Notas de Aula - Álgebra de Boole Parte 1

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1 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Elétrica Sistemas Digitais 1 Prof. Dr. Alexandre Romariz Revisado em 27/4/06 Notas de Aula - Álgebra de Boole Parte 1 1 Introdução Fundamentos, Teoremas e Axiomas O ponto de partida para o projeto sistemático de sistemas de processamento digital é a chamada Álgebra de Boole, trabalho de um matemático inglês que, em um livro de 1854, propõe dar expressão às leis fundamentais do raciocínio na linguagem simbólica do cálculo. Trata-se, portanto, de uma formalização matemática da lógica em sua forma mais simples, conhecida como Lógica Proposicional. Essa lógica permite tratar da interpretação (isto é, atribuição de valor verdadeiro ou falso) de proposições isoladas, ou da combinação de proposições por meio de operações lógicas simples (E, OU, etc.). A proposta original de Boole estava mais próxima do que hoje se chama álgebra elementar, isto é, trabalhava com operações usuais, como soma e multiplicação, interpretando as expressões resultantes em termos de lógica. Por exemplo, ao identificar a multiplicação de duas variáveis x y como uma expressão lógica de objetos que contêm ao mesmo tempo as propriedades representadas por x e por y, ele chega à necessidade da expressão x x = x, e daí à idéia de que só dois valores seriam válidos neste cálculo, 0 e 1 [1]. Já o significado moderno de álgebra (ou estrutura algébrica) é bem mais abstrato, e de apresentação mais complexa. No que se segue, veremos os principais resultados deste cálculo para embasar a teoria da simplificação de operações lógicas, mas uma apresentação formal será evitada [3]. Talvez seja mais correto denominar este sistema, na forma como o estudaremos, de Cálculo de Boole, mas mantemos o nome Álgebra de Boole, comumente usado na área de Sistemas Digitais. 1

2 1.1 Símbolos São símbolos válidos na Álgebra de Boole: 0, 1, +, e letras maiúsculas do alfabeto latino com ou sem barra superior (A,B,C,A,B, etc.). Essas últimas representam as variáveis deste cálculo. 1.2 Fórmulas válidas (ou bem-formadas) 1. O símbolo 0 é uma fórmula válida (ou bem-formada) no cálculo de Boole. 2. O símbolo 1 é uma fórmula válida no cálculo de Boole. 3. Uma variável é uma fórmula válida no cálculo de Boole. 4. Se α é uma FBF (Fórmula Bem-Formada), então α é uma FBF. 5. Se α e β são FBFs, então α + β é uma FBF. 6. Se α e β são FBFs, então α β é uma FBF. 1.3 Axiomas 1. A = 0 se e somente se A 1 2. Se A = 0, então A = = = = 1 0 = 0 1. A = 1 se e somente se A 0 2. Se A = 1, então A = = = =0+1=1 Observações: Nesta apresentação pouco rigorosa, estamos usando o símbolo = com dois significados sutilmente diferentes. Quando afirmamos A = 1, queremos informar que, em uma dada circunstância, a variável A assume o valor 1. Alguns autores preferem reservar este símbolo para uso quando os dois lados da igualdade são sempre idênticos, como A + B = B + A. [2] Esses, usariam no primeiro caso, W (A) = 1, onde W é uma função de interpretação, isto é, uma função que atribui, na circunstância em estudo, o valor 1 para A. Alguns autores preferem A ao invés de A. 2

3 Esses axiomas definem o significado semântico dos operadores + e. O primeiro corresponde ao ou lógico, e o segundo, ao e lógico. 1.4 Principio da Dualidade Uma igualdade na Álgebra de Boole permanece uma igualdade se trocarmos 1 por 0 (e vice-versa) e por + (e vice-versa). Daí os axiomas acima terem sido agrupados (em cada linha, os axiomas à direita são duais dos axiomas à esquerda). 2 Teoremas da Álgebra Booleana 2.1 Teoremas de 1 variável 1. A+0=A 2. A+1=1 3. A+A=A 4. A = A 5. A + A = 1 1. A 1 = A (Elemento neutro) 2. A 0 = 0 (Elemento nulo) 3. A A = A (Idempotência) 4. A = A 5. A A = 0 Observações: Em termos de lógica, o último teorema e seu dual representam dois importantes princípios, conhecidos como Terceiro Excluído (Tertius non datur) e não-contradição, respectivamente. Não formalizamos o processo de dedução para provar teoremas a partir dos axiomas. No entanto, como só há dois valores possíveis, pode-se provar esses teoremas por indução perfeita (substituindo todos os valores possíveis para as variáveis e verificando a iguladade para cada caso). 3

4 2.2 Teoremas de Duas Variáveis 1. A+B=B+A 2. A+B+C=A+(B+C) 3. A(B+C)=AB+AC 4. A+AB=A 5. AB + AB = A 1. AB=BA (Comutatividade) 2. ABC=A(BC) (Associatividade) 3. A+BC=(A+B)(A+C) (Distributividad 4. A(A+B)=A (Cobertura) 5. (A + B)(A + B) = A (Combinação) Observações: Podemos omitir o operador, como em aritimética. Além disso, tem prioridade sobre +. Para alterar essa ordem, usam-se parênteses. Os dois últimos teoremas são a base da simplificação de funções lógicas. 2.3 Teoremas de De Morgan A B... Z = A + B Z A + B + C Z = A B... C 2.4 Teoremas de Expansão de Shannon Seja f(a,b,...,z) uma função lógica qualquer. Então f(a, B,..., Z) = A f(1, B,..., Z) + A f(0, B,..., Z) e também f(a, B,..., Z) = [A + f(0, B,..., Z)] [A + f(1, B,..., Z)] 3 Conceitos complementares 3.1 Funções Duais Seja f(a,b,...,z) uma função boolena. A função dual f D (A, B,..., Z) é obtida trocando-se + por e vice-versa. Exemplos: f = A + B f D = AB f = A(B + C) f D = A + BC 4

5 Entrada A Entrada B Saída L L L L H H H L H H H H Tabela 1: Resultados de teste elétrico em circuito digital Cuidado para não confundir função dual com o princípio da dualidade. As funções duais, em geral, são funções diferentes, isto é, sabendo-se que uma função assume o valor 1, não está automaticamente determinado o valor da função dual. O princípio da dualidade pode ser agora expresso de maneira diferente: Dada uma igualdade booleana, outra igualdade é obtida trocando-se a expressão original pela expressão dual, símbolos 1 por 0 e 0 por 1. Também é possível re-escrever os teoremas de De Morgan, da seguinte forma: f(a, B,..., Z) = f D (A, B,..., Z) 3.2 Lógicas positiva e negativa Quando uma função lógica é implementada fisicamente em um circuito elétrico, fazemos uma associação entre os valores 0 e 1 da álgebra booleana e valores alto e baixo de tensão elétrica. Naturalmente, há duas opções possíveis: podemos associar o 1 lógico ao nível de tensão mais alto, ou ao nível de tensão mais baixo. Essas alternativas têm o nome (um tanto infeliz) de Lógica positiva e Lógica negativa, respectivamente. Se trocarmos a interpretação lógica dos níveis de tensão de um circuito, o que ocorre com a função lógica implementada? Vamos considerar que um circuito digital foi testado, aplicando-se valores alto e baixo em suas entradas, e observandose a saída. Os resultados estão resumidos na Tabela 1. Tabelas desse tipo serão extensamente utilizadas adiante, e são denominadas Tabelas-verdade. Observe que, se pensarmos em termos de lógica positiva, na qual o nível elétrico alto (H) corresponde ao 1 da álgebra booleana, a tabela descreve a função OU. Note também que, em lógica negativa, a função descrita é um E. De fato, pode-se provar um resultado geral: se um circuito digital implementa uma certa função em lógica positiva, implementa o seu dual em lógica negativa. 5

6 Referências [1] G. Boole. An investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. Dover Publications, New York, USA, [2] M. Carvallo. Principes et applications de l analyse booléenne. Gauthier- Villars, Paris, France, [3] J.F. Wakerly. Digital Design: Principles and Practices. Prentice Hall, Upper Saddle River, USA, third edition,