / 30

28 Teoremas Booleanos Teorema 11: x +(y + z) = (x + y)+z Associatividade da operação OR Teorema 12: x (y z) = (x y) z = xyz Associatividade da operação AND 21 / 30

29 Teoremas Booleanos Teorema 13: (w + x) (y + z) = wy + wz + xy + xz Lei da Distributividade. Inverso: Teorema 14: diferente da álgebra comum. Prove usando os teoremas anteriores! x + xy = x A B C+A B C = B(A C+A C) 22 / 30

30 Teoremas Booleanos Teorema 13: (w + x) (y + z) = wy + wz + xy + xz Lei da Distributividade. Inverso: A B C+A B C = B(A C+A C) Teorema 14: diferente da álgebra comum. Prove usando os teoremas anteriores! x + xy = x x(1+y) = x(1) = x 22 / 30

31 Teoremas Booleanos Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores! x + xy = x + y 23 / 30

32 Teoremas Booleanos Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores! x + xy = x + y x(1+y)+xy x + xy + xy x + y(x + x) x + y 23 / 30

33 Teoremas de De Morgan Teorema 16: (x + y) = x y (x + y + z) = x y z Teorema 17: (x y) = x + y (x y z) = x + y + z 24 / 30

34 Universalidade NAND 25 / 30

35 Universalidade NOR 26 / 30

36 Exercícios Construa as Tabela-Verdade das seguintes funções: 1 x = A B+C D (B+D) 2 x = (A+B D) D C+A 3 x = (A+D) C + B D + A C 27 / 30

37 Exercícios Determine a expressão de saída simplificada, sem negação dupla: Simplifique as seguintes expressões: S = AB C + Ā BC + ABC + ĀBC + ĀB C Resposta: ĀC + B S = AB CD+Ā BC D+AB C D+ĀBC D+ABC D+A BC D+ABCD Resposta: AB + C D S = [( B + C + D)(Ā+B + C)+C]+Ā BC + B(A+C) Resposta: C + Ā B S = A[ B(C + D)+Ā(B + C)]+C D + A BC + AB Resposta: C D + AB + AD 28 / 30

38 Exercícios Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além dos seguintes exercícios do livro Sistemas digitais: princípios e aplicações": 3-19, 3-20, 3-21, 3-22, 3-24, 3-26, 3-29, 3-32, 3-38 e / 30

39 Próxima Aula: Mapas de Karnaugh! 30 / 30