Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve revisão dos conteúdos no ensino fundamental.

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1 INTRODUÇÃO Esse trabalho abordará alguns conceitos importantes sobre a Matemática no Ensino Fundamental. Além desse material, indicamos que você leia livros, acesse sites relacionados à Matemática para concretizar o seu conhecimento. O aperfeiçoamento de seus estudos fará com que um dia nunca digas como o famoso Charles Darwin Lamento profundamente não ter aprofundado suficientemente este gênero de estudos, a menos de modo a compreender os grandes princípios da matemática, porque os homens dotados desta compreensão parecem possuir um sentido suplementar. Então, aperfeiçoe seus estudos para que possa ter um sentido suplementar. Use o lápis para acrescentar algum comentário, para sublinhar as palavras mais importantes, para expor a tua indignação ou admiração,... Se já conseguistes chegar até aqui, não pares, pois estarás preparado para enfrentar os obstáculos que lhe vão surgindo pela vida. Disponível em: < Acesso em: 18 out (Adaptado) Desejamos Sucesso... OBJETIVO Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve revisão dos conteúdos no ensino fundamental. Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. Irene de Albuquerque 1

2 NÚMEROS NATURAIS Operações básicas. Resolver seguindo a ordem: Potenciação. Multiplicação e divisão. Adição e subtração. Obs: Em uma expressão, resolver primeiro as operações que estão entre parênteses, depois os colchetes e, por fim, as chaves. Pratique resolvendo os exercícios de fixação 1, e. Potenciação e suas propriedades. Base: Expoente: Resolvendo: 1 1) Multiplicação de potências de mesma base. Ex: = 1 = = 7 Conservar a base e somar os expoentes. ) Divisão de potência de mesma base. Ex: 4 : 4 = 4 = 4 = 16 Conservar a base e subtrair os expoentes. ) Potência de potência. Ex: = x = 6 = 64 Conservar a base e multiplicar os expoentes. 4) Expoente zero. Ex: 0 = 1 Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um. ) Expoente um. Ex: 1 10 = 10 6) Base um. Ex: 1 1 = 1 Todo número elevado a um é igual a ele mesmo. Um, elevado a qualquer número, é igual a um.

3 7) Base zero. Ex: 8 0 = 0 Zero elevado a qualquer número, diferente de zero, é igual a zero. Obs: Essas propriedades serão aplicadas somente se as bases forem iguais. Pratique resolvendo o exercício de fixação 4. NÚMEROS INTEIROS (NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS) OPERAÇÕES: Adição e subtração. Sinais diferentes. Ex: = + Subtrair e conservar o sinal do maior. Sinais iguais. Ex: a) = + 8 b) = - 8 Somar e conservar o mesmo sinal. Multiplicação e divisão. Sinais iguais. Ex: a) (-) : (-) = b) (-). (-) = +6 c) (+) : (+) = + d) (). (+) = +6 Multiplicação ou divisão de dois fatores de sinais iguais, o resultado é positivo. Sinais diferentes. Ex: a) (-16) : (+) = -8 b) (+16) : (-) = -8 c) (-). (+4) = -1 d) (+). (-6) = -1 Multiplicação ou divisão de dois fatores de sinais diferentes, o resultado é negativo. Potenciação. Base negativa e expoente par, resultado positivo. Ex: (-) 4 = 16

4 Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo. Ex: (-) = -8 Base positiva, o resultado será positivo. Obs: - 4 (-) Pratique resolvendo o exercício de fixação 4. Raiz qualquer n a n: índice Definição: n a b b n a Raiz quadrada (índice ) Exemplo: 16 Resolver essa raiz é responder a pergunta: qual número que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 16? Assim, 16 4 ou 4. Por definição: 4 16 e Cuidado: Não existe raiz, de índice par, de número negativo no conjunto dos números reais (R). 16? (Lembre-se de que 4 16 e 4 16). Raiz cúbica (índice ) 8, porque , porque , porque MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplos Ex: 0 é múltiplo de 6. Pois 0 : 6 = (divisão exata) Quando o resto da divisão de um número natural A por um número natural B é igual a zero, dizemos que A é múltiplo de B. Obs: B nunca pode ser 0. ( B 0) 4

5 Para encontrar os múltiplos de um número natural, basta multiplicá-lo por todos os números naturais. Como se trata de um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos. Ex: Calcular os múltiplos de. 0 0, 1, 6, 9... M() = 0,, 6, 9,1,... As reticências indicam que o processo continua infinitamente. Divisores Ex: divisores de 0 {1,,,, 6,10, 1, 0} Números primos Ex: {,,, 7, 11,...} São todos os fatores exatos de um número natural. São números que possuem apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo. Obs: O menor número primo é o número e é o único par. Usamos os números primos para trabalhar com a fatoração (MMC). Números compostos Ex: { 4, 6, 8, 9, 1, 1,...} São números que possuem mais de dois divisores. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC). O MMC de dois ou mais números naturais não nulos é o menor número múltiplo deles, diferente de zero. Ex: a) MMC de, 6 e 1, 6, 1,, 1 1, 1, 1, 1, 1.. = 0 b) MMC de 1, 6 e 4 1, 6, 4 6, 18, 4, 9, 4 1,, 1 1, 1, 1, 1, 1.. = = 180

6 Pratique resolvendo o exercício de fixação. FRAÇÕES: Exemplo: Nessa fração, o número é o numerador da fração, enquanto o número é o denominador. O denominador indica a quantidade de partes em que o inteiro foi dividido. O numerador indica a quantidade de partes que foi tomada do inteiro. Obs: Para existir fração, as partes devem ter o mesmo tamanho. Representando: Obs: Toda fração é uma divisão. : : 7 4 : Operações: Adição e subtração. Denominadores iguais. 1 1 Ex: a) + = b) - = = 4 = 1 Conserva-se o denominador, soma ou subtrai os numeradores. 6

7 7

8 Denominadores diferentes. Exemplo: 1 a) Passo I - Reduzir as frações ao mesmo denominador através do MMC. MMC (, ), 1, 1, Passo II - Dividir o MMC encontrado pelos denominadores. 10 : = 10 : = Passo III - Multiplicar esse resultado pelo numerador. 4 1 Passo IV Conservar o denominador e resolver a operação de soma ou subtração entre os numeradores b) - = - = Obs: Nas comparações de frações deve reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores. Dessa forma, a fração de maior valor será aquela de maior numerador. Ex: 1 e logo 1 1 8

9 1 1 é equivalente a e é equivalente a 6 6 Multiplicação Ex: a). = b). = 4 = = 0 1 = 9 8 Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador, simplificando o resultado sempre que possível. Obs: Simplificação: É a divisão do numerador e do denominador pelo mesmo número. Ex: 10 : 10 : 1 Divisão Ex: a) : =. = 7 1 Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração. Obs: Fração inversa: Trocar o numerador com o denominador. Ex: a) fração inversa b) fração inversa Potenciação: 1 Ex: a) 4 = = 9 Elevar o numerador e o denominador. Obs: As propriedades da potenciação dos números naturais também se aplicam às frações. Radiciação: Ex: = = Tirar a raiz do numerador e do denominador. Obs: Lembre-se de que não existe raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais (R). 9

10 Pratique resolvendo os exercícios de fixação 6 ao 10. NÚMEROS DECIMAIS Soma e subtração Ex: a),0 + 0,018,00 + 0,018,08 b) 1,00 4, 1,00-4,00 7, 0 Para somar ou subtrair números decimais, é preciso colocar vírgula em baixo de vírgula e completar as casas decimais com zero, quando necessário. Multiplicação Ex: a) 0,08., 0,08 x, ,44 b) 18,4. 0, 18,4 x 0,,497 casas 1 casa casas Multiplicam-se os números como se esses fossem naturais (desprezamos as vírgulas). Depois coloca-se a vírgula no resultado, separando, da direita para a esquerda, o total de casas decimais dos dois fatores. Divisão Ex: a) 6,07 :,6 6,07,6 6,07, , b) 1, : 0, = 1, 0, 1,0 0, 10-1, Igualar as casas decimais no dividendo e no divisor, completando-as com zero. Eliminar a vírgula. Dividir os números como se fossem números naturais. 10

11 ÁLGEBRA: Pratique resolvendo o exercício de fixação 11. Parte da matemática que envolve letras e números. As letras são chamadas de incógnitas ou variáveis. Monômios: x; - 9f; a³; c². x a Coeficiente : Parte literal: x Coeficiente :1 Parte literal: a 9 f Coeficiente : 9 ; Parte literal: f c Coeficiente : Parte literal: c Obs: monômios que apresentem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes: 6x e x; b² e -7b²; 6x³ya² e a²x³y. Binômios: x + y; x² + x; 6a³b² - a³b²y. Trinômios: 7x³ - x + 1x²; a + b c. Polinômios: x 4 4 x x x ; a ab x 9m ab m x. Operações: Adição e subtração. Ex: a) x + x = x b) x³ x³ = x³ c) x² + y x² + y = x² x² + y + y = x² + y Agrupar por monômios semelhantes. Multiplicação e divisão. Ex: a) x. y = xy b) y². y = y³ Se as incógnitas forem iguais, aplicar as propriedades da potenciação. x y : x y 1 x y 1 x y c) 6x 6 : x xy Pratique resolvendo o exercício de fixação 1. 11

12 EQUAÇÕES DO 1º GRAU x 1º membro Resolução: º membro Ex: a) x 9 = 6 I ) Separar as incógnitas (com seus coeficientes) no 1º membro, Separar os termos independentes (números sem incógnita) no º membro. Obs: Toda vez que um termo mudar do 1º membro para o º, ou vice-versa, inverter a operação. Logo: OPERAÇÃO OPERAÇÃO OPERAÇÃO OPERAÇÃO OPERAÇÃO OPERAÇÃO INVERSA INVERSA INVERSA Soma Subtração Multiplicação Divisão Potência Raiz Subtração Soma Divisão Multiplicação Raiz Potência a) x 9 = 6 x = x = 1 1 x = x = O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. b) x = x = x = c).(x + ) = x. x +. = x x + 6 = x x x = -6 x = 6 6 x = x = O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. Aplicar a propriedade distributiva multiplicando o número por x e por. Agrupar os termos semelhantes, deixando a incógnita (com seu coeficiente) no 1º membro e o termo independente no º membro. O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. Pratique resolvendo o exercício de fixação 1. 1

13 GRÁFICOS. y Eixo das ordenadas º quadrante 1º quadrante x Eixo das abscissas º quadrante 4º quadrante No 1º quadrante, a abscissa e a ordenada (par ordenado ou coordenada) são positivas ( x, y) (+, +). No º quadrante, a abscissa é negativa e a ordenada é positiva (, +). No º quadrante, a abscissa e a ordenada são negativas (, ). No 4º quadrante, a abscissa é positiva e a ordenada é negativa (+, ). Pratique resolvendo o exercício de fixação 18. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dica: Ao se aumentar (ou diminuir) uma grandeza, a outra também aumenta (ou diminui). Em toda grandeza diretamente proporcional vale: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Na prática: Depois de montar a proporção, multiplicar cruzado (o de cima multiplica o debaixo, o debaixo multiplica o de cima). Ex: Comprando-se canetas, paga-se R$ 6,. Quanto pagará uma pessoa que comprar 8 canetas? 6, 8 x 8 6, 0 x 8 6, x 0 x x 10 x R: Ao comprar 8 canetas, a pessoa pagará R$ 10,00. De fato, ao substituir o valor de x na proporção temos: 8 6, , O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 1

14 Também podemos ver grandezas diretamente proporcionais no Teorema de Tales e nas escalas, entre outros. Pratique resolvendo o exercício de fixação

15 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dica: Se uma grandeza aumenta, a outra diminui. Se uma grandeza diminui, a outra aumenta. Por isso elas são inversas. Em toda grandeza inversamente proporcional vale: O produto entre as grandezas é igual a uma constante. Na prática: Depois de montar a proporção, multiplicar direto (o de cima multiplica o de cima, o debaixo multiplica o debaixo). Exemplo 1: Um carro, viajando com velocidade média de 80 km/h, percorreu uma distância de 400 km em horas. Quantas horas gastaria esse carro para percorrer essa mesma distância com velocidade média de 100 km/h? Montando a proporção: velocidade x tempo 100 x x 400 x 400 x Observe que ao aumentar a velocidade média, o tempo para o mesmo percurso diminui. Exemplo : Para pintar um galpão, 6 pintores gastam 1 dias. Se fossem utilizados apenas pintores, quantos dias seriam necessários para pintar esse galpão? pintores 6 dias 1 90 x 6 1 x 90 x x 18 x Observe que ao diminuir os pintores, o tempo necessário para pintar o galpão aumenta. Pratique resolvendo o exercício de fixação 7. INEQUAÇÃO DO 1º GRAU A inequação do 1º grau é uma expressão matemática assim como a equação, só que, em vez de usarmos a igualdade, usamos a desigualdade. maior. menor. menor ou igual. maior ou igual. 1

16 Ex: a) 4x x + 7 4x + x 7 + 6x 1 1 x 6 x >. Agrupar os termos semelhantes deixando os coeficientes com as incógnitas no 1º membro e o termo independente no º membro. O número 6 está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. b) x 1 4x + x 4x x 6 x 6 6 x x Após agrupar os termos semelhantes, se o primeiro membro estiver negativo, devemos multiplicar toda a inequação por 1, invertendo o sinal da desigualdade. Pratique resolvendo o exercício de fixação 18. SISTEMA. A matemática usa o símbolo para indicar que duas ou mais equações formam um sistema. Ex: a) x y x y 4 b) x y 9 x y 4 Método da substituição I x y x y 4 II I) x + y = 4 x = 4 y II) x y = III) 4 y y = y = 4 y = y = y = 1 1. Escolher uma equação e isolar uma variável.. Substituir a equação isolada em I na II equação.. Resolver a nova equação. 16

17 IV) x = 4 y x = 4 1 x = Ao encontrar o resultado: substituí-lo na equação isolada em I e encontrar o segundo valor. Método de adição x y x y 4 I - x y x y 4 x = 6 6 x = Somar as equações. x = II) x + y = 4 + y = 4 y = 4 y = 1 Substituir o valor encontrado em I (em qualquer das equações) para se encontrar o outro valor. PRODUTOS NOTÁVEIS Pratique resolvendo o exercício de fixação 14. (a + b) = (a + b) (a + b) Observe que um produto notável é uma potência. Quadrado da soma de dois termos: Ex: (a + b) = a + ab + b O 1º termo é a e o º termo é b. Quadrado da diferença de dois termos: Ex: (a b) = a ab + b Produtos da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a b) = a b GEOMETRIA Reta: É formada por infinitos pontos. Classificação das retas: Retas paralelas: 17

18 São retas que estão no mesmo plano e não possuem pontos em comum. Ex: r s u t Retas concorrentes: São retas que possuem um único ponto em comum. Ex: Retas perpendiculares: São retas que têm um único ponto em comum e formam ângulos de 90. Ex: ÂNGULOS Os ângulos são medidos em graus ( ). Ex: 0 (lê-se 0 graus) Classificação dos ângulos. Reto: ângulo que mede 90 Agudo: ângulos que medem menos de

19 Obtuso: ângulos que medem mais que 90 e menos que º Raso: Obs: ângulo que mede 180º. 180º x y x + y = 180 (ângulo raso). TRIÂNGULOS São figuras geométricas que possuem ângulos e lados. Obs: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. α β γ α + β + γ = 180 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos. Acutângulo: possui ângulos agudos. Obtusângulo: possui ângulos agudos e 1 ângulo obtuso. Retângulo: possui 1 ângulo reto. Classificação dos triângulos quanto aos lados: Triângulo eqüilátero: possui lados iguais. Triângulo isósceles: possui lados iguais. 19

20 Triângulo escaleno: possui lados diferentes. QUADRILÁTEROS Pratique resolvendo os exercícios de fixação 1 e. São figuras geométricas que possuem 4 lados. Quadrado: possui 4 lados iguais, 4 ângulos iguais (90º), lados opostos paralelos. Retângulo: possui lados opostos paralelos iguais, 4 ângulos iguais (90º cada). Losango: possui 4 lados iguais, lados opostos paralelos e ângulos opostos iguais. Paralelogramo: possui lados paralelos de mesma medida e ângulos opostos iguais. Obs: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 60º. TRAPÉZIO O trapézio não é um paralelogramo, pois possui apenas um par de lados paralelos. Ele pode ser: Trapézio retângulo: possui 1 ângulo reto. Trapézio escaleno: possui todos os lados diferentes. Trapézio isósceles: os dois lados não paralelos são iguais. Obs: A diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. Quadrado: l l A = l A = área l = lado 0

21 Retângulo: Paralelogramo: b h b h A = b. h A = b. h A = área b = base h= altura A = área b = base h = altura Trapézio: h b B A = (B + b). h A = área B = base maior b = base menor h = altura Obs: O perímetro de uma figura é a soma de seus lados. Pratique resolvendo o exercício de fixação 17. CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Raio de uma circunferência é a distância de um ponto da circunferência ao centro. r r = raio Diâmetro: O dobro do raio. d d = r Comprimento da circunferência é o tamanho de seu contorno. Ao se dividir o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro, encontra-se o número Lê se: Pi. Esse número é uma constante e vale, aproximadamente,,1419. Para efeito de cálculos, usa-se,14. 1

22 Fórmula para cálculo do comprimento: Onde: C r C = comprimento,14 r = raio Fórmula para cálculo da área do círculo: A =. r A = área,14 r = raio Pratique resolvendo o exercício de fixação. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Calcula-se a média aritmética de um conjunto de valores somando-se todos esses valores e dividindo, essa soma, pelo número de elementos do conjunto. Ex: Um professor de matemática distribuiu, em um bimestre, 4 notas. Avaliação Trabalhos Participação Atividades diversas 7 Qual foi a média das notas distribuídas nesse bimestre? Obs: A média aritmética simples deve ser um valor compreendido entre o maior e o menor valor dado. Pratique resolvendo o exercício de fixação 1. PORCENTAGEM Porcentagem é uma fração de denominador 100. (% lê-se, por cento). 1 % é igual a 0, Ex: 4% de R$ 84,00 é 4 de ,4. 84 = R$,8 0,4 x ,8

23 LUCRO E PREJUÍZO Ex: a) Para lucrar 11%, por quanto devo vender uma mercadoria que me custou R$ 10,00? 10 Outra forma: 11% de 10 = x 0,11 O preço de venda = preço de compra + lucro 10 (100% + 11%) , = 100 0, = 14,0 lucro ,0 = 144,0 preço de venda TEOREMA DE TALES preço de venda = 111% do preço da compra. preço de venda = 1,11 x preço de compra. preço de venda = 1,11 x 10 = 144,0 Pratique resolvendo os exercícios de fixação 4, e 6. Retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais r s A B C D A C A B B D ou C D Ex: r s x x 4x = x = 7 7 x = 4 x = 18 TEOREMA DE PITÁGORAS b c a Nesse triângulo retângulo temos: a = hipotenusa b e c = catetos Hipotenusa ao quadrado é igual a soma do quadrado dos catetos.

24 TEOREMA: a = b + c Obs: Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (90 ). Ex: = x + 4 x 4 = x + 16 x = 16 x = 9 x = 9 x = VOLUME Volume do cubo Pratique resolvendo os exercícios de fixação 9 e 0. a a a V = a V = volume do cubo a = aresta Exemplos a) Um cubo tem aresta de centímetros. Qual o seu volume? V = a³ V= ³ V =.. V = 1 cm³. b) O volume de um cubo é de 1 cm³. Quanto mede sua aresta? V = a³ 1 = a³ a 1 a = 8 cm (8³ = = 1) Volume do paralelepípedo b c a V = a. b. c V = volume do paralelepípedo a = comprimento do paralelepípedo b = altura do paralelepípedo c = largura do paralelepípedo Exemplo 4

25 Uma piscina, em forma de um paralelepípedo, tem 7 metros de largura, 10 metros de comprimento e metros de profundidade. Sabendo que 1 m³ corresponde a 1000 litros, qual o volume, em litros, dessa piscina? V = a. b. c V = 7 x 10 x V = 140 m³. 1 m³ = 1000 litros 140 x 1000 = litros. Resposta: O volume dessa piscina é de litros. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Calcule o valor das expressões: a) : 6 = b) 4. 6.(1 : 4 ) + 6 : 6 = c) 7. [ 9 (4 6)] = d) = e) { 6 [ 1 + (7. 4 ) + 1 ] : 18 } = ) Resolva os problemas, aplicando as operações fundamentais. a) Um carro que custava R$.848,80, à vista, foi vendido em 6 prestações mensais de R$ 878,80. Qual é o preço desse carro à prazo? b) Um grupo de 18 alunos e 6 professores irá participar de uma excursão. A escola providenciará ônibus com 4 lugares. Quantos ônibus a escola deverá contratar para que todos viajem sentados? Quantos lugares sobrarão? ) Calcule o mínimo múltiplo comum (MMC) de: a) 14, 0 e 70. b) 7, 14, 16 e. c) 4, 8 e 1. d) 7 e 1. 4) Resolva as expressões numéricas. a) ( 1 : ). (- ) = b) 4. [ : ( - 4)] =

26 c) [ -1 : ( ) + 4 ] : ( - 1) = d) ( - ) : 4. ( - 4) = e) 81 + ( - ). ( - ) : ( ) = ) Resolva os problemas: a) Um elevador se encontra no andar térreo de um edifício. Ao entrar nesse elevador, Marcos confunde os botões de controle. Assim, o elevador subiu 9 andares e, logo após, desceu. Marcos aciona o botão novamente e o elevador desce 4 andares. Em qual andar Marcos parou? b) Um termômetro marca uma temperatura de 1 graus negativos. Em certa hora do dia, a temperatura sobe 9 graus. Ao final desse dia, a temperatura cai graus. Qual é a temperatura final registrada no termômetro? 6) Assinale as opções apresentadas em que os pares de frações são equivalentes. a) ( ) 1 e c) ( ) 10 e b) ( ) 7 e 7. d) ( ) 4 7 e ) Resolva as expressões e simplifique os resultados quando possível. 1 4 a) b) c) 1 1 d) e) f) 1. 9 g) : 8 4 h) : i) 1. : 7 9 8) Coloque as frações apresentadas em ordem crescente. 6

27 a) b),, 4 4, 7 1, 4 1 e 7 1, e 1 6 9) Coloque as frações apresentadas em ordem decrescente. a) 1, 1, 4 e 7 b), 1, 4 e 4 10) Compare as frações apresentadas, usando os sinais de =, > ou <. a) 4 1 c) b) 7 8 d) 1 11) Resolva as expressões numéricas. a),1 + 0,8,074 = b) ( 10,,987)., = c) 1,4 +,71 + 1,68 : 0,7 = d) 0, : 0,4 0,178 +, = e) 18,1 ( 4 9,8). 0, = 1) Reduza os termos semelhantes nas expressões algébricas apresentadas. a) x 4y + x + x x = b) ab a + ab ab = c) x + ( y) y ( x) + 4 = d) ( x 7y) ( y x ) = 7

28 1) Resolva as equações do 1 grau. a) x 6 = 1 b) 4 10x = 6 y c) 4 = d) ( y ) = 6y 16 e) x 1,x = 1 x x f) 1 x 1 x 1 g) x 14) Resolva os sistemas apresentados. a) x y 10 x y b) 4x y 10 x y 1) Resolva os problemas. a) Um atleta, ao treinar salto com vara, atinge as seguintes marcas:,48m;,4m;,m e,6m. Qual é a altura média que o atleta atingiu? b) A tabela, a seguir, mostra o número de inscrições de alguns cursos mais escolhidos no vestibular de 00 de uma universidade em BH. CURSOS NÚMERO DE INSCRIÇÃO Engenharia 6.4 Medicina 8.10 Ciências da Computação.6 Administração.80 Odontologia 4.00 Com base nesses dados, calcule a média de inscrições nesse vestibular. 16) Resolva os problemas. a) Com 8 kg de farinha um padeiro produz 10 pães. Quantos pães ele produzirá com kg dessa mesma farinha? b) Uma máquina produz embalagens de plástico para armazenar óleo. Ela consegue produzir 1.96 embalagens em horas. Quantas embalagens essa máquina produzirá em 8 horas de funcionamento? 17) Calcule a área e o perímetro das figuras apresentadas. 8

29 a) o b) c), cm cm, cm, cm 1, cm cm 4 cm cm 18) Dê as coordenadas dos pontos a seguir. E G D F y A I B H C x Ponto Coordenadas A B C D E F G H I 19) Resolva as inequações. a) 4x < 0 b) x c) x + 7 > x + 9 d) x 1 > 4x 0) Determine os valores de x e y. a) b) c) 10 x y x 70 y 0 d) e) f) x x 10 y x 9 40

30 1) Classifique os triângulos quanto aos ângulos. a) b) c) ) Classifique os triângulos quanto aos lados a) b) c) ) Calcule a área e o comprimento de uma circunferência de a) raio igual a 10 cm. b) diâmetro igual a 0 cm. 4) Calcule: a) 40% de 00. b) % de 0. ) Um aparelho de som é vendido, à vista, com um desconto de 0%. Quanto pagarei à vista por um aparelho que custa R$ 40,00? 6) Um comerciante compra uma mercadoria por R$,0 e, ao vendê-la, obtém um lucro de 0%. Qual é o preço de venda dessa mercadoria? 7) Dois pedreiros constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias cinco pedreiros gastarão para fazer um muro igual ao primeiro? 0

31 8) Em um restaurante são consumidos 800 kg de feijão em 0 dias. Quantos quilos de feijão serão consumidos em 1 dias, supondo que será servida a mesma quantidade de refeição? 9) Usando o teorema de Pitágoras, determine o valor de x nos triângulos apresentados. 8 x a) b) 6 1 x 9 c) 4 d) 1 x 10 x 9 0) Calcule a diagonal do retângulo apresentado. 4 m m d RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 1 a) : 6 = Resolver a divisão = 18 + = 0 = 1. b) (1 : 4 ) + 6 : 6 = Para eliminar os parênteses, resolver primeiro a divisão 1

32 = ( ) + 6 : 6 = Eliminar os parênteses. = : 6 = Resolver a multiplicação e a divisão. = = = 7. c) 7. [9 (4 6)] = Eliminar os parênteses. = 7. [9 9] = Eliminar os colchetes. = 7. 0 = Resolver primeiro a multiplicação. = 7 60 = 1. d) 64. = = Resolver a raiz quadrada = Resolver as potências. = = Resolver as multiplicações. = = =. e) { 6 [ 1 + (7. 4 ) + 1 ] : 18 } = Resolver as potências. ={ 64 [ 1 + (7. 4 9) + 1 ] : 18 } = Para resolver os parênteses, resolver primeiro a multiplicação. = 64 [ 1 + (8 9) + 1 ] : 18 } = Eliminar os parênteses. = { 64 [ 1 + (19) + 1 ] : 18 } = Eliminar os colchetes. = { : 18 } = = = = Igualar os denominadores e tirar o m.m.c. 9 = 76 9 =. 9 Questão a) 878,80 x 6 Número de prestações ,80 Preço do carro a prazo.

33 b) 18 Alunos. + 6 Professores. 191 Lugares Para levar todos os passageiros será necessário ônibus com 4 lugares e sobrarão 19 lugares.

34 Questão a) 14, 0, 70 b) 7, 14, 16, 7, 10, 7, 7, 8, 16 7,, 7, 7, 4, 8 7, 1, 7 7 7, 7,, 4 1, 1, = 140 7, 7, 1, 7, 7, 1, 1 7 1, 1, 1, 1. 7 = 4 c) 4, 8, 1 d) 7,1, 4, 6 7, 6 1,, 7, 1, 1, 7, 1 7 1, 1, 1. = 4 1, = 84 Questão 4 a) ( 1 : ). ( ) = Resolver a divisão. = ( ). ( ) = ( ). ( ) = 10. b) 4. [ : ( 4)] = Para eliminar os colchetes, resolver primeiro a multiplicação e a divisão. = 4. [ 0+ ( 9)] = Aplicar a regra de sinal. = 4. [ 0 9] = 4. [ 9] = 116. c) [ -1 : ( 7 + 4) + 4 ] : ( 1) = Resolver as potências. = [- 1 : ( 7 + 4) + 81] : ( 1) = = [ 1 : ( ) + 81] : ( 1) = Resolver a divisão. = [ + 81] : ( 1) = 86 : ( 1) = 86. d) ( ) : 4. ( 4) = Resolver as potências. = ( ) : = Resolver primeiro a divisão e a multiplicação. = 48 = 0. e) 81 + ( ). ( ) : ( ) = Resolver a raiz quadrada e as potências. = 9 + ( ). ( ) : 1 = Resolver a multiplicação. = : 1 = Resolver a divisão. 4

35 = = 1 1 = 11. Questão a) subiu andares parou no 9º andar. desceu andares parou no 6º andar. desceu 4 andares parou no º andar. b) = = 8 Temperatura final 8 graus. Questão a) e Simplifique a fração = = logo = b) 7 e c) 10 1 e 40 Simplifique a fração = logo = d) e Simplifique a fração = = = logo Questão 7 a) 1 4 = Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o 1 9 m.m.c. = 1 4 = = = b) = Os denominadores são iguais, então deve-se conservá-los. 7 7 = = = 1. 7 c) 1 = Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o m.m.c. = 1 = = =

36 1 1 d) 8 4 = Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o m.m.c = = = = 1 19 = Novamente devemos igualar os 8 10 denominadores e tirar o m.m.c. 1 1 e) =. 4 = Transformar a fração mista em fração imprópria. = Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o m.m.c = = = = = f) 1 = Transformar as frações mistas em frações impróprias = = Os denominadores são diferentes, então deve-se tirar o m.m.c = = 6 = 7 = g) 9 = Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da 8 4 segunda fração. = = = =

37 h) = Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da 7 segunda fração. = 7 = = = I) 1 7 = Resolver a raiz quadrada = 1 7 = Resolver a multiplicação. 1 0 = 1 1 = Igualar os denominadores através do m.m.c = = 1 = Ver divisão de fração = 1 = 1 = Simplificando frações = = Igualar os denominadores através do m.m.c logo a), ,, e Para comparar as frações, deve-se achar suas 7 equivalências, por meio do m.m.c dos denominadores (, 7,,, ) ,,,, , logo b) 7 1,, e Para comparar as frações, deve-se achar suas equivalências, por meio do m.m.c dos denominadores (4, 1, e 6) ,,,, , logo

38 9-a) 1 1,, e Transformar a fração mista em fração imprópria Para comparar as frações, deve-se achar suas equivalências por meio de m.m.c dos denominadores (, 4, 7, ) ,,, , logo b),, e Para comparar as frações, deve-se achar suas 4 4 equivalências por meio de m.m.c dos denominadores (, 4, 4, ) ,,, , logo a) 4 Os denominadores são iguais, então compara-se os numeradores. b) c) Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los 7 8 e tirar o m.m.c. 16 1, , logo Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e tirar o m.m.c , , logo

39 1 d) Transformar a fração mista em fração imprópria Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e tirar o m.m.c , , logo 11-a),1 + 0,8,074 =,1 4, ,80 -,074 4,01 1,96 Resolver a soma e a subtração na ordem em que aparecem aplicando as propriedades. Não se esqueça: vírgula debaixo de vírgula! b) (10,,987)., = Resolver os parênteses. 10,00 4,1 -,987 x, 4, , casas depois da vírgula. c) 1,4 +,71 + 1,68 : 0,7 = Resolver a divisão e a adição aplicando as propriedades. 1,68 0,70 1, , ,4, , d) 0, : 0,4 0,178 +, = Resolver a divisão, a subtração e a adição aplicando as propriedades. 0, 0,40 0,87 0, ,178,00 0 0,87 0,697,

40 e) 18,1 (4 9,8). 0, = Resolver os parênteses, depois a multiplicação e a subtração aplicando as propriedades. 4,00 1,1 18,1000-9,8 x 0, - 4,080 1,1 60 1, ,080 1-a) x 4y + x + x x = Ordenar termos semelhantes (parte literal). = x + x + x x 4y = Agrupar termos semelhantes. = x x 4y b) ab - a + ab ab = Ordenar termos semelhantes (parte literal). = ab + ab ab a = Agrupar termos semelhantes. = 4ab a c) x + ( - y) y ( -x) + 4 = Trabalhar as regras dos sinais e agrupar as partes literais dos monômios. = x y y + x + 4 = = x + x y y + 4 x y + 4 d) ( x 7y) ( y x ) = Trabalhar as regras dos sinais e agrupar as partes literais dos monômios. = x 7y y + x = = x + x 7y y 6x 10y 1-a) x 6 = 1 x = Termo independente no º membro. Inverter a operação. x = 7 7 x = x = 9 b) 4 10x = 6 10x = x = x = 10 x = 16 y c) - 4 = Igualar os denominadores das frações, tirar o m.m.c. e posteriormente eliminar os denominadores. 40

41 y 1 1 y 1 = 1 y = y = 7 7 y = d) ( y ) = 6y 16 Resolver a propriedade distributiva. y 10 = 6y 16 y 6y = Incógnitas no 1º membro e termo independente no º. y = 6 Multiplica a equação por 1. y = 6 e) x 1,x = 1 1,x = 1 1 x 1, x = 10. x x f) 1 x 6x x = - 6x + 10 x + 6x = 10 11x = 10 Igualar os denominadores das frações, tirar o o m.m.c. e posteriormente eliminar os denominadores. 10 x. 11 g) x 1 x 1 x x 1 1x x Igualar os denominadores das frações tirar o m.m.c. e posteriormente eliminar os denominadores, resolver a propriedade distributiva, agrupar os trmos semelhantes mudando a operação quando necessário. (x 1) 1x = (x + 1) 10x 1x = x + 10x 1x x = + 8x = 8 8 x x = a) x y 10 (1ª) x y (ª) Resolução pelo método da substituição. Isolando a incógnita x da ª equação obtém-se x + y = (ª) 41

42 x = y Substituindo o valor de x da ª equação na 1ª equação obtém-se x y = 10. ( y) y = 10 Encontra-se uma equação do 1º grau com uma incógnita. 1 6y y = 10 Resolver a propriedade distributiva, agrupar os termos semelhantes e mudar a operação quando necessário. 6y y = y = y y 7 7 Substituir esse valor na (ª) equação. x =. y x = x = 7 Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e x 10 7 tirar o m.m.c. x. S, b) 4x y 10 (1ª) x y (ª) Resolução pelo método da substituição. Isolando a incógnita x da ª equação obtém-se x y = x = + y (ª) Substituindo o valor de x da ª equação na 1ª equação obtém-se 4x = y ( + y) = y + 10 Encontra-se uma equação do 1º grau com uma incógnita y = y + 10 Resolver a propriedade distributiva, agrupar os termos semelhantes e mudar a operação quando necessário. 8y y = 10 0 y = y Substituir esse valor na (ª) equação. x = + y 10 x + +. Resolver a multiplicação. 0 x Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e tirar o m.m.c x x. S, 4

43 1-a) O problema está pedindo a altura média, então usa-se a média aritmética para resolvê-lo.,48,4,,6 4 10,06 4,1. b) O problema está pedindo a média de inscrições no vestibular, então usa-se a média aritmética para resolvê-lo a) Este problema apresenta uma proporção com duas grandezas: farinha e pães, então, para resolver usa-se a regra de três simples, e diretamente proporcional. 8 kg 10 pães kg x Montar a razão e/ou proporção e aplicar as propriedades x =. 10 8x =.0 x x = 40, x 8 b) Este problema aperesenta uma proporção com duas grandezas: embalagens e horas, então, para resolver usa-se a regra de três simples e diretamente proporcional embal. horas Montar a razão e/ou proporção e aplicar as x 8 horas propriedades x = x = x x =.46 x 8 17-a) Área A base b Perímetro P altura h A = b. h Perímetro = soma de todos os lados de um polígono. A =,. P =, + +, + A = 16, cm P =., +. P = 11 = 6 P = 17 cm. b) Área A lado Perímetro P A =.Perímetro = soma de todos os lados de um polígono. A = P =, +, +, +, A = (,) P = 4., A = 4,84 cm P = 8,8 cm 4

44 c) Área A B base maior Perímetro P b base meor h altura B b h A 8 4 1, 1 1, 14,4 A A A A = 7, cm Perímetro: Usar Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa no triângulo. x 1, x² = 1,² + ² x² = 1, x² =,44 x x,44, Perímetro: 4 +, + 8 +, = 16,66. 18) Os pontos A, B e C estão no 1º quadrante, então as coordenadas x e y dos pontos serão positivas. A (1, ), B (, 4), C (4, 1). Os pontos D e E estão localizados no º quadrante, então x será negativo e y será positivo. D (, ) E (, ) Os pontos F e G estão localizados no º quadrante, então as coordenadas x e y dos pontos serão negativas. F ( 1, 1) G ( 4, 4) Os pontos H e I estão localizados no 4º quadrante, então x será negativo e y será positivo. H (, 1) I (1, ) 19) Para resolver uma inequação do 1º grau, deve-se partir do mesmo princípio de solução de uma equação de 1º grau. a) 4x < 0 Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário mudar a operação. 4x < 0 + 4x < x < 4. b) x Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário mudar a operação. 44

45 6 x 1 6 x 6 x x. c) x + 7 > x + 9 Agrupar os termos semelhantes e, quando necessário mudar a operação. x x > 9 7 x > x > x > 1. x 1 d) 4x Os denominadores são diferentes, então deve-se igualá-los e tirar o m.m.c., eliminar os denominadores, agrupar os termos semelhantes e, quando necessário mudar a operação. x 1 8x x + 1 > 8x x 8x > 0 1 6x > 1 6x 1 Multiplica-se a inequação por 1 invertendo o sinal da desigualdade. x < a) 10 + x = 180 x = x = 60. Montar uma equação do 1º grau, agrupar os termos semelhantes e, quando necessário mudar a operação. b) x + 70 = 180 y + x = 180 x = y = 180 x = 110. y = y = 70. c) y + 0 = 180 y = y = 10. d) x + 90 = 180 x = x = 90. e) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a x = x = 180 x = x = 40. f) 10 + y = 180 y + x + 40 = 180 y = x + 40 = 180 y = 60. x = 180 x = x = a) Identificar os ângulos 4

46 4 100 ângulos agudos ângulo obtuso Triângulo obtusângulo. b) ângulos agudos ângulo reto Triângulo retângulo. c) 60º ângulo agudo Triângulo acutângulo. -a) Os Três lados têm medidas iguais Triângulo equilátero. b) Os Três lados têm medidas diferentes Triângulo escaleno. c) Dois lados com medidas iguais e o terceiro lado com medida diferente Triângulo isósceles. -a) Área da circunferência A r Comprimento da circunferência C r r C r A A =, C =., A =, C = 6,8. 10 A = 14 cm. C = 6,8 cm. b) diâmetro = 0 cm raio = 1 cm. r C r A A =,14. 1 C =.,14. 1 A =,14. C = 6,8. 1 A = 706, cm. C = 94, cm a) 40% de 00 = b) % de 0 = ) 0% de 40 = ,00 90,00 = 60,00. 46

47 0,0 6) 0% de,0 = 1, ,0 + 1,6 = 6,76. 7) pedreiros 10 dias pedreiros x 10 x 0. x =. 10 x = 0 x = Grandezas inversamente proporcionais. Ao se aumentar a quantidade de pedreiros, o muro ficará pronto em menos tempo. x = 4 dias. 8) 800 kg 0 dias x 1 dias Para resolver esse problema deve-se usar a regra de três simples e diretamente proporcional. 0. x = x = x = x = 600 kg. 9-a) x = x = x = 100 x = 100 x = 10 x = 10. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor 10. b) 1 = x + 9 = x = x x = 144 x = 144 x = 1 x = 1. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor 1. c) x = x = x = 676 x = 676 x = 6 x = 6. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor 6. d) 9 = x = x = x x = 1.96 x = x = 6 x = 6. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor 6. 0) 4 m A diagonal dividiu o retângulos em dois triângulos retângulos, então pode-se aplicar o teorema de Pitágoras. 47

48 m d d = + 4 d = d = d = d = d = m. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor. 48