4 Escreva uma expressão algébrica. V perímetro 2 2x 2 3 2(2x 3) base igual a 7. g) O triplo da soma de um número com seu quadrado.

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1 Módulo 1: Noções de álgebra d) A 6 C B PÁGINA 10 Atividades para classe AB 6 y 1 Em cada item abaio, escreva uma epressão algébrica, e) y 8 utilizando as letras e y para representar A B esses números. AB y y 8 ou AB y (y 8) a) O dobro de um número. b) O triplo de um número. Escreva uma epressão algébrica para representar o perímetro do retângulo ilustrado. c) O quadrado de um número. d) O cubo de um número. perímetro base altura V V perímetro ( ) e) Metade da diferença de dois números. Desenhe em seu caderno os seguintes polígonos e 1 ( y) y epresse algebricamente a área de cada um. a) B f) Cinco oitavos da soma de dois números. 8 ( y) ( y) B Triângulo ABC, de base 8 7 e altura relativa a essa B base igual a 7. g) O triplo da soma de um número com seu quadrado. A 7 C ( B ) base altura 7 A h) O produto de um número pelo seus três quartos. A A C A C b) A C i) A diferença entre o dobro de um número e metade de outro. 1 y y Quadrado de lado. j) A terça parte da soma de um número com o triplo de outro. 1 ( y) ( y) k) O quadrado da soma de dois números. A lado lado ( y) y A ( ) ( ) ( ) l) A soma dos quadrados de dois números. c) y y José pensou em um número, duplicou-o, subtraiu, multiplicou esse resultado por e adicionou 10. Escreva uma epressão algébrica que traduza essas operações feitas por José. Número em que José pensou " ( ) 10 Epresse algebricamente a medida do segmento de etremidades A e B nos casos a seguir. a) A B AB b) A M AB c) A AB B B d) b b h b B h b h B h B B y Retângulo de base igual a ( ) e altura (y ). y A (base maior base menor) altura A (B b) h y y y A base altura A ( ) (y ) Trapézio de base maior B, base menor b e altura h. 77

2 h b RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES Capítulo 6 e) f) B h B Paralelogramo de base ( ) e altura relativa a essa base igual a. A base altura (relativa ao lado) A ( ) y y Losango de diagonais e (y ). diagonal maior diagonal menor A (y ) A 6 Escreva em seu caderno os pares de termos semelhantes, dentre os termos y, y, y, 8 y, 1y, 6y. y e 8 y são semelhantes. y e 1y são semelhantes. y e 6y são semelhantes. 7 Calcule o valor numérico da epressão t 7t 6 para os seguintes valores de t. a) t 1 t 7t b) t t 7t c) t t 7t 6 ( ) 7 ( ) d) t t 7t e) t 0 t 7t Seja um número racional qualquer. Represente algebricamente o que é pedido em cada item. Ñ Q a) O produto desse número por ele mesmo. b) A soma desse número com ele mesmo. 9 Carol foi à feira e comprou laranjas, limões e goiabas. A quantidade de limões que ela comprou foi o dobro da quantidade de laranjas, e o número de goiabas foi três a menos que o número de laranjas. Sejam: j a quantidade de laranjas, l de limões e g de goiabas " l j e g j a) Escreva uma epressão algébrica que represente a quantidade de frutas que Carol comprou. j l g j j j j b) Se Carol comprou 1 limões, quantas frutas ela comprou no total? Se l 1 V 1 j V j 6 e g j V V g 6 Logo, Carol comprou frutas ao todo, sendo: 1 limões, 6 laranjas e goiabas. 10 Caio desafiou Marcos a descobrir em qual número estava pensando. Para isso fez este enigma: o quádruplo da minha idade, mais 1, menos o triplo da soma da minha idade com, resulta no número que estou pensando. Como Marcos não sabia a idade de Caio, ele apenas escreveu uma epressão. a) Qual foi essa epressão? Idade de Caio C " C 1 (C ), em que é o número em que Caio estava pensando. b) Depois, Caio contou que tinha 1 anos. Em que número ele estava pensando? Como a idade de Caio é 1 anos V C 1 V V 1 1 (1 ) V V 71 8 V Logo, Caio estava pensando no número. PÁGINA 11 Atividades para casa 11 Represente com epressões algébricas o que se pede em cada item. a) O dobro de um número. n b) O número dois somado com um número ao quadrado. n c) O quadrado da soma de um número e do número dois. (n ) d) A metade do triplo de um número. 1 n n e) O triplo do dobro de um número. n 6n f) O dobro da diferença de dois números. (n m) g) A diferença dos dobros de dois números. n m 1 Determine o valor numérico da epressão z z 8, para os seguintes valores de z: a) z 0 z z b) z 1 z z c) z z z 8 ( ) ( )

3 d) z z z e) z 1 z z 8 ( 1) ( 1) f) z z z Copie a tabela abaio e preencha-a com os valores numéricos, de acordo com os valores indicados. 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( )( ) ( )( ) 1 ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( )( ) ( 1 )( 1 ) ( ) ( )( ) (0 )(0 ) ( ) # # 1 1 ( )( 1 1 # # ( )( ) (1 )(1 ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( 1) 1 Num terreno retangular, o comprimento tem 10 m a mais que a largura. Se a largura mede metros, epresse: a) O comprimento do terreno. comprimento c 10 b) O perímetro do terreno. c ( 10) 0 0 c) A área do terreno. A c ( 10) d) O valor numérico do perímetro quando 1 m. perímetro 0; como 1 m, temos: perímetro m e) O valor numérico da área para 0 m. área A ( 10) ; como 0 m, temos: A (0 10) m 1 Copie a tabela abaio e preencha-a em seu caderno. Termo algébrico Coeficiente Parte literal 1yz 1 yz 1a b 1 a b zy 7 7 zy zk y 6 zk y 6 1s p 1 s p 16 Escreva a epressão: o quadrado de um número somado ao quadrado de outro número. Calcule o valor numérico dela para os números e 10. sejam a e b esses números V a b sendo a e b 10, temos: Calcule o valor numérico da epressão (a b), para a e b 10. É possível que o valor numérico da epressão algébrica a b seja igual ao valor numérico da epressão (a b) para algum valor de a e de b? (a b) para a e b 10 " ( 10) 1 Para que os valores numéricos de a b e de (a b) sejam iguais, deve-se ter: (a b) a b V a ab b a b V V ab 0 X a 0 ou b 0 Logo, (a b) a b somente quando a 0 ou b 0. 79

4 18 Reduza os termos semelhantes de cada item a um único termo. a) 1y y 1y y 17y b) y 6y 8y y 6y 8y y c) 7abz abz abz 7abz abz abz 11abz d) e) 0 y 6 y 0 y 6 y y f) 6c c 6c c 10c 19 Simplifique as epressões algébricas: a) ( ) ( ) 1 b) 6( ) ( ) 6( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) 7( ) ( ) ( 1) 7( ) ( ) ( 1) f) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Monte uma epressão para: metade de um número, mais a terça parte desse número, menos 1. Depois calcule o valor dessa epressão quando o número mencionado for o 1. Seja este número V Para 1 V Dona Maria quer dividir um bolo quadrado para cada um de seus netos. Sabe-se que o bolo tem lado e que o neto mais velho vai receber dois quintos do bolo e o mais novo vai receber um quinto do bolo. a) Represente a área do bolo todo com uma epressão algébrica. Área lado lado " b) Represente a epressão da área da parte do bolo que o mais velho receberá. c) Represente a epressão que corresponde à parte do bolo que o neto do meio receberá. Calcule subtraindo do total as partes dos outros dois netos. Total do bolo Parte do neto mais velho Parte do neto mais novo 1 Parte do neto do meio d) Se o bolo tem 0 cm de lado, qual é a área que cada neto vai receber? 0 cm O mais velho receberá: cm. O neto do meio receberá, igualmente, 60 cm. O neto mais novo receberá: cm. Represente cada epressão e diga quais delas são iguais, qualquer que seja o número: o produto de um número por ele mesmo; a soma de um número com ele mesmo; um número ao quadrado; o dobro de um número. Seja este número V ; ; ;. As epressões iguais são: e Módulo : Equações PÁGINA 1 Atividades para classe 1 João e Gabriel gostam de brincar de jogar bolinhas de gude. A quantidade de bolinhas de gude que Gabriel possui é igual à metade da quantidade de bolinhas de gude que João possui mais 1 unidades. a) Representando por a quantidade de bolinhas de gude de João, copie e complete a tabela abaio em seu caderno. Quantidade de bolas de João Quantidade de bolas de Gabriel Equação que representa o problema b) Verifique se os valores 8, 10 e 1 são raízes da equação encontrada. para 8 " Portanto, 8 não é raiz. para 10 " Portanto, 10 é raiz. para 1 " Portanto, 1 não é raiz. Nas figuras, o perímetro do triângulo é igual à metade do perímetro do heágono. O heágono é regular e o triângulo é equilátero. 80

5 a) Represente a situação descrita com uma equação. Perímetro heágono Perímetro triângulo V V 6 b) Que tipo de números não podem fazer parte do conjunto universo dessa equação? Dica: representa uma medida. não pode ser negativo, pois representa a medida do lado. Transforme as seguintes sentenças em equa ções. a) Um número tal que o triplo desse número adicionado a 0 é igual a b) Um número cujo dobro ecede esse número em 1 unidades. 1 c) Um número tal que o dobro da soma desse número com resulta em 0. ( ) 0 d) Um número tal que a metade da diferença desse número e é igual a 8. 8 Nos itens abaio são dadas equações e um valor para a incógnita. Verifique em cada caso se o valor fornecido é raiz da equação. a) ( ) ( 1) 0, 6 ( ) ( 1) 0 Se 6 V 1 o membro (6 ) (6 1) 10 () V 0 o membro 0 0 V 1 o membro o membro Logo, 6 não é raiz da equação. b) t 16, t t 16 Se t V 1 o membro V 1 16 o membro V 1 o membro o membro Logo, é raiz da equação. c) z z 1 0, z z z 1 0 Se z V 1 o membro ( ) ( ) 1 V o membro V 1 o membro o membro Logo, é raiz da equação. (1 ) d), (1 ) Se V 1 o membro (1 ) 8 V 0 10 o membro V 1 o membro o membro Logo, é raiz da equação. e) 1 0, 1 0 Se V 1 o membro V o membro V 1 o membro o membro Logo, não é raiz da equação. Qual o conjunto universo da equação é igual ao dia da semana que começa com s? U {os 7 dias da semana} {segunda-feira; terçafeira; quarta-feira; quinta-feira; seta-feira; sábado e domingo} (Note que somente segunda-feira, seta-feira e sábado são "raízes" da equação) 6 Copie a tabela abaio e complete-a em seu caderno, seguindo o modelo. Pergunta Qual número inteiro, elevado ao quadrado dá 9? Qual número inteiro negativo elevado ao quadrado dá 9? Qual número inteiro elevado ao quadrado dá? Qual número inteiro positivo elevado ao cubo dá 8? Qual número inteiro elevado à quarta potência dá 1? Qual número inteiro tem sua metade igual à sua terça parte? Qual número natural tem seu triplo menor que 1? Equação e conjunto universo 9; U Z 9; U Z, U Z 8, U Z 1; U Z Resposta ou conjunto solução 7 ou 7; S { 7; 7} 7; S { 7} S (não há inteiro que satisfaça a equação) S (não há inteiro positivo que satisfaça a equação) 1 ou 1; S { 1; 1} ; U Z 0; S {0} 1, U N, V 0 ou 1 ou ou ; S {0; 1; ; } 81

6 7 A altura de um triângulo tem m a mais que a base relativa a essa altura. Se é o valor da medida da base, escreva uma equação para epressar que a área do triân gulo é igual a m. altura e área m. base altura Como área, temos ( ) 8 Do valor de seu salário, Joaquim gasta a terça parte com alimentos, um quarto com transporte, um seto com água, luz e telefone e ainda lhe restam RS 10,00. Escreva uma equação que represente essa situa ção em relação ao salário do Joaquim. Sendo o salário de Joaquim, temos: gasto com alimentos gasto com transporte gasto com água, luz e telefone 6 Parte restante do salário RS 10,00 Logo, PÁGINA 1 Atividades para casa 9 Os dois pratos de uma balança foram equilibrados colocando-se bolas grandes e duas pequenas num prato e um peso com massa de gramas no outro, como representado abaio. a) Sabendo que cada bola grande tem massa igual ao dobro da massa da pequena, represente com uma equação a situação de equilíbrio da balança. massa da bola grande " m massa da bola pequena " m m m 1000 b) Qual é a massa de cada bola? 6m m 1000 V 8m 1000 V m 1 g 10 Represente as sentenças a seguir utilizando equações. a) O dobro de um número, menos seis, resulta em. 6 b) O quíntuplo da soma de um número com dez é igual a sessenta. ( 10) 60 c) A diferença entre o quadrado de um número e esse mesmo número é igual a quarenta e dois. d) O quadrado da soma de um número com sete é igual ao cubo da diferença entre esse número e onze. ( 7) ( 11) 11 Escreva a equação correspondente a cada uma das sentenças a seguir e determine as raízes das equações obtidas para responder às questões: a) Que número deve ser adicionado a vinte e três para obter trinta? 0 V 7 b) Que número inteiro elevado ao quadrado dá 100? 100 V 10 ou 10 c) A metade do triplo de um número é 1. Que número é esse? 1 V 8 d) Quais são os dois inteiros consecutivos cuja soma é igual a 1? ( 1) 1 V 1, logo 1 16 e) Que número elevado a 100 dá zero? V 0 f) Quais são os dois números ímpares consecutivos cuja soma dá? y, e y são ímpares consecutivos V V a 1 e y a (a Ñ N) V V (a 1) (a ) V a 10 Logo, 1 e y. g) Qual é o número inteiro cuja metade é igual ao quadrado de quatro? V h) A soma dos quadrados de 6 e 8 é igual ao quadrado de qual número? 6 8 V 100 V 10 1 Verifique se é raiz das equações seguintes. a) 1 para V 1 V 16 1 V " "F" b) 6 0 para V 6 0 V V 0 0 " "V" c) ( 1) 1 para V ( 1) 1 V 1 V V 1 1 " "F" d) ( 1) para V ( 1) V V 7 V " "V" Logo, é raiz das equações dos itens b) e d). 1 Determine o conjunto universo e o conjunto solução das seguintes sentenças abertas. a) t é um divisor natural de 6. U N, S {1; ; ; 6} b) z é um inteiro cujo módulo é. U Z, S { ; } c) k é um número natural, múltiplo de. U N, S {0; ; 10; 1; 0;...} ou S { Ñ N a com a Ñ N} 8

7 Resolução de atividades Capítulo 6 1 Copie e complete a tabela em seu caderno. Equação 1 o membro o membro (k 1 ) 1k 6(k 1 ) 1k s s é raiz?? 1 18 V V "F" V Não 6? ( 1 ) 1? V V 0 0 "V" V Sim V 16 0 "F" V Não 1 Considere a sentença A quarta parte da soma de um número inteiro com dois é igual à terça parte desse número. a) Qual das equações representa essa sentença? I) 1 III) 1 II) 1 A sentença correta é a III: 1. Note que I V 1 corresponde a: "A soma da quarta parte de um número inteiro com é igual à terça parte desse número". II V 1 corresponde a: "A soma da quarta parte de um número inteiro com é igual ao triplo desse número". b) Qual é o conjunto universo da equação? U Z " conjunto dos números inteiros c) 8 é raiz dessa equação? Se 8 V V 10 8 "F". Logo, 8 não é raiz dessa equação. 16 Escreva sentenças que representem as equações a seguir. a) A diferença entre 10 e o dobro de um número é igual à soma do triplo desse número com 1. b) 10 1 A diferença entre o dobro do quadrado de um número e 10 é igual à soma desse número com. c) ( 1) 68 O quádruplo da diferença entre o triplo de um número e a unidade é 68. d) A centésima potência de um número é igual a um. 17 Calcule mentalmente as raízes das equações abaio e indique quais delas têm o mesmo conjunto solução. a) 8 7 c) b) 1 9 d) 10 6 Têm o mesmo conjunto solução os itens: a) e d); S {} e b) e c); S {6}. 18 O dobro de um número é adicionado à sua terça parte. Dessa soma é retirada a metade do número inicial e verifica-se que o resultado é. Escreva uma equação que represente esse problema e verifique se 6 é raiz da equação que você 1 # Para # 6 V (1 1 ) V 1 V 11 " "F". Logo, 6 não é raiz da equação. Módulo : Equações do 1 o grau com uma incógnita Página 16 Boe Cálculo mental Em uma balança cujos pratos estão equilibrados e todos os cubos possuem a mesma massa, descubra a massa, em kg, de cada cubo. m 1 0, V, m m, ; 1, kg Página 18 Atividades para classe 1 Determine o conjunto solução das seguintes equações, sabendo que o conjunto universo delas é o conjunto dos números racionais. a) 7 7 V 1? 1? 7 V 7 Ñ Q V S 7 b) V 1 6? 6 1? 9 V V Ñ Q V V S c) V 1? () 1? 18 V V 18 Ñ Q V S 18 d) V?? 10 V 0 V V 1 Ñ Q V S 1 e) V 9 9 #? 18 V V 16 Ñ Q V S 16 8

8 f) V # V V Ñ Q V S g) V 7 # V V 1 Ñ Q V S 1 h) V V 0 Ñ Q V S {0} i) V V 0 Ñ Q V V S {0} j) V V 1 Ñ Q V V S 1 k) V # 1 V V 1 6 Ñ Q V S 1 6 l) V # V V Ñ Q V S Há quinze anos o pai de Flávia tinha anos. Se hoje a idade dela é a terça parte da idade dele, qual é a idade de Flávia? P 1 V P 7 anos F P V F 7 V F 19 anos Resolva em U Q as seguintes equações. a) 9 9 V 9 V V 1 V V 7 Ñ Q V S {7} b) V 6 7 V V 6 V ( ) V 6 6 V V 7 Ñ Q V S { 7} c) V V V V 1 ( ) 1 V V V 1 Ñ Q V S { 1} d) V V V 1 V V V V 7 Ñ Q V S 7 e) V V V 0 1 V 1 0 ( 0) 1 1 ( 1) V 0 0 V Ñ Q V S f) 1 1 V V 1 V 1 V 1 V 1 ( ) 1 1 ( 1) V V V Ñ Q V S {} g) V V 0 V V V 0 V Ñ Q V S {} h) V V V 1 ( ) 1 V V 1 Ñ Q V S { 1} i) 8 8 V 8 V 8 V V V 8 Ñ Q V S 8 j) V V 7 V V V 7 Ñ Q V S 7 k) V V 7 6 V ( 6) V 7 7 V 9 Ñ Q V V S { 9} l) V V 18 9 V V 9 18 V 1 Ñ Q V V S 1 8

9 Resolução de atividades Capítulo 6 Eliana foi a um determinado supermercado e comprou dúzias de laranja e dúzias de banana, gastando 1 reais. a) Determine o valor de.? 1? 1 V V 8 1 V V 1 8 V 1, b) Quantas laranjas e quantas bananas Elia na comprou? laranjas " dúzias ou 6 laranjas bananas " 1, dúzia ou 18 bananas Determine a medida de cada lado do retângulo ilustrado sabendo que o perímetro dele é igual a centímetros.? ( ) V V V V 1 V 1 7 e 1 1 Os lados do retângulo são 7 e 1. 6 Márcia está fazendo uma dieta e precisa emagrecer 8 kg para ficar com 7 kg. Qual é a massa de Márcia? Seja m a massa de Márcia V m 8 7 V m V m 80. A massa de Márcia é de 80 kg. 7 Numa prova de 6 testes, Paulo acertou o triplo do que errou. Quantos ele errou? Seja e a quantidade de testes que Paulo errou e a a quantidade de testes que ele acertou V V a 1 e 6 V a e V e 1 e 6 V e 6 V e 6 V e 9 Logo, Paulo errou 9 testes. 8 Renata é dois anos mais nova que Aline e, há dez anos, a soma da idade delas era igual a 6 anos. Quantos anos tem cada uma? Sejam: R Idade de Renata hoje e A idade de Aline hoje V Há 10 anos Renata tinha R 10 e Aline, A 10. Como Renata é anos mais nova que Aline, tem-se: R A. Tem-se (R 10) 1 (A 10) 6. Substituindo R A V (A 10) 1 (A 10) 6 V V A 1 1 A 10 6 V A 6 V V A 68 V A Logo, R V R, ou seja, Renata tem anos e Aline tem anos. que P 1 G 1000 e, por outro, que P G. Assim, G 1 G V G V G 1000 V V G 00 V P? 00 V P 800 Logo, são fabricadas diariamente 00 caias grandes e 800 caias pequenas. 10 Ana percorreu três quartos de uma trilha e faltam 00 m para ela chegar ao final. Quantos metros tem essa trilha? Seja t a distância total da trilha " t 1 00 t (mmc ) V t 1? 00? t V t t V V t 1600 V t 1600 Logo, a trilha tem 1600 m. 11 Haroldo e Bruno têm, juntos, RS 1 00,00. Se Haroldo tem RS 00,00 a mais que Bruno, quanto tem Haroldo? Sendo H a quantia de Haroldo e B o quanto Bruno tem, temos que H 1 B 1 00 e H B Substituindo H B 1 00 em H 1 B 1 00: B B 1 00 V B V B 900 V B 0 V H V H 70 Logo, Haroldo tem RS 70,00 1 A soma de dois números inteiros consecutivos é igual a 7. Quais são esses números? Seja n o número inteiro, logo o seu consecutivo é n 1 1. Assim, n 1 (n 1 1) 7 V n 7 1 V V n 6 V n 8 e, portanto, n Os dois números procurados são 8 e 9. 1 Numa prova de 0 testes, o número de acertos de Ana ecedeu em o número de erros. Quantos testes Ana acertou? Sejam e o número de erros de Ana e a o número de acertos V a 1 e 0 e a 1 e. Assim, 1 e 1 e 0 V e 6 V e 18 V V a 1 18 V a Logo, Ana acertou testes. 1 José, Raimundo e Pedro pescaram 0 peies, sendo que Raimundo pescou dois terços da quantidade pescada por José, e este pescou 8 peies a menos que Pedro. Quantos peies José pescou? 9 Uma fábrica produz diariamente caias, de tamanhos grande e pequeno, sendo que o número de caias pequenas é o quádruplo do número de caias grandes. Quantas caias de cada tipo são fabricadas por dia? Sendo P a quantidade de caias pequenas e G a quantidade de caias grandes, temos por um lado 8

10 J R P 0, em que J, R e P são as quantidades de peie que José, Raimundo e Pedro pescaram, respectivamente. R J J P 8 Substituindo J P 8 em R J, tem-se: R (P 8) V R P 16 Substituindo J P 8 e R P 16 em J R P 0, tem-se: (P P 16 # P 0 V (mmc ) V P P 16 P 10 V 8P 0 10 V 8P 10 0 V 8P 160 V P V P 0 Logo, J 0 8 V J 1 Portanto, José pescou 1 peies. PÁGINA 19 Atividades para casa 1 Determine o conjunto solução das seguintes equações em Q. a) ( 10) 1 ( 10) 1 V 0 1 V V 11 V V V 11 Ñ Q V S 11 b) ( ) ( 8) 90 ( ) ( 8) 90 V V 7 90 V 7 90 V V 7 86 V V 7 7 Ñ Q V V S 86 7 c) ( ) 6 (6 ) ( ) 6 (6 ) V V 6 V V 7 V ( ) V 7 Ñ Q V V S 7 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V V 1 1 ( ) V V V 11 Ñ Q V S { 11} e) ( 1) ( ) ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) 0 V V V 10 0 V 10 0 V V 10 V ( ) V V 10 Ñ Q V S Determine o conjunto solução das seguintes equações, no universo dos racionais. 1 a) V 1 1 V 1 V V 0 V V V V 1 Ñ Q V V S 1 b) V (mmc 6) V (9 ) ( 7) 6 6 V V V 1 6 V V V V 1 ( ) 1 ( ) V V Ñ Q V S {} c) 8 V (mmc ) V 6 ( 8 ) 8 ( ) ( ) V V 6 1 V V 9 Ñ Q V V S {9} d) V (mmc 1) V V ( 7) (9 ) ( ) 1 V V V 60 V 60 V V 7 V 1 ( ) 1 7 V V 7 Ñ Q V S 7 e) V (mmc ) V V ( ) ( ) 8( 10) 16 V V V V V V 18 7 V 1 18 ( 18) V 7 V Ñ Q V S { } Fernando comprou uma calça e uma camisa e gastou com isso RS 180,00. A calça custou o dobro do valor da camisa. Qual é o valor que Fernando pagou pela calça? Sejam preço da calça e y preço da camisa V y 180. Como y, temos y y 180 V V y 180 V V y 180 V y 60 Logo, V 10. Ou seja, Fernando pagou RS 10,00 pela calça. 86

11 18 Para comprar um presente para o professor, doze alunos fizeram algumas contas e viram que cada um deveria contribuir com 10 reais. Porém, quatro alunos desistiram de última hora. De quanto será a contribuição de cada um dos outros alunos, se eles quiserem comprar o mesmo presente? O presente custa 1 RS 10,00 RS 10,00 Como alunos desistiram, restam 8 alunos V V 10 : 8 1 V cada um dos 8 alunos deve contribuir com RS 1, Humberto tem um número de CD s de rock que supera em seis os de música popular, e estes são 8 a mais que os CD s de música sertaneja. Se o total de CD s de Humberto é, quantos são os de rock? Temos R P 6, P S 8 e R P S, em que R é a quantidade de CD's de rock, P de música popular e S a quantidade de CD's de música sertaneja. P S 8 V S P 8 Assim, P 6 P P 8 V P V R S V P V P 18 V R 18 6 V R V V Humberto tem CD's de rock. 0 A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 1. Determine quais são esses números. Seja o menor número inteiro. Seus consecutivos são: 1 e. Logo, ( 1) ( ) 1 V 1 V V 10 V 10 V 0 V 1 1 e. Portanto, os três números são: 0, 1 e. 1 Matheus tem 10 anos e Pedro tem anos. Daqui a quantos anos o dobro da idade de Matheus será o quádruplo da de Pedro? Hoje M 10 e P, em que M é a idade de Matheus e P a de Pedro. Note que, daqui a anos, Matheus terá (10 ) anos e Pedro ( ) anos; então (10 ) ( ) V 0 16 V 16 0 V V V. Logo, daqui a anos. Num certo terreiro, se subtrairmos da quantidade de patos a quantidade de galinhas, o resultado é 1. Se somarmos essas quantidades, o resultado é 6. Quantos patos e quantas galinhas há? P G 1, em que P quantidade de patos e G de galinhas Por outro lado, P G 6 V P 6 G. Substituindo-se P 6 G em P G 1 temos: 6 G G 1 V 6 G 1 V V G V G 16. Logo P 6 16 V P 0 Portanto, são 0 patos e 16 galinhas. A soma de dois números é igual a, e o maior ecede o menor em 1 unidades. Quais são esses números? Sejam e y esses dois números, tais que y V V y e y 1 Logo, y 1 y V y V y 1 V V 1 1 V Os dois números são e 1. De um barril cheio de água é retirada metade da água e, depois, um terço do restante, ficando ainda no barril 00 litros. Calcule a capacidade do barril. Seja C a capacidade do barril. 1 o ) C C C Destes, retira-se 1 V 1 C C 6 Já foram retirados C e C 6 V C C 6 C C 6 C 6 C C " Até agora retirou-se. Sobrou: C C C C C 00 V C 600 A capacidade do barril é 600 L. Marina recebeu seu primeiro salário no seu novo emprego. Dessa quantia ela gastou um terço com mantimentos para o mês e, do que restou, gastou um oitavo com roupas novas, sobrando ainda RS 0,00. Quanto Marina recebeu de salário? Seja S salário de Marina. Gastou com mantimentos 1 S. Sobrou S 1 S S 1S S Destes S, gastou 1 com roupas V 8 S 1 8 S 1 1 S Ao todo, gastou até agora 1 S 1 1 S S S 1 S V Sobrou S 1 1 S 1S S 1 Assim, 7 1 S 0 V S 1 7 V S 600 Logo, Marina recebeu RS 600, S 0 V S 1 0 V 6 Cristina queria comprar bonecas, todas iguais, para distribuir no dia das crianças. Cristina observou que, com o dinheiro que tinha, conseguiria comprar 80 bonecas. Porém, se o preço da boneca fosse RS 10,00 a menos, ela conseguiria comprar 10 bonecas. Calcule quanto custa cada boneca e quanto Cristina tem em dinheiro para a compra das bonecas. Se o preço é, ela compra 80 bonecas. Se o preço cai para ( 10), ela compra 10 bonecas. Logo, ( 10) V V V V V 0 e Portanto, cada boneca custa RS 0,00 e Cristina tem RS 00,

12 Resolução de atividades Capítulo 6 7 Numa prova de 0 testes, cada acerto vale pontos e cada erro vale 1 ponto. a) Se Vanessa acertou 0 testes, que nota ela tirou? 0 testes certos V 0 testes errados V 0? 1 1 0? (1) V sua nota foi 0. b) Se Felipe teve nota 70, quantos testes ele acertou? c? 1 e? (1) 70 em que c certo, e errado e e 0 c Logo, c 1 (0 c)? (1) 70 V c c 70 V c 10 V c 0 V Felipe acertou 0 testes. 8 Um lojista estava vendendo calças e camisas por um mesmo preço. Caio pediu um desconto, e o dono da loja diminuiu 10 reais no preço da camisa e 0 reais no preço da calça. Caio levou calças e camisas e o total da sua compra foi RS 0,00. Qual era o preço de uma calça, antes do desconto? Seja o preço de cada calça e de cada camisa. Com o desconto, o preço da camisa passou a ser 10 e o da calça, 0. Na compra: ( 0) 1 ( 10) 0 V V V 7 0 V 0. Antes do desconto a calça custava RS 0,00. Módulo : Inequações Página 11 Boe Cálculo mental Determine mentalmente as soluções das inequações: a) V 1?. 1? 1 V. S { Ñ Q. } b), 0 0 V 1? 1? 0 V 6 S { Ñ Q 6} c) V V. V V. 1 S { Ñ Q. 1} d), 7 Página 1 7 V 1 7 V V. V. 1 S { Ñ Q. 1} Atividades para classe 1 O conjunto universo da inequação. 6 é U {; ; ; 0; 1; ; }. Qual é o conjunto solução dessa inequação?. 6 V. 6 V. V V 1? () 1? V V os números que satisfazem essa inequação e que pertencem ao conjunto universo são: ; e V S {; ; } Responda em cada caso se o número dado faz parte do conjunto solução da inequação dada, sendo U Q. a) 1. 8 ( ) 1. 8 V 1. 8 V. V V 1?. 1? V. V S { Ñ Q. } Como Ñ Q e., então Ñ S. ou 1. 8, para V 1?. 8 V V "V" Como Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então Ñ S. b), 1 ( 0) 1 V V V 16 V 1? 1? 16 V 16 V V 1 V S Ñ Q 1 Como 0 Ñ Q e 0 1, então 0 Ñ S. ou 1, para 0 V? 0 1 V V 0 1 V 1 "V". Como 0 Ñ Q e 0 torna a desigualdade verdadeira, então 0 Ñ S. c)? ( 1), 9 ( ) ( 1) 9 V 8 9 V V 8 1 V 1 8? 8 1? 1 V V V 1 8 V S Ñ Q 1 8 Como Ñ Q, porém. 1, então É S. 8 ou? ( 1) 9, para V? (? 1) 9 V V? (6 1) 9 V? 9 V 0 9 "F". Como Ñ Q, porém faz com que a desigualdade seja falsa, então É S. d)? (1 ). 10 ( )? (1 ). 10 V. 10 V V. 10 V. V V 1? (), 1? V, 1 V V S { Ñ Q, 1} Como Ñ Q e, 1, então Ñ S. ou? (1 ). 10, para V (1 ()). 10 V V (1 1 ). 10 V? (). 10 V "V". Como Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então Ñ S. 88

13 e) 8 1 ( ) 8 > 1 V 8 8 > 1 8 V V > 0 V 1 > 1 ( 0) V > V V S { Ñ Q > } Como Ñ Q e., então Ñ S. ou 8 > 1, para V 8 > 1 V V 0 8 > 1 V 8 > 1 "V". Como Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então Ñ S. f) ( ) 1 ( ) ( ) < 1 V 6 9 < 1 V V < 1 6 V 9 < 9 V V 1 9 ( 9) > V > 1 V V S { Ñ Q > 1} Como Ñ Q, porém, 1, então É S. ou ( ) < 1, se V ( ( )) < 1 V V ( 1) < 1 V (17) < 1 V 1 < 1 "F". Como Ñ Q porém torna a desigualdade falsa, então É S. O número 7 pertence ao conjunto solução de quais inequações abaio? Se U Q. a). V 1. 1 V. V. 7 1 V V S Ñ Q 7 1 Como 7 Ñ Q, porém 7, 7 1, então 7 É S. ou., para 7 V 7. V 1. "F". Como 7 Ñ Q torna a desigualdade falsa, então 7 É S. b) 0 < 0 V 1 < V < V < 1 V V < 7 1 V S Ñ Q < 7 1 Como 7 Ñ Q e 7 7 1, então 7 Ñ S. ou < 0, para 7 V 7 < 0 V 8 < 0 "V". Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S. c) V V V. 0 V V. 6 V S { Ñ Q. 6} Como 7 Ñ Q e 7. 6, então 7 Ñ S. ou 10. 0, para 7 V V V V. 0 "V". Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S. d) 1 8 1, 8 V 1 1, 8 1 V, V V 1 ( ). 1 ( ) V. V V S { Ñ Q. } Como 7 Ñ Q e 7., então 7 Ñ S. ou 1, 8, para 7 V 1 7, 8 V, 8 "V". Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S. O número pertence ao conjunto solução de 6 ( ) (8 ) ( 1)? Para V 6 ( ) (8 ). ( 1) V 6. 8 V V V 8. 1 "F" Logo, não é solução da inequação. Resolva as seguintes inequações, em U Q. a) V V. 7 V V S { Ñ Q. 7} b) > 9 V 1 1 > 9 1 V > V V 1 ( ) < 1 ( ) V < V V S { Ñ Q < } c) 0 0. V 0. V. V V S { Ñ Q. } d) 1 1 < V 1 < V 7 < V V > 7 V S { Ñ Q > 7} e) 1 1 > V 1 1 > 1 V V > 1 V 1 ( ) < 1 ( 1) V V < 1 V S Ñ Q < 1 f) 1, 1 V, 1 V V, 19 V 1 ( ) V. 19 V V S { Ñ Q. 19} 6 Resolva as seguintes inequações, em U Q. a) V. V S { Ñ Q. } 1 1 V. V b) 0, 0 V 1 ( ). 1 0 V. V V S { Ñ Q. } 89

14 c) V V. 1 V V S { Ñ Q. 1} d) 0, 0 V 1 ( ). 1 ( 0) V. 10 V V S { Ñ Q. 10} e) 6 6 > V < 6 V 1 ( ) > 1 6 V V > 1 V S Ñ Q > 1 7 Determine o conjunto solução das seguintes inequações, sendo U Z, depois verifique se há algum número inteiro que é solução das quatro inequações. a), V, V, 1 V V 1, 1 1 V, 1 Logo, S Ñ Z, 1 {... ; ; 1; 0} b) , 18 V 6 1 1, 18 1 V V 6, 0 V 1 6 6, V, Logo, S { Ñ Z, } {... ; ; 1; 0; 1; ; ; } c) > 9 V 9 9 > 9 9 V V > 0 V 1 > 1 0 V > 0 V > 0 Logo, S { Ñ Z > 0} N {0; 1; ; ;...} d) V V V. V 1 ( ), 1 ( ) V V, V, 11 1 S Ñ Z, 11 1 {... ; ; 1; 0; 1; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9; 10; 11} Há um único número inteiro que pertence aos quatro conjuntos soluções: é o 0 (zero). 8 Determine o menor número inteiro que satisfaz a inequação ( ) 1. ( ), 1 V, 1 V V, 1 V, 1 V, V 1 V. ( ). 1 ( ) V. Ñ Z {1; ; ; ; ;...} o menor deles é o 1. 9 Determine o menor número natural que satisfaz a inequação V V 6. 1 V ( 1) V V. Ñ N {0; 1; ; ;...}; o menor deles é o 0 (zero). 10 Resolva em Q as inequações a seguir. a) ( ) 1 ( ), 1 V 1, 1 V V 1 1, 1 1 V, V V 1, 1 ( ) V, V V S Ñ Q, b) 7 ( ) ( ) 7 ( ), ( ) V 7 1, 1 V 7 1 1, 1 1 V 7, 9 V, 9 V V 1, 1 9 V, 9 V V S Ñ Q, 9 c) 9 ( 6) ( ) (10 ) 9 ( 6) ( ), (10 ) V 9 10, 0 V 7 6, 0 V V 7 6 6, 0 6 V V 10, V , 1 10 ( ) V V, 10 V, 17 V S Ñ Q, 17 d) ( 1) ( ) 9 ( 1) ( ) > 9 V 8 > 9 V > 9 V > 9 V 6 > V > 1 6 V V. 6 V > V S Ñ Q > e) ( 1) ( ) 6 ( 1) ( 1) ( ) < 6( 1) V 8 < 6 6 V 9 1 < 6 6 V V < V < 7 V V 1 < 1 7 V < 7 V S Ñ Q < 7 f) ( ) 1 ( ). 1 V V V V V V. V 1. 1 V. V V S Ñ Q. g) 1 ( ) ( 8) 11 1 ( ) 11 ( 8). V V 1 #. 11 V V V. 11 V V. 11 V. 1 V V V. V V S Ñ Q. 1 90

15 Resolução de atividades Capítulo 6 11 As medidas dos lados de um retângulo, em centímetros, são epressas por ( 1 ) e ( 1). a) Escreva em seu caderno a epressão que representa o perímetro desse retângulo. O perímetro desse retângulo é p? ( 1 ) 1 1? ( 1). b) Calcule qual deve ser o menor valor de para que o perímetro do retângulo seja no mínimo cm. Como p > V? ( 1 ) 1? ( 1) > V V > V 6 1 > V V 6 1 > V 6 > 0 V V 1? 6 > 1 6? 0 V > V > Logo, o menor valor possível para é. 1 O carro de Pedro faz 9 quilômetros com um litro de álcool. Com quantos litros, no mínimo, Pedro deverá abastecer seu carro para realizar uma viagem de 00 quilômetros? Se o carro faz 9 quilômetros com 1L de álcool, com litros ele faz 9? quilômetros. Então, tem-se: V. 00 V V.,... L Portanto, para rodar 00 km ele gastará cerca de, L. 1 Um taista cobra uma taa fia de RS,00, chamada de bandeirada, mais RS 1,0 a cada quilômetro rodado. Qual é o menor número inteiro de quilômetros que o taista deverá percorrer para receber, no mínimo, um valor igual a RS 0,00 numa corrida? 1 1,? > 0 V 1 1, > 0 V V 1, > 7 V 1 1,? 1, > 1? 7 V > 7 1, 1, V V > 1,... Como > 1,... e Ñ Z, o menor possível é ; ou seja, o taista deverá percorrer km. 1 Felícia quer arrumar um emprego tal que, com o salário que receber, possa gastar 1 com alimentação, com aluguel e 00 reais com roupas e lazer, de modo a sobrar, no mínimo, 9 reais. Para tudo isso, quanto deve ser, no mínimo, o salário de Felícia? Seja S o salário V gasto com alimentação 1 S; gasto com aluguel S Assim, 1 S 1 S < S V (mmc 0) V V S 1 8S < 0S V V 1S < 0S V 1S 0S < 0S 0S V V 7S < 1980 V 1? (7S) > 1 7? (1980) V 7 V S > 18, 9 O salário deve ser, no mínimo, de RS 1 8,9. Página 1 Atividades para casa 1 Copie a tabela abaio e preencha-a em seu caderno. Inequação 1 o membro o membro t >? (1 9t) t? (1 9t) y 1? ( y) < 0 y 1? ( y) 0 16 Resolva as seguintes inequações, no conjunto universo dos racionais. a) V V. 96 V 1?. 1? 96 V. 96 V V. 8 V S { Ñ Q. 8} b) 1 8, 9 1 8, 9 V 1 1 8, 9 1 V V 8, 7 V 1? (8). 1 8? 7 V V V S Ñ Q. 7 8 c)? ( 1 18), 6 ( 1 18), 6 V 1 1, 6 V V 1 1, 6 V 1, 8 V V 1? 1, 1 1 1? (8) V, 8 1 V V S Ñ Q, 8 1 d) V V V V 1 8? 8. 1? (16) V. V 8 V S { Ñ Q. } e) , , 6 V , 6 10 V 9, 16 V 1 9? 9, 1? (16) V, V V, 1 V S { Ñ Q, 1} f) 6. 1? ( 0) 6. 1( 0) V V V V V 6. 6 V 1 1? (6), 6? (6) V 6 V, 6 V, V S Ñ Q,

16 17 Resolva, sendo U N, as seguintes inequações. a). V (mmc 1) V V V V 1. 1 V V V. 1 1 V V S Ñ N. 1 1 {1; ; ; ;...} b) < 1 V 8 8 < 8 1 V V < 7 V 1 ( ) > 1 ( 7) V > 7 V V S { Ñ N > 7} {7; 8; 9; 10;...} c) > 11 V > V V > 8 V S { Ñ N > 8} N d), V, V, 1 V 1 ( ). 1 1 V V. 1 V S Ñ N. 1 N 18 Determine o maior número inteiro que satisfaz a inequação ( ) 1( 1) 0. ( ) 1( 1), 0 V 1 1 1, 0 V 1, 0 V 1, 0 V 1, V 1 1 1, 1 1 V V, 1 V, 18 V, Como, e Ñ Z, o maior valor inteiro que pode assumir é. 19 Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as inequações e 7? < V < V < 6 V V 1 < 1 6 V < V S 1 { Ñ Z < }; isto é, S 1 {... ; ; 1; 0; 1; } < 7 V < 7 V V < V 1 ( ) > 1 V > 1 V V S { Ñ Z > 1} V S { 1; 0; 1; ; ; ; ;...} Comparando S 1 e S, os elementos comuns são { 1; 0; 1; }, ou seja, números inteiros satisfazem simultaneamente as inequações. 0 Duas fábricas de bonecas A e B produzem respectivamente e 800 bonecas por mês. A partir de um certo mês, a fábrica A vai aumentar sucessivamente a produção em 80 bonecas por mês e a fábrica B vai aumentar sucessivamente a produção em 100 bonecas por mês. Em quantos meses a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A? Seja a quantidade de meses procurada V V V V V Logo, serão necessários 10 meses. 1 Para obter lucro, uma fábrica deve produzir peças por dia, de modo que seja satisfeita a desigualdade Quantas peças a fábrica deverá produzir diariamente para ter lucro? 100 > 16 V > V 6 > 16 V V > 1 16 V > 7 6 A fábrica deverá produzir, no mínimo, 7 peças. No dia primeiro de janeiro, Pedro e Beto têm guardado em seus cofrinhos 00 e 700 reais, respectivamente. Se, a partir do dia primeiro de cada mês subsequente, Pedro depositar 0 reais em seu cofrinho e Beto retirar 0 reais de seu cofrinho, em quantos meses o total acumulado por Pedro ultrapassará o montante de Beto? Seja a quantidade de meses procurada V V V V V. Logo, a quantia acumulada por Pedro será maior que o montante de Beto daqui a meses. A empresa de telefonia A cobra, por mês, uma assinatura de RS,00 mais RS 0,0 por minuto utilizado. A empresa de telefonia B cobra, por mês, uma assinatura de RS 0,00 mais RS 0,0 por minuto utilizado. A partir de quantos minutos de utilização o plano da empresa A passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o plano da empresa B, ou seja, a partir de quantos minutos o cliente pagará um valor menor no plano A do que o valor no plano B? Temos: empresa A " 0,0 empresa B " 0 0,0, em que é a quantidade de minutos procurada V V 0,0, 0 0,0 V 0,0 0,0, 0 0,0 0,0 V V 0,10, 1 V 1 0,10 ( 0,10). 1 0,10 ( 1) V V. 1 0,10 V. 10 Logo, a empresa A passa a ser mais vantajosa a partir de 10 min. Na escola de Artur, a média final para aprovação em matemática é. Se a média final é a média aritmética dos bimestres, e Artur tirou notas, e 6 nos três primeiros bimestres, quais notas ele deverá tirar no último bimestre para ser aprovado? Seja a nota do último bimestre V V Média 6 V 1 > V 9

17 V (mmc ) V 1 > 0 V 1 1 > 0 1 V V > 7. Artur deverá tirar, no mínimo, nota 7; isto é, 7 < < 10. O pagamento do salário de Osvaldo no último mês de abril veio com um abono de um terço do salário. Calcule entre quais valores está o salário original de Osvaldo, sabendo que a quantia que ele recebeu foi maior que RS 000,00 e menor que RS 000, , 1, 000 V (mmc ) V V 1000, 1000 V 1000,, 1000 V V , 1, V V 6 000,, 7 00 Logo, o salário original é superior a RS 6000,00, porém inferior a RS 700,00. 6 Carlos vai comprar um terreno retangular para construir sua casa. Se ele quer um terreno de no mínimo 0 m com uma frente de 1 m de comprimento, a partir de qual largura ele pode comprar o terreno? comprimento largura área V c l A V V como o terreno deverá ter, no mínimo, 0 m, 1 l > 0 V l > 1 0 V l > 1 O terreno deverá ter, no mínimo, m de largura. Módulo : Sistema de duas equações do 1 o grau com duas incógnitas PÁGINA 1 Boe Desafio Em uma balança cujos pratos estão equilibrados, calcule a massa, em kg, de cada cubo e de cada bola. c massa do cubo. b massa da bola. c b 10 c b 1 V c b 1 (I) c b 1 (II) 1 b de (I): c b 1 V c 1 b V c (1 b) em (II): c b 1 V b 1 V V 9 9b 16b 60 V 7b 1 V b kg 1 b Substituindo em (I): c V c 1 9 V V c 1 kg 10 1 PÁGINA 17 Boe Cálculo mental Determine mentalmente os valores de e de y que são soluções dos sistemas abaio. a) y 1 y 11 y 1 " 1 y 11 y b) y 8 y y 8 y " y c) y 6 y 1 y 6 y 1 ", y 10, PÁGINA 18 Atividades para classe 1 Represente em seu caderno cada uma das seguintes situações por uma equação. a) A soma de um número com um número y é igual a. y b) A diferença entre o preço y de uma caneta e o preço z de um caderno é igual a dois reais. y z c) Antonio tem DVDs e Paula, y DVDs. A soma da quantidade de DVDs de Paula com o triplo da de Antonio é igual a 1. y 1 Dentre as equações dadas abaio, identifique aquelas que são do 1 o grau com duas incógnitas. a) y z Do o grau, com incógnitas. b) 1 0 Do o grau, com 1 incógnita. c) y Do 1 o grau, com incógnitas. d) y 1 0 Do 1 o grau, com incógnitas. Verifique quais dos pares ordenados abaio é solução da equação y 1. a) (; ) (; ) V e y V 1 V V 17 1 "F" Logo, (; ) não é solução dessa equação. b) (1; ) (1; ) V 1 e y V 1 ( ) 1 V V 1 V 1 1 "V" Logo, (1; ) é solução dessa equação. c) (1; 0) (1; 0) V 1 e y 0 V V V 1 "F" Logo, (1; 0) não é solução dessa equação. 9

18 d) (; 1) (; 1) V e y 1 V ( 1) 1 V V V 1 1 "F" Logo, (; 1) não é solução dessa equação. e) (0; 1) (0; 1) V 0 e y 1 V V V 1 1 "V" Logo, (0; 1) é solução dessa equação. f) (; 0) (; 0) V e y 0 V 0 1 V V 9 1 "F" Logo, (; 0) não é solução dessa equação. Determine em seu caderno o valor de para que o par ordenado (; ) seja solução da equação y. (; ) é solução V y = e y V V V 0 V 1 Verifique se o par ordenado (; ) é solução dos sistemas de equações a seguir. y 10 a) y (; ) não é solução, pois 10 b) y 6 y 1 (; ) não é solução, pois 6 1 c) y 7 y (; ) não é solução, pois 7 y 1 d) y 0 (; ) é solução, pois 1 0 y 6 e) y 11 (; ) não é solução, pois 6 11 f) y y 10 (; ) não é solução, pois 10 6 Determine em seu caderno dois números naturais cuja soma é igual a 10 e cuja diferença é igual a 6. Sejam e y esses números V y 10 y 6 18 V 6 Substituindo 6 na 1 a equação, temos: 6 y 10 V y 8 7 Em um estacionamento há automóveis e motos, de modo que no total há 10 veículos e rodas. Quantos automóveis e quantas motos há nesse estacionamento? A M 10, em que A é a quantidade de automóveis e M a quantidade de motos. Cada automóvel tem rodas e cada moto tem duas rodas V A M. A M 10 V A 10 M Assim, temos A M Substituindo A 10 M na a equação, temos: (10 M) M V 0 M M V V M 6 V M Substituindo M em A 10 M, temos: A 10 V A 7 Logo, são 7 automóveis e motos. 8 Na banca de João, abacates e peras custam RS 7,00. João diz que abacates e 1 pera também custam RS 7,00. Quanto custa um abacate? E uma pera? Sejam: a a quantidade de abacates e p a de peras V a p 7 V a 1p 7 V p 7 a Substituindo p 7 a na 1 a equação: a (7 a) 7 V a 1 9a 7 V V 7a 1 V a Cada abacate custa RS,00. Substituindo a em p 7 a V p 7 V V p 1 Cada pera custa RS 1,00. 9 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da substituição. a) y 10 y 1 y 10 y 1 V y 1 Substituindo y 1 na 1 a equação: (1 ) 10 V V Substituindo em y 1 : y 1 V y 8 S {(; 8)} b) y y 0 y y 0 Substituindo a 1 a equação na a equação: (y) y 0 V 6y y 0 V V y 0 V y Substituindo y na 1 a equação: ( ) V 8 S {( 8; )} y 1 c) y y 1 y V y Substituindo y na 1 a equação: ( ) 1 V V V 7 7 V 1 Substituindo 1 em y : y ( 1) V y 1 S {( 1; 1)} 9

19 d) y y 11 y V y y 11 Substituindo y na a equação: ( y) y 11 V 1 6y y 11 V V y V y Substituindo y em y: V 1 S {(1; )} 10 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da comparação. y 17 a) y 1 y 17 V y 17 y 1 V y 1 V V Comparando as duas equações V V 17 1 V V Substituindo na 1 a equação: y 17 V y 17 1 V y S {(; )} y b) y 6 y V y V y 6 V y 6 V Comparando as duas equações V V 6 V 8 V Substituindo em y 6 : y 6 V y S {( ; )} y c) y 17 y V y y 17 V 17 y V V Comparando as duas equações V V 17 V Substituindo em 17 y: 17 y V y S {(; )} y 11 d) y 1 y 11 V y 11 1 y 1 V y V V Comparando as duas equações V 1 V 11 V (mmc ) V V 1 1 V 10 0 V Substituindo em y 11 : y 11 V y S {(; )} e) y 0 y 1 y 0 V y y 1 V 1 y V V Comparando as duas equações V V y 1 y V (mmc ) V 6y 1 y V V y 1 V y 1 Substituindo y 1 em y: ( 1) V S {(; 1)} y 1 f) y 11 1 y y 1 V V 11 y y 11 V V Comparando as duas equações V 1 y V 11 y V (mmc 1) V V ( 1 y) (11 y) V V y 6y V 19y 8 V y 11 y Substituindo y em : 11 ( ) V 11 V 1 V V S {(; )} 11 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da adição. y 10 a) y 17 y 10 y V 7 9 V Substituindo na 1 a equação: y 10 V y 10 1 V y V S {(; )} 7 y 1 b) y 1 7 y 1 y 1 1 V 1 V Substituindo na a equação: y 1 V y 1 10 V y V y 1 V V S {(; 1)} y 0 c) y 18 y 0 ( ) y 18 9 y 60 V y V 78 1 V V 6 Substituindo 6 na 1 a equação V 6 y 0 V y 0 18 V y V S {(6; )} y 11 d) 8 y 1 y 11 ( ) 8 y 1 8 y V 8 y 1 7y 1 V y Substituindo y na a equação: 8 1 V V 8 16 V V V S {( ; )} 9

20 Resolução de atividades Capítulo 6 y e) 1 y 1 y (? ) 1 y 1 (? ) V 9 6y y V Substituindo na 1 a equação:? y V y 1 V y 10 V y V V S {(; )} 1 y 7 f) 1 y 1 y 7 1 y (? ) V 1 y 7 6y 6 1 y 1 V y 1 Substituindo y 1 na 1 a equação: 1? (1) 7 V 7 V 1 V V V S {(; 1)} 1 Em uma sala de aula há 0 estudantes. Se dobrar a quantidade de meninos e subtrair dessa quantidade 11, o resultado será igual à quantidade de meninas. Quantos meninos e quantas meninas há nessa sala de aula? Sejam a e o as quantidades de meninas e meninos, respectivamente. Assim, a 1 o 0? o 11 a V a o 11 Substituindo a o 11 na 1 a equação: o o 0 V o V o 1 V o 17 Substituindo o 17 em a o 11 V V a? V a 11 V a. São meninas e 17 meninos. Página 19 Atividades para casa 1 Verifique se o par ordenado (; 1) é solução do sistema 1 y 0 y 1 y 0 y Substituindo e y 1 na primeira equação:? () Logo, (; 1) não é solução do sistema. 1 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da substituição. y 6 a) 1 y 9 y 6 1 y 9 V 9 y Substituindo 9 y na 1 a equação: (9 y) y 6 V 6 y y 6 V V 7y V y 6 Substituindo y 6 em 9 y: 9 6 V V S {(; 6)} 1 y 8 b) 1 y 1 y 8 V y 8 1 y Substituindo y 8 na a equação: 1 1 (8 ) V V V 6 V 7 Substituindo 7 em y 8 : y 8? 7 V y 8 V y V V S {(7; )} c) 1 y 6 y 11 1 y 6 V 6 y y 11 Substituindo 6 y na a equação: (6 y) y 11 V 18 6y y 11 V V 7y 7 V y 1 Substituindo y 1 em 6 y V 6? 1 V V V S {(; 1)} 1 y d) 1 y 1 1 y 1 y 1 V y 1 Substituindo y 1 na 1 a equação: 1 (1 ) V 10 V V 7 7 V 1 Substituindo 1 em y 1 : : y 1? (1) V y 1 1 V y S {(1; )} y 1 e) 1 y 1 y 1 V 1 y 1 y 1 Substituindo y 1 na a equação: 1 ( 1) 1 V V V 7 V 6 Substituindo 6 em y 1 V y? 6 1 V V y S {(6; )} f) 1 y 7 1 y 16 1 y 7 V 7 y 1 y 16 Substituindo 7 y na a equação: (7 y) 1 1 y 16 V 1 y 1 y 16 V y 16 1 V V y Substituindo y em 7 y: 7 V S {(; )} 1 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da comparação. a) 1 y 1 y 0 1 y 1 V 1 y V y 0 V 0 1 y 96

21 Resolução de atividades Capítulo 6 V Comparando as duas equações: V 0 1 y 1 y V y 9 V y 16 Substituindo y 16 em 0 1 y: V 166 V S {(166; 16)} 1 y 7 b) 1 y 0 1 y 7 V 7 y V 0 y 1 y 0 V V Comparando as duas equações: V 7 y 0 y V (mmc ) V 11 1y 0 y V 1y 0 11 V 1y 91 V V y 7 Substituindo y 7 em 7 y: 7? 7 V 7 V 1 V V S {(1; 7)} 1 y 1 c) 1 y 9 1 y 1 V y 1 1 y 9 V y 9 V V Comparando as duas equações: V 1 9 V (mmc 6) V (1 ) (9 ) V V 7 1 V V 1 Substituindo em y : y 1 () V y V y 1 V y 7 V V S {(; 7)} 6 1 y 8 d) 1 y y 8 V 8 y 6 V 1 y 1 V 1 y V Comparando as duas equações 8 y 1 y V (mmc 6) V 6 V 8 y 6 6y V y Substituindo y em 1 y: 1 () V V S {(; )} 1 y 19 e) 1 y 7 1 y 19 V 19 y V 1 y 7 V 7 y V Comparando as duas equações: V 19 y 7 y V (mmc ) V V 19 y 1 6y V y V y 1 Substituindo y 1 em 7 y: 7? 1 V V S {(; 1)} 1 y f) 1 y 1 y V y 1 y V y V V Comparando as duas equações: V V (mmc ) V V 6 8 V 7 V 6 Substituindo 6 em y : y? 6 V y 1 V S {(6; 1)} 16 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da adição. 1 y 16 a) y 1 1 y 16 y V Substituindo na 1 a equação:? 1 y 16 V y 10 V y V S {(; )} y 1 b) 1 y 77 y 1 1 y V 10 Substituindo 10 na a equação:? 10 1 y 77 V y 7 V y 9 V S {(10; 9)} 1 y 67 c) y 7 1 y 67 (? ) y 7 (? ) V 9 1 6y y V 11 Substituindo 1 na 1 a equação:? 11 1 y 67 V V y V y 17 V S {(11; 17)} 6 1 y 18 d) y y 18 (? ) y 1 (? ) V 1 1 6y 6 1 6y V 7 Substituindo 7 na a equação:? 7 y 1 V y 16 V y 8 V S {(7; 8)} 1 7y e) 1 y 8 1 7y (? ) 1 y 8 (? 7) V 9 1y y V 10 Substituindo 10 na 1 a equação:? y V 7y 8 V y V S {(10; )} 1 9y 7 f) 1 7y 6 1 9y 7 (? ) 1 7y 6 (?) V 10 1 y V 10 1y y 9 V y Substituindo y na 1 a equação: 1 9? () 7 V V V 17 V V S {(17; )} 97

22 Resolução de atividades Capítulo 6 17 Determine em seu caderno os valores de e y nos retângulos a seguir. a) y y 17 1 y 17 (? ) 9 1 y 1 V y y 1 b) 11 V Substituindo na 1 a equação:? 1 y 17 V y 17 1 V y V S {(; )} 6 y 1 6 y y y Substituindo a a equação na 1 a : y 1 6 y V y V y Substituindo y na a equação: V V S {(; )} 18 Em uma prova composta de 0 testes, ca da teste respondido corretamente recebe pontos e cada teste respondido incorretamente recebe pontos. Um estudante fez essa prova e obteve 110 pontos. Calcule quantos testes esse estudante respondeu corretamente. c 1 e 0 em que c resposta certa e e resposta errada c 1 e 0 V e 0 c V? c 1 ()? e 110 V c e 110 Substituindo e 0 c em c e 110 V V c (0 c) 110 V c c 110 V V 7c 10 V c 0 Logo, ele respondeu corretamente 0 testes. 19 Mariana vendeu sua coleção de 9 revistas. Algumas foram vendidas por RS 1,00 e outras por RS 8,00. No total, ela arrecadou a quantia de RS 896,00. Quantas revistas de RS 1,00 Mariana conseguiu vender? Seja a quantidade de revistas que Mariana vendeu por RS 1,00 cada e y a que ela vendeu por RS 8,00 cada. Assim, 1 y 9 V y 9 1? 1 8? y 896 Substituindo y 9 na a equação: 1 1 8(9 ) 896 V V V 160 V 0 Ela vendeu 0 revistas por RS 1,00 cada. 0 Em um quintal há coelhos e galinhas, num total de 77 animais e 06 patas. Quantos são os coelhos e quantas são as galinhas? c quantidade de coelhos ( patas cada) g quantidade de galinhas ( patas cada) c 1 g 77 V c 77 g c 1 g 06 Substituindo c 77 g na a equação: (77 g) 1 1g 06 V 08 g 1 g 06 V V g 10 V g 1 Substituindo g 1 em c 77 g: c 77 1 V V c 6 São 1 galinhas e 6 coelhos. 1 Determine a idade de duas pessoas, sabendo que há 10 anos a idade de uma delas era equivalente a vezes a idade da outra, e dentro de 0 anos a idade da primeira será apenas o dobro da idade da segunda. Sejam e y as idades, hoje V 10 (y 10) V 1 0 (y 1 0) V 10 y y 1 0 V y 0 (?1) 1 y 0 V V y 0 y 0 1 y 0 V y Substituindo y em y 0:? 0 V V V 70 As idades são anos e 70 anos. A largura de um retângulo, cujo perímetro é igual a 6 m, corresponde a do comprimento. Determine em seu caderno as dimensões desse retângulo. Sendo c comprimento e l largura V 1 l 6 V c l c Substituindo a a equação na 1 a : c 1? c 6 V c 1 c 6 V (mmc ) V 10c 1 c 80 V V 1c 80 V c 0 Substituindo c 0 em l? c: l? 0 V l 8 Logo, o retângulo tem 0 m de comprimento e 8 m de largura. A diferença entre as dimensões de um retângulo é igual a cm. Aumentando cm cada lado desse retângulo, o perímetro fica valendo cm. Qual é a medida dos lados desse retângulo? Sendo c comprimento e l largura V V c l (c 1 ) 1 (l 1 ) Da 1 a equação: c 1 l Substituindo c 1 l na a equação: ( 1 l 1 ) 1 1(l 1 ) V ( 1 l) 1 (l 1 ) V V 8 1 l 1 l 1 V l 1 V l 1 V V l Substituindo l em c 1 l: c 1 V c Logo, o retângulo tem cm de comprimento e cm de largura. 98

23 Resolução de atividades Capítulo 6 A soma dos dois algarismos de um número é 8. Adicionando 18 unidades a esse número, o resultado é formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa. Determine o número. Sejam a o 1 o algarismo do número, e b o o. a 1 b 8 (I) 10a 1 b b 1 a (II) V a 1 b 8 9a 9b 18 V a 1 b 8 a b 1 Substituindo em (I) V 1 b 8 V b O número é. a 6 V a Um comercian te verifi cou que, se vendesse caias de bombons por dia durante dias, o estoque duraria dias a mais do que se vendesse 0 caias por dia durante y dias. Determine quantas caias de bombons esse comerciante tinha no estoque para vender. 1 y 0y Substituindo a 1 a equação na a : ( 1 y) 0y V 0 1 y 0y V y 0 V y 10 V V 0y 0? caias. Resolução de problemas O cercado para os bois de Humberto Humberto deseja cercar uma parte de sua fazenda com arame para que seus bois não fujam. Para isso, ele reservou um terreno grande, de forma triangular, com dois lados iguais e um diferente. O vendedor da cerca disse a Humberto que precisa saber quanto mede cada lado do terreno que será cercado para poder calcular o valor do arame a ser vendido. Mas Humberto criou um desafio matemático para o vendedor e resolveu passar as medidas, em metros, utilizando uma incógnita: 1 0; 1 76 e Será que o vendedor conseguirá calcular quais são as medidas dos lados desse terreno em forma de triângulo isósceles? Página 10 Caracterização do problema É possível imaginar a situação descrita acima? Humberto criou um problema com solução possível para o vendedor resolver? Para responder a essas perguntas, é necessário compreender que situações como a descrita acima podem apresentar mais de uma solução. Para resolvê-la, é necessário representá-la a partir dos dados fornecidos no enunciado. Página 10 Representando a situação Deve-se, para resolver esse problema, começar desenhando os possíveis triângulos isósceles com as medidas que Humberto disse. a) Humberto definiu quais são os lados congruentes? Não, Humberto não definiu quais são os lados congruentes. 99