Atividades para classe

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1 Módulo 1: Expressões algébricas Página 78 Atividades para classe 1 Sérgio escreveu três expressões algébricas no caderno dele: uma racional inteira, uma racional fracionária e outra irracional. Identifique cada uma em seu caderno. I) 8a ? d XX 3 c & expressão algébrica racional inteira, pois não apresenta variável no denominador ou em radical. II) y 1 d XXXXXX 1 x & expressão algébrica irracional, 5 pois apresenta variável em radical. III ) 9 t d XX 7 p & expressão algébrica racional fracionária, pois apresenta variável no denominador. Considere dois números, a e b, e represente o que se pede em cada item com uma expressão algébrica. a) A soma desses dois números. a 1 b b) O produvto desses números. a? b c) A soma dos quadrados desses números. a 1 b d) O quadrado da soma desses números. (a 1 b) e) O dobro do cubo da soma desses dois números.? (a 1 b) 3 f) A raiz quadrada do triplo do produto desses números. d XXXXXXXX 3? a? b 3 Calcule o valor numérico das expressões algébricas para os valores indicados. a) c 5d, para c 5 3 e d 5.? 3 5? b) 3x x 1, para x 5. 3?? 1 5 3? c) 3x x 1, para x 5. 3? ()? () 1 5 3? d) a 1 b, para a 5 1 e b 5 1. (1) 1 (1) e) 5p 1 q 1 pq, para p 5 1 e q ? ? Num parque de diversões, paga-se um ingresso de RS 10,00 e mais RS 5,00 por atração visitada. a) Quanto deverá pagar uma pessoa que visitou nesse parque n atrações? v é o valor a ser pago pelo visitante. v n b) Quantas atrações visitou uma pessoa que pagou RS 5,00 nesse parque? Para v 5 5, tem-se: n 5 5 5n n V n 5 7 Essa pessoa visitou 7 atrações no parque. 5 Considere a expressão algébrica x 5. a) Qual é o valor numérico dessa expressão algébrica para x 5 3? E para x 5 0? E para x 5 1? para x 5 3 & para x 5 0 & para x 5 1 & ,5 b) Para qual valor de x o valor numérico dessa expressão é igual a 11? x x x 5 16 Como 16 5 V x 5 & x 5 6 Um objeto, abandonado de uma altura de d metros, leva aproximadamente d XX d segundos para chegar 5 ao chão. Quanto tempo leva para atingir o chão uma bola de futebol abandonada de uma altura de: Seja t o tempo de queda do objeto em segundos e d a altura de queda do objeto. a) 5 metros? t 5 d XX d ; para d 5 5 m, 5 t 5 d XX 5 5 Æ t 5 d X 1 Æ t 5 1 s Portanto, uma bola abandonada de uma altura de 5 m leva 1 segundo para chegar ao chão. b) 1,5 metro? Para d 5 1,5 m, t 5 d XXXX 1,5 5 V t 5 d XXXXX 0,5 5 d XX ,5 Æ V t 5 0,5 s Portanto, uma bola abandonada de uma altura de 1,5 m leva aproximadamente 0,5 segundo para chegar ao chão. 68 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:0

2 7 A área A de um trapézio b é dada pela fórmula (B 1 b)? h A 5, sendo B: h medida da base maior; b: medida da base menor; h: B medida da altura. a) Calcule a área de um trapézio em que B 5 5, b 5 3 e h 5. A 5 (5 1 3)? V 1 V A 5 8? V A 5 16 b) Quanto mede a base maior de um trapézio de área 9 cm cuja altura mede 3 cm e cuja base menor mede 1,5 cm? (B 1 1,5)? 3 A 5 V V 9? 5 (B 1 1,5)? 3 V V B 1 1,5 V V 6 1,5 5 B V V B 5,5 A base maior do trapézio mede,5 cm. 8 Marina calcula a média das notas dos alunos, M, T 1 PM 1 PB com a fórmula M 5, em que T, PM e PB representam, respectivamente, notas de trabalhos e das provas mensal e bimestral. A tabela mostra as notas de três alunos. Calcule a média de cada um. Aluno Trabalhos NOTAS Prova mensal Prova bimestral Josué 9,0 5,0 3,0 Carla 8,0 10,0 6,0 Sílvia 6,5 8,5 6,5 Josué M 5 _ ? Carla M 5 _ ? ,5 6,5 1 8,5 1? (6,5) Sílvia M Em uma certa cidade, os taxistas cobram um preço fixo (bandeirada) de RS,00 e mais RS 1,0 por quilômetro rodado. p é o total a ser pago pela corrida. a) Quanto deve pagar um passageiro que rodar x quilômetros? p 5 1 1,0x b) Quanto deve pagar um passageiro que rodar 15 quilômetros nessa cidade? para x 5 15 km: p 5 1 1,0? 15 p Æ p 5 Um passageiro que rodou 15 km deve pagar RS,00. c) Se um passageiro pagou RS 31,60 por uma corrida, quantos quilômetros ele rodou nessa cidade? para p 5 31,60, tem-se: 31, ,0x Página 79 31,60 5 1,0x 7,60 1,0 5 x V x 5 3 Numa corrida cujo valor pago foi RS 31,60 o passageiro rodou 3 km. Atividades para casa 10 Copie as expressões seguintes em seu caderno, identificando-as como irracionais, racionais inteiras ou racionais fracionárias. a) x 1 5y 7 É, de acordo com a classificação das expressões algébricas, uma expressão algébrica racional inteira. b) d XX 1 d XX 3 1 a É uma expressão algébrica racional inteira. c) 5 x d XX 7 y É uma expressão algébrica racional fracionária. d) d XXXXXXX x 5 É uma expressão algébrica irracional. e) x3 1 x 1 x 1 1 p É uma expressão algébrica racional fracionária. f) a d XX a É uma expressão algébrica irracional. 11 O terraço Itália, em São Paulo (Brasil), possui 165 metros de altura, e a torre Taipei 101, em Taiwan (China), que é mais alta, tem x metros de altura. a) Que expressão algébrica representa quantos metros a torre Taipei 101 é mais alta que o terraço Itália? x 165 é a expressão que representa quantos metros a torre Taipei 101 é mais alta que o terraço Itália. b) Calcule a altura da torre Taipei 101, sabendo que ela é 3 metros mais alta do que o terraço Itália. A torre Taipei 101 tem 3 metros de altura a mais que o terraço Itália, logo, x V x V x A torre Taipei 101 tem 509 metros de altura. 1 Represente em seu caderno o que se pede em cada item com uma expressão algébrica. a) O produto dos números a, b e c. abc b) A soma do triplo de x com o dobro de y. 3x 1 y c) O quadrado de z menos o cubo de t. z t 3 d) A raiz quadrada da soma de m e n. d XXXXXX m 1 n e) A soma do quadrado de p com 5. p 1 5 f) O quadrado da soma de x, y e z. (x 1 y 1 z) g) A soma dos quadrados de x, y e z. x 1 y 1 z 69 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:

3 13 Calcule e registre em seu caderno o valor numérico das expressões algébricas de acordo com os valores indicados para as variáveis. a) 7x 3y, para x 5 3 e y 5 5 7? 3 3? b) b 3 1 b b 1 1, para b c) b 3 1 b b 1 1, para b 5 () 3 1 () () d) rs r s, para r 5 e s 5 3 ()? (3) ()? (3) 5 5 ()? 9? (3) d XXXXXXXXXXX e) x 1 y 1 9, para x 5 e y 5 0 xy 5 d XXXXXXXXXXX ? d XXXXXXX d XXX f) y 3 y, para y 5 1 (1) 3 (1) 5 (1) g) 3a 1 b, para a 5, b 5 e c 5 6 c 3? 1 () h) x 1 y, para x 5 1 e y 5 1 # 1 # # _ i) 6p 1,t 1 t, para p 5 1,5 e t 5 0,1 6? 1,5 1,? 0,1 1 (0,1) 5 5 7,5 0,1 1 0,01 5 7,39 j) _ x 1 1, para x _ x _ _ _ _ _ ? Pedro recebe um salário de S reais por mês. Para cada minuto que Pedro chega atrasado ao trabalho, são descontados D reais do salário dele. a) Escreva uma expressão algébrica que represente o total recebido por Pedro em um mês em que teve n minutos de atraso. Para n minutos de atraso S é o salário efetivamente recebido no mês por Pedro. S 5 S nd b) Considere S e D 5. Se Pedro teve 3 minutos de atraso num mês, qual foi o total recebido por ele? S ? S 5 89 No mês em que atrasou 3 minutos, Pedro recebeu RS 89, É possível descobrir quanto calça uma pessoa conhecendo o comprimento do pé dessa pessoa. A 5p 1 8 fórmula S 5 possibilita esse cálculo, em que S representa o número do sapato, e p, o comprimento do pé (em centímetros). a) De acordo com a fórmula, qual deve ser o número do sapato de uma pessoa cujo pé tem cm de comprimento? p 5 cm S 5 5? O número do sapato deve ser 37. b) Se Aldo calça 0, qual é o comprimento aproximado do pé dele? S p 1 8 Æ p 1 8 Æ Æ p Æ p Æ p 5 6, O comprimento aproximado do pé de Aldo é 6, cm. c) Meça o comprimento do seu pé e use a fórmula para verificar se o valor encontrado corresponde ao número de sapato que você usa. Resposta pessoal. 16 Numa papelaria, o preço de uma lapiseira é o quádruplo do valor de uma caneta. Cecília comprou C canetas e L lapiseiras nessa papelaria. Sendo P L o preço de cada lapiseira. a) Chamando de x o preço de cada caneta, escreva uma expressão algébrica que represente o total gasto por Cecília. P L 5 x Cx 1 Lx é a expressão que representa o gasto de Cecília. b) Sabendo que Cecília comprou 8 canetas e 3 lapiseiras, e gastou, no total, RS,00, calcule o preço de cada caneta e de cada lapiseira. 70 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:

4 Página x 1? 3? x V 5 0x V V 0 5 x Æ x Æ x 5 1, Então P L 5 x 5,8. O preço da caneta é RS 1,0 e o da lapiseira, RS,80. Módulo : Monômios: definição e adição algébrica Boxe Cálculo mental Reduza mentalmente os seguintes monômios semelhantes. a) 13x 1 7x 5 0x b) a 1 59a a 5 99a c) b 3 1 b b 1 3 b b 5 1b 5 b Página 8 Atividades para classe 1 Observe as expressões algébricas a seguir e copie em seu caderno as que representam monômios. a) 1a 3 b É um monômio. b) x 1 y Não é um monômio. c) _ a3 p 7 É um monômio. d) x 1 Não é um monômio. e) d XXX xy Não é um monômio. f) pq z Não é um monômio. Identifique em seu caderno o coeficiente numérico e a parte literal de cada um dos monômios a seguir e, depois, indique os monômios semelhantes. a) 1xy Coeficiente numérico 5 1; parte literal 5 xy b) xy Coeficiente numérico 5 ; parte literal 5 xy c) xy Coeficiente numérico 5 1; parte literal 5 xy d) p 3 Coeficiente numérico 5 1 ; parte literal 5 p 3 e) p 5 Coeficiente numérico 5 1; parte literal 5 p 5 f) 3xy Coeficiente numérico 5 3 ; parte literal 5 xy Monômios semelhantes: a) e c); b) e f). 3 Determine em seu caderno o grau de cada um dos monômios a seguir. g é o grau do monômio. a) x 5 y 3 z 6 g b) a b 3 g c) 3y 7 g 5 7 d) xy g e) x g 5 1 f) 5 g 5 0 Substitua a em cada uma das expressões, para que sejam válidas as igualdades: a) 3x 5 y 3 z 1?y 3 z 5 8x 5 y 3 z y 3 z 5 8x 5 y 3 z 3x 5 y 3 z y 3 z 5 5x 5 y 3 z 5 5x 5 b)?zw xyzw 5 3xyzw 5 xy c) 10b 8 c 9 d 5 1? b 8 c 9 d 5 5 Calcule em seu caderno o valor de n, sabendo que os monômios 5x 3 y n z 7 e a n b 6 c n têm o mesmo grau. 3 1 n n n 10 1 n n n n n 5 6 Simplifique as expressões em seu caderno, reduzindo os termos semelhantes. a) 5t 1 11t t 5 1t b) 1k 1 p 9k 1 3p 5 1k 9k 1 p 1 3p 5 5 5k 1 5p c) x 3 1 x 5x 1 x 3x 3 1 3x 1 5x 1 7 5x 1 x 3 3x 3 1 x 1 3x 5x 1 5x x 1 x 3 1 5x 1 7 d) 8y 3 1 y 6y 3 1 5y y y 5 8y 3 6y 3 1 y y 1 5y y 5 y 3 3y 1 y e) a 1 a a 3 5 a 1 a 3a 5 5a 6 6 f) w 1 1 y 3 w 1 y 5 y 1 6y 1 w _ 3w y 3 w g),5x 3 y 0,7x y 3 1,8x 3 y 1 x y 1 1,7x y 3 5,5x 3 y 1,8x 3 y 0,7x y 3 1 1,7x y 3 1 x y 5 5 0,7x 3 y 1 x y 3 1 x y 71 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:6

5 7 Copie e complete a tabela em seu caderno. figura B x x x 1 x x x ? ? ? () () 5 16? 5 8 Observando a tabela em seu caderno, verifique qual afirmação está correta. I. x 1 x 5 x incorreta II. x 1 x 5? x correta 8 Escreva o monômio que representa o perímetro de cada figura abaixo. a) ABCD é um quadrado com lado de medida x. E A D Os triângulos ABE e BCF são equiláteros. perímetro 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 6x b) AB, BCe CDtêm medida 5L EF, FGe GHtêm medida 3L A B H G C B Notando que AH 1 CD 5 5L 3L 5 L, tem-se perímetro 5 3? 5L 1 3? 3L 1? L 5 6L 9 Clara construiu algumas figuras usando peças retangulares iguais à da figura abaixo. x F y a) Veja algumas das figuras construídas por Clara e determine em seu caderno o perímetro de cada uma delas. figura A perímetro 5? 5x 1 y 5 10x 1 y E D C F perímetro 5 3y 1 5x 1 (y x) 5 y 1 x b) Observe outra figura que Clara construiu. figura C É possível estabelecer uma relação entre as variáveis y e x. Qual é essa relação? A partir da observação da figura C é possível estabelecer que y 5 3x. 10 Considere os monômios 6bx e bx. a) Determine em seu caderno o valor numérico da soma desses monômios para b 5 1 e x 5. 6bx 1 bx para b 5 1 e x 5 3 6? 1? () 1 1? 1? () 5 5 3? 1 1? ou ainda 6bx 1 bx 5 8bx, então 8? 1? () 5 5? 5 8 b) Sabendo que b 5 6 e que x é um número racional positivo, qual deve ser o valor de x para que o valor numérico da soma dos monômios seja igual a 1? 6bx 1 bx 5 1 V Página 83 8bx 5 1 Æ 8? 6x 5 1 Æ 8x 5 1 V x Æ x 5 d XX Atividades para casa 11 Dentre as expressões algébricas a seguir, identifique aquelas que são monômios. a) a b Não é um monômio. b) x 5 É um monômio. c),78 É um monômio. d) xyz É um monômio. e) _ abcd e Não é um monômio. 7 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:50

6 f) 3 dxxxx ab Não é um monômio. 1 Considere os monômios apresentados a seguir e responda em seu caderno. x 3 y 8x y x 3 y xy 3 x y 6 a) Qual é o termo cujo coeficiente numérico é igual a? O termo é x 3 y. b) Quais termos são semelhantes? Os termos x 3 y e x 3 y, pois apresentam a mesma parte literal. c) Qual é o termo cujo coeficiente numérico é igual a 1? O termo de coeficiente numérico igual a 1 é xy 3. d) Qual o termo cuja parte literal é x y? O termo cuja parte literal é x y é o termo 8x y. e) Qual é o termo cujo coeficiente numérico é igual a 1 6? O termo cujo coeficiente numérico é igual a 1 6 é o termo x _ y Verifique quais afirmações são verdadeiras e corrija as falsas em seu caderno. a) Os monômios 5x y e 5xy são semelhantes. Falsa. Os monômios 5x y e 5xy não são semelhantes. b) O coeficiente numérico do monômio p é igual a 3 3. Falsa. O coeficiente numérico de p é 1 e não c) O coeficiente numérico do monômio z 8 é igual a 1. Verdadeira. d) A parte literal de 8ax 3 é ax. Falsa. A parte literal de 8ax 3 é ax 3. e) 5ab 1 6ad 1 7ab pode ser reduzido a apenas um monômio. Falsa. 5ab 1 6ad 1 7ab pode ser reduzido a 1ab 1 6ad. 1 Indique em seu caderno o grau de cada um dos monômios abaixo. a) 3s t 3 u d) b g g 5 1 b) xyz e) g g 5 0 c) 8c 5 f) pq g 5 5 g 5 15 Simplifique as expressões em seu caderno, reduzindo os termos semelhantes. a) 3p p 3 9p p 3 b) 8d 5c 13c 1 9d 1 3d 5 5 8d 1 9d 5c 1 13c 1 3d 5 17d 18c 1 3d c) 7x y 1 x 3 y 6x 3 y 1 x y 5 5 7x y 1 x y 1 x 3 y 6x 3 y 5 8x y 5x 3 y d) 7x 8x 1 3 5x 1 x x 5x 8x 1 x x 7x 1 6 e) a 3 1 5b 3a 1 a b 5 5 a 3a 1 a 1 5b 3 b 5 18a 1 3a a b b ? a 1 9? b f) x 5x 1 3y 1 3x 1y 5 5 x 5x 1 3x 1 3y 1y 5 9y g),75x 1 3,1x 1,315x 1 1,8x 5 5,75x 1,315x 1 3,1x 1 1,8x 5 5 1,37x 1 15,9x h) y 1 y 5y y 5 y 1 1y 5y 1 3y 5 y 6 i) 0,75a 1 3,7a 1,6a 1 5,6a 1 a 5 5 0,75a 1,6a 1 a 1 3,7a 1 5,6a 5 5 0,15a 1 8,89a 16 Escreva em seu caderno um monômio com as características descritas a seguir. a) Na parte literal, aparecem apenas as variáveis a e b. b) Tem o mesmo grau do monômio ab, porém, não é semelhante a ele. c) O grau é igual ao coeficiente numérico. Se na parte literal aparecem apenas as variáveis a e b e o monômio tem o mesmo grau de ab mas não é semelhante a ele, a parte literal só pode ser a b. O grau é 3, portanto o coeficiente numérico também é igual a 3; então o monômio é 3a b. 17 Obtenha um monômio M que, adicionado ao monômio _ x3 y 7, resulta y x3 1. M 1 x3 _ y 7 5 y x3 1 M 5 x3 y 1 _ y x3 7 M 5 x3 y x 3 y 1 M 5 3x3 y 1 73 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:51

7 18 Veja como Sandra e Luísa reduziram monômios semelhantes. n 1 m 5 1 n m 5 1 n n m 5 1 n Por outro lado, n 1 m m Æ n 5 3. Substituindo o valor de n na equação m 5 1 n obtém-se m 5 13 Æ m 5 7. Módulo 3: Polinômios: definição e adição algébrica As duas alunas acertaram suas reduções? Justifique sua resposta. Somente a redução de Sandra está correta, pois Luísa incorretamente adicionou os expoentes das variáveis nos dois casos. O correto seria a 1 a 5 a e 3b 1 3b 5 6b. 19 Sendo ABCD e DEFG retângulos, escreva um monômio que represente o perímetro da figura pintada. 5x B A F E x 7x 5x AE 5 7x 5x 5 x CG 5 5x x 5 3x Então, o perímetro é: p 5 5x 1 7x 1 3x 1 5x 1 x 1 x p 5 x 0 Qual deve ser o monômio A para que, ao reduzirmos a expressão 5x 1 7 x 1 A, obtenhamos um monômio de grau zero? Para que a expressão tenha grau zero, o coeficiente numérico de x deve ser igual a zero. Assim, 5x x 1 A 5 0 Æ A 5 3x. 1 Calcule o valor numérico de cada expressão abaixo, para os valores indicados das variáveis. Dica: reduza antes os termos semelhantes. a) 7,3x 1 5,8x 3,1x para x 5,7895 7,3x 1 5,8x 3,1x 5 10x para x 5,7895, tem-se: 10?, ,895 b) a 1 5b 1 a b 1 a 1 3, para a 5,5 e b 5 0,5 a 1 1 5b 1 a b 1 a a 1 3a 1 8a b a 1 b 5,5 0,5 5 Calcule os valores de m e n, sabendo que os monômios x n y m, x 3 y n z e xy m z têm o mesmo grau. n 1 m n 1 1 D G C Página 86 Atividades para classe 1 Escreva em seu caderno o polinômio oposto a cada um dos polinômios dos itens abaixo. a) x 1 x 1 1 O polinômio oposto é x x 1. b) x 1 6x O polinômio oposto é x 6x. c) x 5 7x 3 1 8x 1 5x 1 O polinômio oposto é x 5 1 7x 3 8x 5x. d) 6x 6 3x 5 1 x 3 10x 1 5x 1 9 O polinômio oposto é 6x 6 1 3x 5 x x 5x 9. e) 8x 1 5x 3 x 1 3x 1 7 O polinômio oposto é 8x 5x x 3x 7. Escreva o polinômio reduzido correspondente aos seguintes polinômios. a) x 7 1 x 5 x 7 1 x 6 5x 5 5 x 7 x 7 1 x x 5 5x 5 5 3x 7 1 x 6 3x 5 b) a 3b c 1 5a 1 3b 1 7c 5 a 1 5a 3b 1 1 3b c 1 7c 5 7a 1 6c c) k 3 1 k k 1 3k 5 k 1 3k 1 k 3 k 5 5 k _ 1 3k k 3k k 1 6 k 3 Escreva no seu caderno o grau dos seguintes polinômios. a) t 6 1 t 5 1 7t 1 t 1 3 t 6 é o termo de maior grau, logo o grau do polinômio é 6. b) a 3 b 1 a b 3 3ab 1 b a b 3 é o termo de maior grau, logo o grau do polinômio é c) x 1 y x e y têm o mesmo grau, logo o grau do polinômio é. d) a 1 b 1 c a, b e c têm o mesmo grau, logo o grau do polinômio é 1. 7 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:5

8 Classifique cada polinômio de uma única variável como completo ou incompleto. Em seguida, escreva os polinômios incompletos na forma geral. a) x 3 1 3x x 1 É um polinômio completo. b) t 1 É um polinômio incompleto, e sua forma geral é t 1 0t 1 1. c) x 1 x 3 1 x x 1 É um polinômio completo. d) y 5 1 y É um polinômio incompleto, e sua forma geral é y 5 1 0y 1 y 3 1 0y 1 0y Considere os polinômios P 5 3x 1 5x 1, Q 5 x 3 1 8x 5x 1 1 e R 5 x 3 3x 1 6 e efetue as operações indicadas abaixo. P 5 3x 1 5x 1 Q 5 x 3 1 8x 5x 1 1 R 5 x 3 3x 1 6 Utilizando o método prático: a) P 1 Q 3x 1 5x 1 1 x 3 1 8x 5x 1 1 x x 1 0x 1 0 P 1 Q 5 x x b) P 1 R 3x 1 5x 1 1 x 3 3x 1 0x 1 6 x 3 1 0x 1 5x 1 5 P 1 R 5 x 3 1 5x 1 5 c) Q 1 R x 3 1 8x 5x x 3 3x 1 0x 1 6 Q 1 R 5 5x 5x 1 7 d) P 1 Q 1 R 5x 5x 1 7 3x 1 5x 1 x 3 1 8x 5x x 3 3x 1 0x 1 6 P 1 Q 1 R 5 8x 1 6 e) P R 0x 3 1 8x 0x 1 6 3x 1 5x 1 1 x 3 1 3x 0x 6 (R) x 3 1 6x 1 5x 7 P R 5 x 3 1 6x 1 5x 7 f) Q R x 3 1 8x 5x x 3 1 3x 1 0x 6 (R) x x 5x 5 Q R 5 x x 5x 5 g) P Q 3x 1 5x 1 1 x 3 8x 1 5x 1 (Q) x 3 5x 1 10x P Q 5 x 3 5x 1 10x h) Q P 1 R x 3 1 8x 5x x 3 3x 5x 1 1 (P) x 3 3x 1 0x 1 6 x 10x 1 8 Q P 1 R 5 x 10x Considere três fábricas A, B e C. Por dia, são produzidos x carros na fábrica A; na fábrica B, o dobro dos carros produzidos em A menos 100 unidades; na C, metade da produção de A mais 00 unidades. a) Represente a produção das fábricas B e C com polinômios. Quantidade de carros produzidos na fábrica A: x Quantidade de carros produzidos na fábrica B: x 100 Quantidade de carros produzidos na fábrica C: x 1 00 b) Qual polinômio representa o total de carros produzidos por dia nas três fábricas? x 1 x x x x x 1 x x Na figura, são mostrados dois retângulos, A e B, com as respectivas dimensões. 50 B 3x A Escreva em seu caderno um polinômio que represente o perímetro solicitado em cada um dos itens. a) do retângulo A;? (5x) 1? x 1 60 b) do retângulo B;? (3x) 1? 0 5 6x 1 0 c) da região formada pela união dos retângulos A e B.? (5x) 1? x x P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:57

9 8 Sendo A e B os polinômios A 5 5x 3 1 x x 1 3 e B 5 x 1 8x 3 1 5x calcule o que se pede em cada item. a) A 1 B 5x 3 1 x x x 1 8x 3 1 0x 1 5x x 1 13x 3 1 x 1 x 1 A 1 B 5 x 1 13x 3 1 x 1 x 1 b) A B 5x 3 1 x x x 8x 3 1 0x 5x 1 x 3x 3 1 x 6x 1 7 A B 5 x 3x 3 1 x 6x 1 7 c) B A x 1 8x 3 0x 1 5x 1 0x 5x 3 x 1 x 3 x 1 3x 3 x 1 6x 7 B A 5 x 1 3x 3 x 1 6x 7 9 Obtenha um polinômio P que, adicionado ao polinômio a b 3a 3 b 1 a b 3 ab, resulte no polinômio 8a b a 3 b 1 ab. Seja P o polinômio. P 1 a b 3a 3 b 1 a b 3 ab 5 5 8a b a 3 b 1 ab P 5 8a b a b a 3 b 1 3a 3 b a b 3 1 ab 1 ab P 5 6a b 1 a 3 b a b 3 1 3ab 10 No esquema desenhado abaixo, cada retângulo a partir da segunda linha deve ser preenchido com a soma dos dois polinômios localizados nos retângulos imediatamente inferiores. Copie o esquema em seu caderno, substituindo cada símbolo pelo polinômio cor respondente. 10x x 1 3x 1 5x 1 8x 1 5 x 1 3x 1 1 5x 1 8x 1 5 ( 1 5)x 1 (3 1 8)x x 1 11x x 5 10x 5 10x 7x 11x 1 5 3x 11x 1 5x 1 8x x 8x 5 3x 11x 1 5x 8x 5 (3 5)x 1 (11 8)x 3 5 x 19x 3 11 Dados os polinômios P 5 8x 3 1 x 1 1 e Q 5 ax bx 1 3, qual o valor de a e qual condição para o valor de b deve ser satisfeita de modo que P 1 Q seja um polinômio do o grau? P 1 Q 5 (8 1 a)x 3 1 bx 1 x 1 Para que P 1 Q seja um polinômio do o grau é necessário ter: b 0 e 8 1 a 5 0 Æ a O polinômio P foi obtido subtraindo-se o polinômio x 1 ax 1 15 do polinômio ax x Sabe-se que o valor numérico de P é igual a 8 para x 5 3. Com essas informações, calcule o valor de a. P 5 ax x 1 19 x ax 15 P 5 (a 1)x 1 ( a)x 1 Para x 5 3 e P 5 8 tem-se: (a 1)? 3 1 ( a)? a 9 6 3a a a Página 87 Atividades para casa 13 Identifique e registre em seu caderno quais destas expressões são polinômios. Lembrando que um polinômio é formado pela adição de monômios (expressões algébricas racionais inteiras). a) x 1 y z 1 t Não é um polinômio, pois é uma expressão algébrica racional fracionária. b) x 1 d XX x Não é um polinômio, pois é uma expressão algébrica irracional. c) 1 p É um polinômio. d) z 3 1 z 5z 1 t É um polinômio. e) k É um polinômio. f) É um polinômio. 1 Observe os polinômios das fichas e, depois, registre em seu caderno o que é pedido em cada item. I) pqr 1 q pr II) abcde 1 III) u 1 v 1 t IV) x 5 V) x 1 3 VI) r s 1 s VII) a 3 1 b 1 c VIII) 5x 1 y 1 z 76 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :0:58

10 a) Polinômio de 3 termos do 1 o grau. III) u 1 v 1 t b) Polinômio de 3 termos do 3 o grau. I) pqr 1 q pr c) Polinômio de termos do 1 o grau. IV) x 5 d) Polinômio de termos do 6 o grau. II) abcde 1 15 Determine em seu caderno o grau dos seguintes polinômios. a) 1 y 3 1 y É um polinômio de grau 3. b) a b 1 3ab É um polinômio de grau 5. c) 5x xyz É um polinômio de grau 3. d) 7x 5 3x 1 18x 1 6 É um polinômio de grau 5. e) 5 É um polinômio de grau 0. f) x 1 x 1 x 3x x 1 3x 3x 5 x é um polinômio de grau Reduza os termos semelhantes e obtenha a forma reduzida dos polinômios abaixo. a) x 1 7y 5x 1 8y 1 x x 5x 1 x 1 7y 1 8y 5 x 1 15y b) a 3 a 1 a 3 1 a 5 5 a 3 1 a a 1 a a a 5a 5 a a c) (x 3 1 x ) 1 (x 3 x ) 1 ( 5x 3 ) (1 1 5)x 3 1 ( )x Um polinômio do o grau na variável x é tal que o coeficiente numérico de cada termo é igual ao grau desse termo. Escreva esse binômio. x 1 1x 1 1 0x 0 5 x 1 x 18 Dados os polinômios P e Q, sendo P 5 8x 5 1 3x 7x 3 x 1 3 e Q 5 x 5 x 1 8x 3 1 5x, calcule. a) P 1 Q 8x 5 1 3x 7x 3 1 0x x x 5 x 1 8x 3 1 5x 1 0x 10x 5 1 x 1 x 3 1 5x x 1 P 1 Q 5 10x 5 1 x 1 x 3 1 5x x 1 b) P Q 8x 5 1 3x 7x 3 1 0x x x 5 1 x 8x 3 5x 1 0x 1 (Q) 6x 5 1 x 15x 3 5x x 1 7 P Q 5 6x 5 1 x 15x 3 5x x 1 7 c) Q P x 5 x 1 8x 3 1 5x 1 0x 1 8x 5 3x 1 7x 3 1 0x 1 x 3 (P) 6x 5 x 1 15x 3 1 5x 1 x 7 Q P 5 6x 5 x 1 15x 3 1 5x 1 x 7 19 Considerando os polinômios A 5 x 1 y 1 z, B 5 x 1 1 y z e C 5 x y z, obtenha: a) A 1 B x 1 y 1 z 1 x 1 y z x 1 y 1 A 1 B 5 x 1 y b) A 1 C 0z x 1 y 1 z 1 x y z 3x 1 0y z A 1 C 5 3x z c) B 1 C x 1 y z 1 x y z 3x 1 0y 3z B 1 C 5 3x 3z d) A 1 B 1 C x 1 y 1 z x 1 y z 1 x y z x 1y z A 1 B 1 C 5 x 1 y z e) A B x 1 y 1 z 1 x y 1 z(b) 0x 10y 1z A B 5 z f) C A x y z 1 x y z (A) x y 3z C A 5 x y 3z 77 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:01

11 g) B C x 1 y z 1 x 1 y 1z (C) x 1 y 1 z B C 5 x 1 y 1 z h) C B A x y z 1 x y 1 z (B) x y z (A) 0x 3y z C B A 5 3y z 0 O maior retângulo da figura foi construído juntando-se vários retângulos menores. x x amarelo 8 azul a) Qual polinômio representa a soma das áreas de todos os retângulos azuis? 8? (x) 1 5x 1 8? 5 16x 1 5x x 1 16 b) Que polinômio representa a soma das áreas de todos os retângulos amarelos? 5? (x) 1 8x 1 5? 5 10x 1 8x x 1 10 c) Determine o polinômio que representa a área do retângulo maior. (5 1 8)? (x 1 x 1 ) 5 13? (3x 1 ) 5 39x Dois irmãos herdaram um terreno retangular, com 0 metros de frente por y metros de fundo. O terreno foi dividido em dois lotes, como mostra a figura. O lote de Celso é o que tem x metros de frente, e o de Marcela, o outro. y x 0 a) Quantos metros tem a frente do lote de Marcela? O lote de Marcela tem (0 x) metros de frente. b) Que polinômio representa o perímetro do lote de Marcela?? (0 x) 1 y 5 0 x 1 y é o polinômio que representa o perímetro do lote de Marcela. 5 Considere os polinômios P, Q e R. P 5 x 1 3x, Q 5 x 1 x e R 5 x 3. a) Qual é o grau do polinômio P 1 Q? P 1 Q 5 x 1 3x 1 x é um polinômio de grau. b) Qual é o grau do polinômio P 1 R? P 1 R 5 x 1 x 3 1 3x é um polinômio de grau. c) Qual é o grau do polinômio Q 1 R? Q 1 R 5 x 1 x 3 1 x é um polinômio de grau. d) Encontre um polinômio S do o grau, tal que o polinômio P 1 S seja do o grau. Seja S 5 ax 1 bx 3 1 cx 1 dx 1 e P 1 S 5 x 1 3x 1 ax 1 bx 3 1 cx 1 dx 1 e P 1 S 5 (1 1 a)x 1 bx 3 1 (3 1 c)x 1 dx 1 e Para que P 1 S seja um polinômio do o grau é preciso que: 1 1 a 5 0 V a 5 1 b c 0 V c 3 Como há infinitos valores para c 3, haverá infinitos polinômios S da forma x 1 cx 1 dx 1 e. Por exemplo: S 5 x 1 x 1 x 3. e) Encontre um polinômio T do o grau, tal que o polinômio P 1 T seja do 1 o grau. Seja T 5 ax 1 bx 3 1 cx 1 dx 1 e P 1 T 5 x 1 3x 1 ax 1 bx 3 1 cx 1 dx 1 e P 1 T 5 (1 1 a)x 1 bx 3 1 (3 1 c)x 1 dx 1 e Para que P 1 T seja um polinômio do 1 o grau é preciso que: 1 1 a 5 0 Æ a 5 1 b c 5 0 Æ c 5 3 d 0 Há infinitos polinômios T que satisfazem essas condições. Exemplo: T 5 x 3x 1 5x 9 3 Ao adicionar os polinômios A e B, ambos na variável x, obteve-se x 3 1 7x 5x. O valor numérico de A para x 5 1 é igual a 6. Qual o valor numérico de B para x 5 1? A 1 B 5 x 3 1 7x 5x Substituindo x 5 1 e sabendo que o valor numérico de A para x 5 1 é 6 tem-se: 6 1 B(1) 5? ? 1 5? 1, onde o símbolo B(1) denota o valor numérico de B para x 5 1. Então: B(1) B(1) 5 8 Portanto o valor numérico de B para x 5 1 é 8. Escreva em seu caderno dois polinômios de 3 termos do 3 o grau na variável y, tais que a soma deles seja um binômio do o grau. Para que dois polinômios de 3 o grau somados resultem em um polinômio do o grau basta que os termos de 3 o grau sejam opostos e que o coeficiente do termo de o grau resultante seja diferente de zero. Uma resposta possível seria: y 3 1 y 1 y e y 3 1 y 1y 78 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:0

12 Módulo : Multiplicação de polinômios Página 90 Atividades para classe 1 Calcule as seguintes multiplicações entre monômios. a) y 6? 6y 3 5? 6y y 9 b) 5a b 3? (ab 8 ) 5 5? ()a 11 b a 3 b 11 c) 8x y 3 z 5? (x yz 3 )? x 3 5 8? (1)? x 113 y 31 1 z x 9 y z 8 d) 3 t w? 6 5 wz3 5? t w 111 z t w z 3 e) 0,x? 3,1x? x 3 5 0,? 3,1? x ,x 6 f) abcd? _ ab3 d? c3 5 1 abcd? ab3 _ d? c a111 b 113 c 113 d a b c d Usando a propriedade distributiva, calcule os seguintes produtos. a) 3x(x 3 1 x ) 3x? x 3 1 3x? x 3x? 5 5 3x ? x 11 6x 5 3x 1 6x 3 6x b) a 3 b (ab 1 b a) a 3 b? ab 1 3 b? b a 3 b? a 5 5 a 311 b 11 1 a 3 b 1 1 a 311 b 5 5 a b 3 1 a 3 b 3 a b c) 5p t (p 3 t 5 6p 7 t 1 p t) 5p t? p 3 t 5 5p t? 6p 7 t 1 5p t? p 5p t? t p 5 t 9 30p 9 t 5 1 5p t 5p t 5 y y y 7 # y 5? y3 y 6 5? 10y 7 5 y 5 1 0y y5 15 y3 7 e),5a(a 3),5a? a 1,5a? a 1 1,75a f) k (k 1 k t 1 1) k? k 1 k? k k t 1 k 5 k 1 k 3 k t 1 k 3 Efetue as multiplicações entre polinômios indicadas abaixo. a) (x 1 3)? (x 5) x? x x? 5 1 3? x 3? 5 5 x x 15 b) (y 3 yz)? (z y 1 y 3 z) y 3 z y 1 y 3? y 3 z yz? z y yz? y 3 z 5 5 y z 1 y 6 z y z 3 y z 5 y 6 z y z 3 c) (b 1) (b 1 3b ) b? b 1 b? 3b b? b 3b b 3 1 6b 8b b 3b b 3 1 5b 11b 1 d) (m 1 p)(m mp 1 p ) m? m m? mp 1 mp 1 pm p? mp 1 p? p 5 5 m 3 m p 1 mp 1 pm mp 1 p 3 5 m 3 1 p 3 a 1 3 #@ 3a 1 3 # a? 3a 1 a? 3 1 3? 3a 1 3? a 1 3a 3a a 3a 1 3a a 1 a 1 f) (x 3 )(x 1 x 1 x 1) x 3? x 1 x 3? x 1 x 3? x x 3 1 x x? x x 7 1 x 5 1 x x 3 1 x x x x 7 1 x 5 1 x x 3 x x 1 Considere um bloco retangular que foi dividido em três partes, como mostra a figura abaixo, e escreva em seu caderno um polinômio para representar o que é pedido. x 1 3 x y Dica: lembre-se de que o volume de um bloco retangular é igual ao produto do comprimento pela sua largura e altura desse bloco. a) o volume da parte 1; x? x? y 5 x y b) o volume da parte ; y? y? x 5 xy c) o volume da parte 3; 3xy d) o volume do bloco original. x y 1 xy 1 3xy 5 Observe o retângulo a seguir. x 1 x 3 a) Determine o polinômio que representa o perímetro dessa figura. Perímetro 5? (x 1 3) 1? (x 1 1) 5 5 x x 1 5 x 1 8 b) Determine o polinômio que representa a área dessa figura. Área 5 (x 1 3)? (x 1 1) 5 x 1 x 1 3x x 1 x 1 3 c) Determine o valor numérico do polinômio que representa o perímetro da figura, considerando x 5 1. Perímetro para x 5 1:? d) Determine o valor numérico do polinômio que representa a área da figura, considerando x 5 1. Área para x 5 1: 1 1? y 79 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:05

13 6 Um retângulo foi dividido em quatro retângulos menores, como mostra a figura. y y a) Determine a área de cada retângulo. área do retângulo 1 5 y? y 5 y área do retângulo 5 y? 3 5 6y área do retângulo 3 5 y área do retângulo 5? área do retângulo maior 5 soma das áreas dos retângulos 1,, 3 e y 1 6y 1 y y 1 10y 1 1 b) Use a propriedade distributiva para efetuar a multiplicação (y 1 3)? (y 1 ). (y 1 3)? (y 1 ) 5 y 1 y 1 6y y 1 10y Pelas regras de um torneio de automobilismo, em cada cor rida o primeiro colo cado ganha x pontos, o segundo, pontos a menos que o primeiro e o terceiro, 3 pontos a menos que o segundo. No ano passado, o campeão do torneio venceu 3 corridas e obteve, ainda, segundos lugares e terceiros lugares. a) Qual polinômio representa o total de pontos obtidos pelo campeão do torneio? x pontos para o 1 o colocado (x ) pontos para o o colocado [(x ) 3] pontos para o 3 o colocado 3x 1 (x ) 1 [(x ) 3] 5 5 3x 1 x 8 1 x 6 5 9x 18 é o polinômio que representa o total de pontos do campeão. b) Considerando x 5 10, calcule o total de pontos obtidos pelo campeão. Para x 5 10, tem-se: 9? Página 91 Atividades para casa 8 Observe os monômios dados nas figuras. 5x 3 x y 6x 5 y amarelo azul 8xy 3 3y 3 a) Calcule o produto dos monômios que estão nos triângulos. 8? x? y 3? 6? x 5? y 5 8? 6? x? x 5? y 3? y 5 5 8x 6 y b) Calcule o produto dos monômios que estão nos retângulos. 3? y 3? 5? x 3 5 3? 5? y 3? x y 3 x 3 c) Calcule o produto dos monômios que estão nos círculos.? y? (? x ) 5 ()? ()? y? x 5 8y x d) Calcule o produto de todos os monômios em figuras amarelas. 5? x 3? (? x )? 8? x? y ?? 8? x 3? x? x? y x 6 y 3 e) Calcule o produto de todos os monômios em figuras azuis.? y? 6? x 5? y? 3? y 3 5 5? 6? 3? y? y? y 3? x 5 5 7y 8 x 5 9 Calcule os produtos entre os monômios de cada item. a) 8k 5? (k)? k 3 8?? k 5? k? k k 9 b) p 3? pq? p q 8? p 3? p? p? q? q 8 5 p 8 q 9 c) x y 3? (3x y 5 z )? xz 3? 3? x? x? x? y 3? y 5? z? z 3 5 1x 7 y 8 z 5 d) h 5? 10h 9? 99h h? 10h? 11 _ 99h 5?? 11? h? h? h 5 h e) 0,3c d? cd? (7,1c d ) 0,3?? 7,1? c? c? c? d? d? d 5 5,7c 5 d 5 f) y 3? y 5? 10y z y? y? 10? y? z ? y? y? y? z 5 _ y7 z 3 g) a? ab? 3abc? abcd? 3?? a? a? a? a? b? b? b? c? c? d 5 a b 3 c d h) 3x 3 y 7 6 xyz #? x 5 yz t 1 3? 7 6 1? 1? x 3? x? x 5? y? y? y? z? z? z? t 5 5 7x 9 y 6 z t 10 Aplique a propriedade distributiva para calcular os produtos indicados em cada item. a) p? (3p 1 8) p? 3p 1 p? 8 5 6p 1 16p b) 7x (x 3x 1 ) 7x? x 7x? 3x 1 7x? 5 7x 1x 3 1 1x c) 5yz (y 3z ) 5yz? y 1 5yz? 3z 5 5y z 1 15yz 6 d) b 3 c d 5? (b c 3 bc 3 d 1 3c d ) b 3 c d 5? b c 3 b 3 c d 5? bc 3 d 1 b 3 c d 5?? 3c d 5?? b 31? c 13? d 5? b 311? c 13?? d 511?? 3? b 3? c 1? d b 5 c 5 d 5 b c 5 d 6 1 6b 3 c 6 d 7 e) a 3a3 a 6 # 1 a? 1 3a 3 1 a 3 1 3? a a? a a a P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:07

14 f),5t (1,t 1 t 1 3),5t? 1,t 1,5t? t 1,5t? 3 5 5,5? 1,? t 1 1,5?? t 11 1,5? 3? t 5 5,7t 6 1 9t 5 1 6,75t g) 3h (h 1 h 5 h 1 6) 3h? h 3h? h 5 1 3? h? h 3h? h 6 3h 7 1 6h 3 18h h) xy x y 1 5 xy 3 7 y # xy 3? x y 1 xy 3? 5 xy xy? 1 3 y x? x? y? y 1 5x? x? y? y xy? y x3 y y 3 5x 6 xy Simplifique em seu caderno a expressão z 3 x?? zx 3 1 x? 3x z? (3z x ).?? z 311? x ? x 11 1? 3? z 1? x 5 5 8z x 1 3x 3 1 1z x 5 (8 1 1)z x 1 3x z x 1 3x 3 1 Determine em seu caderno os seguintes produtos entre polinômios. a) (x 1 3)(x 5) x? x 5? x 1 3? x 15 5 x x 15 b) (y 3y)(y 1 y) y? y 1 y? y 3y? y 3y? y 5 5 y 1 y 3 3y 3 6y 5 y 1 y 3 6y c) (a t )(a 1 at 1 t ) a? a 1 a? at 1 at t? a t? at t? t 5 5 a 3 1 a t 1 at t a at t 6 5 a 3 t 6 d) (x y 1 3x y xy)(x y x y) x y? x y x y? x y 1 3x y? x y 3x y?? x y xy? x y 1 xy? x y 5 x 1?? y 111 x 1? y ? x 1? y 111 3? x 1?? y 111?? x 11? y 111 1? x 11? y 111 5x 6 y x y 1 1 6x 8 y 3x 6 y x 5 y 1 x 3 y 5 x 6 y x y 1 6x 8 y x 5 y 1 x 3 y e) x(x 1 1)(x 1) x(x? x x 1 x 1) 5 x(x 1) 5 x? x x 5 5 x 3 x 13 Copie os itens em seu caderno, substituindo cada de maneira a tornar as sentenças verdadeiras. a) x 3? x 5 5?? x 3? x 5 8x 5 b) 8y? 5 16y 9 5 y 5, pois 8y? y y 9 c) 5x 3 y? 5 30x y z 3 5 6xz 3, pois (5x 3 y )? (6xz 3 ) 5 30x y z 3 d) 8a 3 b? 5 6a b ab9, pois 8a3 b? 3ab9 5 6a b 11 1 A tabela mostra o número de viagens diárias das 3 linhas de uma empresa e a distância percorrida em cada viagem. Cidade Número de viagens diárias Distância até São Paulo (em quilômetros) Campinas N D Americana N 0 D 1 30 Limeira N D 1 5 Escreva o polinômio que representa a distância percorrida em um dia pelo ônibus de cada linha. a) São Paulo Campinas. ND b) São Paulo Americana. (N 0)? (D 1 30) 5 ND 1 30N 0D 600 c) São Paulo Limeira. (N )? (D 1 5) 5 ND 1 5N D 1 96 d) Das três linhas. ND 1 ND 1 ND 1 30N 1 5N 0D D ND 1 8N D Em uma empresa de ônibus o valor das passagens varia de acordo com a distância da viagem. O preço cobrado é de RS 0,73 por quilômetro rodado. Um ônibus transportou x passageiros por 100 km e x 1 3 passageiros por 50 km. Determine o polinômio V que representa o total obtido pela empresa com o valor cobrado dos passageiros desse ônibus. V 5 0,73? 100? x 1 0,73? 50? (x 1 3) V 5 73x 1 36,5? (x 1 3) V 5 73x 1 36,5x 1 109,5 V 5 109,5x 1 109,5 Módulo 5: Divisão de polinômios Página 9 Boxe Desafio O polinômio P 5 x 1 6x 3 1 x foi dividido pelo monômio D e o resultado foi Q 5 x 3 1 3x 1 1. Qual é o monômio D? Seja D 5 ax n o monômio. Se P : D 5 Q, então x 1 6x 3 1x ax n 5 x3 1 3x 1 1 Æ x ax n 5 x 3 Æ Æ : a 5 Æ a 5 n 5 3 Æ n 5 1 Aqui a comparação foi feita usando os primeiros termos de P e de Q, porém uma comparação com os segundos ou terceiros termos leva ao mesmo resultado: a 5 e n 5 1. Logo o monômio é D 5 x 1 5 x. Página 9 Atividades para classe 1 Efetue em seu caderno as divisões abaixo. a) 6x 16 ; 13x 13 6x16 _ 13x ? x x 3 b) a 7 ; a 5 a7 _ a 5 5? a75 5 1? a 5 a 81 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:10

15 c) 18x 6 y ; 9x y 3 18x6 y 9x y ? x6 y 3 5 x y d) 0a 7 b 3 c ; a 6 b 3 c 0a7 b 3 c a 6 b 3 5 _ 0 c? a76 b 33 c 1 5 5ac e) a10 b 3 ; b 10a5 9 a10 b 3? 9 10a 5 b 5 18a a5 5 f) (8b 3 0b 1 16b) ; (b) 8b3 0b 1 16b 5 _ 8b3 b b _ 0b b 1 _ 16b b 5 5 b b 1 b 11 5 b 1 5b g) (6t u 6 7t 6 u 1 3t u) ; 3t u 6t u 6 7t 6 u 1 3t u 3t 5 u 5t u t6 u t u t u t 11 h) (z 3 1 z 6z 1 ) ; (z 1 1) z 3 1 z 6z 1 z 1 1 z 3 z z 13z z 6z 3z 3z 0 9z1 1 9z19 11! resto i) (a 3 a a 1 ) ; (a 1) a 3 a a 1 a 1 a 3 1 a a a 0 a a 1 a a a 1 1a 0 Copie as operações em seu caderno, substituindo cada pelo monômio que mantém a igualdade verdadeira. a) 3p? 5 15p p6 3p 5 5p 6 5 5p b)? a b c 5 a 8 b cd 5 _ a8 b cd a b c 5 a 8 d 5 a 6 d c) x?? x 3 5 8x 1 x 5 8x 1 5 _ 8x1 x 5 x 1 5 x 8 d) 36xy 3 ; 5 x 5 36 xy3 x 5 18y 3 e) ; 7x x 5 11x? 7x x 5 f) 15t uw ; 5 3uw t u w 13 u w 5 5t g) ; ab 5 a b 3 5 a b 3? ab 5 a 11 b a 3 b 3 Responda em seu caderno. a) Qual é o resto da divisão do polinômio 81x x 1 por 9x 1? 81x 3 19x 1 0x 1 9x 1 81x 3 1 9x 9x x 1 9x 1 9x 11 9x! resto O resto é 9x. b) Qual é o dividendo de uma divisão de polinômios em que o divisor é x 1 1, o quociente é x 3 3 e o resto é x? Seja DV 5 dividendo, DR 5 divisor, Q 5 quociente e R 5 resto. Então tem-se DV 5 Q? DR 1 R. Assim: DV 5 (x 3 3)? (x 1 1) 1 x DV 5 x 31 1 x 3 3x 3 1 x DV 5 x 5 1 x 3 3x 1 x 3 O retângulo ABCD da figura tem área 9x 3 y 3 z. Obtenha o monômio M, que representa o comprimento do lado AB. M A B 6xy 3 área do retângulo 5 M? 6xy 3 M? 6xy 3 5 9x 3 y 3 z M 5 3 9x 3 y 3 z 6xy 3 M 5 3 x3 1 z M 5 3x _ z D C 8 5P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd 8 11/3/08 3:7:5 PM

16 5 Copie o esquema a seguir em seu caderno, siga as orientações e determine os monômios indicados pelas letras m, n, o e p. subtraia 8a 5 a divida adicione 3a por 3a p m o divida por 5a m 5 a 1 3a Æ m 5 5a n 5 5a? a Æ n 5 10a 6 o 5 _ 10a6 5a Æ o 5 a5 p 5 a 5 8a 5 Æ p 5 6a 5 Finalmente, _ p 5 _ 6a5 3a 3a Æ _ p 5 a 3a n multiplique por a 6 Encontre o polinômio P que, multiplicado pelo monômio 3xy, resulta no polinômio 3x y 6x y 1 18x 3 y 3 xy 5. P? 3xy 5 3x y 6x y 1 18x 3 y 3 xy 5 P 5 _ 3x y 6x y 1 18x 3 y 3 xy 5 3xy P 5 x 3 xy 1 6x y 8y 3 7 O paralelogramo ao lado tem altura A igual a 1b c 3 e área igual a 96b 9 c 3 1b 5 c Qual é o polinômio B que representa o comprimento dessa figura? área do paralelogramo 5 B? A B? 1b c b 9 c 3 1b 5 c B 5 96b9 c 3 1b 5 c b c 3 B 5 8b 5 b 1 1 1b c 3 8 Dados o polinômio A 5 x y x 3 y e o monômio B 5 x y, determine em seu caderno cada uma das situações a seguir. B A a) A soma de A e B. A 1 B 5 x y x 3 y 1 x y A 1 B 5 6x y x 3 y b) O produto de A por B. A? B 5 (x y x 3 y)? x y 5 5? x 1 y 111? x 31 y x y 8x 5 y c) O quociente de A por B. A : B 5 (x y x 3 y) : x y 5 5 : x y 11 : x 3 y x 9 Paulo deseja dividir os polinômios abaixo obtendo, em todos os casos, quociente igual a p. Descubra o divisor e o resto em cada caso. a) p 16p 1 1 DR? (p ) 1 R 5 p 16p 1 1 DR 5 p 16p 1 1 R p p 16p 1 1 R p p 1 8p p 8 8p 1 1 R 1 8p 16 R R 5 0 Æ R 5 Æ R 5 Divisor 5 p 8, resto 5. b) 6p 7 DR? (p ) 1 R 5 6p 7 DR? (p ) 5 6p 7 R DR 5 6p 7 R p 6p 7 R p 6p R 5 R 5 0 Æ R 5 5 Æ R 5 5 Divisor 5 6, resto 5 5. c) 3p 3 3 DR? (p ) 1 R 5 3p 3 3 DR? (p ) 5 3p 3 3 R DR 5 3p3 3 R p 3p 3 1 0p 1 0p 3 R p 3p 3 1 6p 3p 1 6p 1 1 6p 1 0p 6p 1 1p 1p 3 R 1p 1 1 R 1 R 5 0 R 5 1 R 5 1 Divisor 5 3p 1 6p 1 1, e resto P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:16

17 10 Na figura abaixo, cada cubo amarelo representa o monômio t e os cubos azuis representam, juntos, o polinômio 16mt 1 t. amarelo x 1 azul Descubra o polinômio que representa cada situação. a) Todos os cubos. 1? t 1 16mt 1 t 5 8t 1 16mt 1 t mt 1 7t b) Um cubo azul. 16mt 1 t 5 mt 1 3t 8 c) Um cubo azul e dois cubos amarelos. mt 1 3t 1? t 5 mt 1 11t d) Dois cubos azuis divididos por quatro cubos amarelos. (mt 1 3t) 5 m m? t e) O produto de um cubo azul por um cubo amarelo. (mt 1 3t)? t 5? mt? t 1? 3t? t 5 5 8mt 1 1t 11 Observe a caixa de papelão ao lado. x 1 1 a) Represente com um polinômio o volume V dessa caixa. V 5 (x 1 )? (x 1 1)? 1 V 5 x 1 x 1 x 1 V 5 x 1 3x 1 b) Determine a razão entre o volume V dessa caixa e a área da tampa. A área da tampa será: A d 5 (x 1 )? (x 1 1) 5 x 1 3x 1 A razão V 5 x 1 3x 1 A t x 1 3x Página 95 Atividades para casa 1 Efetue as seguintes divisões. a) (1x 5 ) ; (7x ) 1x5 7x 5 x 5 5 x 3 b) (0a 6 b 3 ) ; (a 6 b) 0a6 b 3 a 6 b 5 5a66 b b 1 c) (30p 3 q ) ; (5p 3 q ) 30p3 q 5p 3 q 5 6p33 q 5 6 d) (16,7x 6 y 7 z 3 ) ; (,x 5 y ) 16,7x6 y 7 z 3,x 5 y 5 7,6x 65 y 7 z 3 5 7,6xy 5 z 3 _ ab6 3 # 15 # b5 ab6 _? b 5 5 ab ab 5 f) _ 8z w 7 1z w 5 _ 8z w z w 5 5 w 3 g) 6ab7 16a b 5 c 3 ab 3 3 6ab 7 ab 3 _ 16a b 5 c 3 1 ab b73 1 a 1 b 53 c b 1 ab c 3 h) (xy 1 x y 3 8x 3 y) : (xy) 5 xy xy 1 y 3 x xy _ y x1 8x3 xy y 31 x y xy x i) 8t 1 t t 1 t t 1 t Dentre os monômios representados nas fichas a seguir, escreva em seu caderno os monômios que satisfazem cada situação. a 6 b a 3 15a 6 b 1a 5 3a 3 a) Dois monômios que, divididos, resultam em 6a. 1a5 a 3 5 6a a Resposta: 1a 5 e a 3 b) Dois monômios que, divididos, resultam 5a 3 b. 15a6 b 3a 3 5 5a 63 b 5 5a 3 b Resposta: 15a 6 b e 3a 3 c) Dois monômios cuja soma seja a 3. a 3 1 (3a 3 ) 5 a 3 Resposta: a 3 e 3a 3 d) Um monômio que multiplicado por b 3 resulta a 6 b 5. a6 b 5 b 3 5 a 6 b 53 5 a 6 b Resposta: a 6 b e) Dois monômios cuja diferença seja 17a 6 b. a 6 b (15a 6 b ) 5 17a 6 b Resposta: a 6 b e 15a 6 b f) Dois monômios cujo produto tenha grau 6. a 3? (3a 3 ) 5 6a 6 Resposta: a 3 e 3a P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :31:55

18 1 Márcia construiu o retângulo da figura usando palitos de fósforo, todos de comprimento L. A área desse retângulo é igual a 8L.... L L... a) Quanto medem os dois menores lados desse retângulo? L 1 L 5 L Os lados menores do retângulo medem L. b) Quanto medem os dois maiores lados desse retângulo? área do retângulo 5 8L L lado maior 5 8L lado maior 5 _ 8L L lado maior 5 1L A medida de cada um dos lados maiores é 1L. c) Quantos palitos, no total, Márcia usou para construir o retângulo? perímetro 5 L 1 L 1 1L 1 1L perímetro 5 3L cada palito mede L número de palitos 5 3L L número de palitos 5 16 Márcia usou 16 palitos para construir o retângulo. 15 Considere o polinômio M 5 x 3 1 x e o monômio N 5 x. Efetue M : N 6 17 Calcule o valor da expressão A 5 x 1 y x y para x 5 3a e y 5 a a 5 1 a 3 9a15a A a 3a 5 5 a 3 9a5a a 5 71a 15 15? 15 a Copie as divisões abaixo em seu caderno substituindo cada símbolo pelos monômios correspondentes. a) 3b 1 5 b 1 1 3b 3 5 3, pois 3(b 1 1) 5 3b 1 3 que aparece abaixo do dividendo como 3b b) 6a a 1 3a tem-se 3a 5 6a 5 6a 3a 5 a 5 3a? 6a a a Æ 5 0a? M x 1 x 3 N 5 x 6 5 x 1 3x? 6 6 x 5 x1 1 3x 11 5 x13 16 Qual é o quociente da divisão do polinômio 18y 9 1 y 5 3y 1 6y 3 por 3y? 18y 9 1 y 5 3y 1 6y 3 3y 18y 9 6y 7 1 8y 3 y 1 y 0 1 y 5 y 5 0 3y 13y 0 1 6y 3 6y 3 Resposta: 6y 7 1 8y 3 y 1 y 0 c) 1 10m ? 10m 5 5m 5m m P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:5

19 19 O retângulo a seguir tem altura 16x y 3. A área desse retângulo é representada pelo polinômio 18x 6 y 3 16x 5 y 3. 16x y 3 A Qual é o polinômio que representa o comprimento A indicado na figura? área do retângulo ABCD 5 18x 6 y 3 16x 5 y 3 altura do retângulo ABCD 5 16x y 3 altura 3 comprimento 5 área comprimento 5 área altura comprimento 5 18x6 y 3 16x 5 y 3 16x y 3 comprimento 5 8x 6 y 33 x 5 y 33 comprimento 5 8x x 0 O volume da caixa retangular da figura seguinte pode ser representado pelo polinômio V 5 x x y. Determine o polinômio H que representa a altura dessa caixa. Página 96 Representando a situação Laura decidiu escrever uma fórmula matemática que representasse o total arrecado pelo quiosque em cada venda realizada. Assim, no final do dia ela poderia simplesmente adicionar todos esses valores, obtendo a receita diária do quiosque. Para isso, ela utilizou as seguintes variáveis. T: Total recebido (em reais) com a venda. n 1 : Quantidade de galões de 5 litros que foram vendidos. n : Quantidade de galões de 10 litros que foram vendidos. E as constantes P 1 : Preço de cada galão de 5 litros. P : Preço de cada galão de 10 litros. Utilizamos P 1 5 5,5 e P 5 8 Utilize as variáveis definidas por Laura e escreva em seu caderno a fórmula matemática que Laura definiu. De acordo com as variáveis definidas por Laura: T 5 5,5n 1 1 8n Página 97 Resolução do problema 1 Dentre todos os dados existentes na tabela de preços e na ficha, quais são necessários para o cálculo da receita obtida na sexta-feira? Para o cálculo da receita obtida na sexta-feira são necessários: a data da venda, o preço de cada tipo de galão e a quantidade vendida de cada um deles. H x x Como Laura já havia definido todas as variáveis necessárias para o cálculo, e também a fórmula matemática que relacionava essas variáveis, ela resolveu coletar os dados das fichas. Selecionou todas as fichas das vendas realizadas naquele dia e foi preenchendo a tabela a seguir. V 5 x 3 1 x y H? x? x 5 V H? x 5 x 3 1 x y H 5 x3 1 x y x H 5 (x3 1 x y) x H 5 x 3 1 x y H 5 x 1 y Resolução de problemas Cálculo da receita diária do quiosque Água Cristalina Galão de 5 litros Número da venda Quantidade Valor (n 1? P1) 1? 5, ? 5,5 5 5, ? 5, ? 5,5 5 16,5 7? 5, ? 5, ? 5,5 5 5, ? 5,5 5 5,5 1? 5, P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:7

20 Número da venda Quantidade Galão de 10 litros Valor (n? P ) Valor total (T) RS,00 1 1? RS 13, ? 8 5 RS,00? RS 16, RS 11, RS 16, ? 8 5 RS 35, RS 33,00 9? RS 3, RS 5, ? 8 5 RS 9, RS 11,00 Copie a tabela acima em seu caderno preenchendo corretamente os espaços vazios. Depois, considere as informações da tabela para responder às questões. a) Qual foi a receita total obtida pelo quiosque naquele dia? Receita total obtida 5, ,50 1, , , , , ,00 1 3, ,50 1 9, , Naquele dia a receita total foi de RS 9,00. b) Qual é o número da venda que gerou a maior receita? A venda de número 7 gerou a maior receita. c) Em qual venda foi comprada a maior quantidade de galões? O maior número de galões comprados foi registrado na venda número 8. d) Quantos galões de 5 litros foram vendidos nesse dia? E de 10 litros? Número de galões de 5 litros: Número de galões de 10 litros: Foram vendidos galões de 5 litros e 16 galões de 10 litros. e) Qual a receita total obtida com a venda dos galões de 5 litros? E dos de 10 litros?? RS 5,50 5 RS 11,00 16? RS 8,00 5 RS 18,00 A receita com a venda de galões de 5 litros foi de RS 11,00 e com os de 10 litros foi de RS 18,00. Página 97 Comunicação de resultados Tipo de galão Receita Galão de 5L RS 11,00 Galão de 10L RS 18,00 Galão de 5L e 10L RS 9,00 Página 97 Faça você A tabela a seguir mostra o total de vendas realizadas num dia pela concessionária Carro Novo, de cada um dos três modelos com os quais ela trabalha: Modelo Asdra Boro Cívico Unidades vendidas Sendo p A, p B e p C os preços dos modelos Asdra, Boro e Cívico, respectivamente, escreva uma expressão algébrica que represente a receita total obtida pela concessionária nesse dia com a venda dos carros. Receita total 5 10p a 1 5p b 1 8p c Sabendo que p A 5 RS 0 000,00, p B 5 RS ,00 e p C 5 RS ,00, calcule o valor dessa receita. Receita total 5 10? RS 0 000,00 1 5?? RS ,00 1 8? RS , RS ,00 1 RS , RS 0 000,00 5 RS ,00 Página 100 Questões globais 1 Classifique cada expressão em seu caderno como racional inteira, racional fracionária, irracional inteira ou irracional fracionária. a) x 1 x Expressão algébrica racional inteira. b) 3x 1 x 7 Expressão algébrica racional inteira. c) 1 3 y Expressão algébrica racional fracionária. d) d XXX x 1 3 Expressão algébrica irracional inteira. e) 5y 1 1 d XX x Expressão algébrica irracional fracionária. f) d XX x 1 y 1 Expressão algébrica irracional fracionária. Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir. a) xy 3 para x 5 5 e y 5. 5? b) 3xy x para x 5 5 e y 5. 3? 5?? c) 5x 3y, para x 5 1 e y 5. (1) 3? d) 8a 1 3b, para a 5 e b () 1 3() e) d XXXXXXXX b 1 c, para b 5 5 e c 5 1. d XXXXXXXX d XXXXXXXXX d XXXX f) a 1 b 1 a para a 5 1 e b 5 1,. b _ # P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:8

21 3 Considere A 5 xy 3 e B 5 3xy x. a) Efetue A? B. (xy 3)(3xy x) 5 3x y x y 9xy 1 1x b) Calcule o valor numérico da expressão obtida no item a para x 5 5 e y 5. 3? (5)? ()? (5)? 9? 5? 1 1? Efetue as operações entre os monômios indicadas abaixo. a) 5x 3 1 3x3 x3 10x3 1 3x 3 x x3 b) y 1 5y 3y 1 y 6y 1 y c) 8t 5 1 t? 5t 3 8t t ? t 5 d) b 1 b b? b b b 5 1 e) x y 3 z? x 5 z 8 t 3 x 15 y 3 z 18 t 3 5 x 7 y 3 z 1 t 3 f) 7g 19g g? g 1g g 5 3 6g3 5 6g 5 Efetue as operações abaixo e encontre o valor numérico de cada item para w 5 e t 5 1. a) w? (3w 1 w ) 6w 3 1 w 8w 5 6() 3 1 () 8() 5 5 6(8) 1() b) (t 1 )(t 1 3) t 1 1t t (1) 1 1(1) (1) t 1 #@ t 3 # t t 6? t t 1 t 3t 1 5 t t 1 5 _ (1) 3 6 (1) d) t(t 1 w) w(t w) t 1 tw wt 1 w 5 t 1 w 5 (1) 1 () e) (w 3 t )(w 3t ) w 3w 3 t 1 t w 1 6t 5 () 3() 3 (1) 1 (1) () 1 6(1) Para calcular a temperatura em graus Fahrenheit (t F ) equivalente a uma dada temperatura em graus Celsius (t C ), soma-se 3 a 9 5 de t C. a) Escreva a expressão algébrica dessa conversão. 9 5 t c t F b) Calcule a temperatura t F equivalente a 5 C. 9 5? t F Æ t F F 7 Dados os polinômios A 5 x 3 e B 5 6 x, calcule. a) AB (x 3)? (6 x) 5 1x x x 5 5 x 1 15x 18 b) A 1 B? (x 3) 1 (6 x) 5 x x 5 3x c) A B (x 3) (6 x) 5 x x 5 3x 9 d) AB 1 18 A 1 B x 1 15x x 1 15x 5 3x 3x 5 x Efetue as operações entre polinômios indicadas abaixo. a) (c 3 1 c 1 c 3) (5c 3 1 c 1) c 3 1 5c 3 1 c c 1 c c 3 1 c b) _ (y y)? (3y y ) 7y 1 y _ 6y 3 8y 3y 1 y 3 5 8y 1 10y 3 3y 5 6y 6y 5 8y3 1 10y 1 3y 6 c) (a 1 b 1 c)(a b 1 c) a ab 1 ac 1 ba 1 bc b 1 ca bc 1 c 5 5 a b 1 c 1 ac d) (x 1 )(x 3) (x 1 1)(x ) x 3x 1 x 6 x 1 x x 1 5 x p #(6p 1 1p ) p 3? 6p 1 p? 1p? p ? 6p 1 1?? 1p? 1 5 p3 1 11p 1 _ 18p p p p 1 1p A figura ao lado é formada por dois quadrados verdes e um retângulo amarelo. b a b a verde amarelo 88 P_YY_M8_RA_C03_068a090.indd :1:30