MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA

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1 1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003

2 2 CONTEÚDO 1 - Introdução 2 - Grupos 3 - Anéis 4 - Corpos (Campos de Galois) BIBLIOGRAFIA 1 - J. R. Durbin, Modern Algebra - An Introduction, John Wiley, R. J. McEliece, Finite Fields for Computers Scientists and Engineers, Kluwer, S. B. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.

3 3 1 - INTRODUÇÃO Estruturas matemáticas discretas desempenham um papel importante em muitas aplicações em Engenharia. Dentre elas destacam-se: Grupos, Anéis e Corpos. Algumas Definições: ORDEM - A Ordem de um conjunto S é o número de elementos de S e é denotada por S. CONJUNTO FINITO - Um conjunto S é dito ser finito se ele tem um número finito de elementos.

4 4 FECHAMENTO - Um conjunto S é dito ser fechado em relação a uma operação se e somente se, a, b S,então a b S. ASSOCIATIVIDADE - Uma operação é dita ser associativa se e somente se, a b c = a (b c) = (a b) c. NOTAÇÃO - Para qualquer conjunto S, S * é o conjunto S * = S {0}. O MATERIAL APRESENTADO A SEGUIR TRATA DE CONJUNTOS FINITOS QUE SÃO FECHADOS EM RELAÇÃO A OPERAÇÕES ASSOCIATIVAS.

5 5 2 - GRUPOS Um Grupo é uma estrutura algébrica formada por um conjunto G e uma operação que tem inversa. Se a operação é "+" (adição), então a operação inversa é "-" (subtração) e o grupo é chamado aditivo. Se a operação é "." (multiplicação), então a operação inversa é " " (divisão) e o grupo é chamado multiplicativo. Exemplos: Grupos Infinitos i) < Z, + >, onde Z denota o conjunto dos Inteiros. ii) < R, +>, onde R denota o conjunto dos Reais. iii) < R *,. >

6 6 Grupos Finitos i) < Z n, + n > Para n = 4, < Z 4, + 4 > é um grupo de ordem 4, onde Z 4 = {0, 1, 2, 3}. O grupo tem um elemento identidade: e = 0. A tabela de composição do grupo é: ii) < Z * p, p >, p primo. Para p = 5, < Z * 5, 5 > é um grupo de ordem 4, onde Z * 5 = {1, 2, 3, 4}. O grupo tem um elemento identidade: e = 1. A tabela de composição do grupo é:

7 Grupos Abelianos Um grupo <G, > é chamado Abeliano ou Comutativo, se a b = b a, para qualquer a, b em G. Exemplos: < Z n, + n > e < Z p *, p > são grupos abelianos Grupos Cíclicos Definição: A Ordem de um elemento g <G, > é o menor inteiro r, tal que g g g... g = r vezes e onde e denota o elemento identidade do grupo.

8 8 Exemplo: Ordens dos elementos do grupo < Z 7 *, 7 >. O elemento g = 2 tem ordem r = 3, pois 2 1 2(mod 7); (mod 7); 2 3 = 8 1(mod 7). Elementos de < Z 7 *, 7 > e suas ordens: g Ordem Definição: Um grupo <G, > é chamado Cíclico se todo elemento a G pode ser expresso como uma "potência" de um dado elemento de G, chamado elemento gerador do grupo. Observe então que, em um grupo com G = n, o elemento gerador tem ordem n. Exemplos: < Z n, + n > e < Z p *, p > são grupos cíclicos.

9 Subgrupos Um Subgrupo de um grupo <G, > é um subconjunto dos elementos do conjunto G, que forma um grupo em relação à operação de G. Exemplos: i) G = < Z 6, + 6 >; seja um subgrupo H = < {0, 2, 4}, + 6 >. ii) G = < Z 7 *, 7 > 2.4. Classes Laterais Se H é um subgrupo de G, então as Classes Laterais à esquerda de G em relação à H, são os conjuntos da forma g H = {g h, h H}, onde g G.

10 10 Exemplos: i) G = < Z 12, + 12 >, H = < {0, 4, 8}, + 12 >. As classes laterais à esquerda de G em relação a H: {0, 4, 8} = {0, 4, 8} {0, 4, 8} = {1, 5, 9} {0, 4, 8} = {2, 6, 10} {0, 4, 8} = {3, 7, 11} ii) G = < Z 7 *, 7 >, H = < {1, 2, 4}, 7 >. As classes laterais à esquerda de G em relação a H: 1 7 {1, 2, 4} = {1, 2, 4} 3 7 {1, 2, 4} = {3, 6, 5} O Teorema de Lagrange: Se H é um subgrupo de G, então H divide G.

11 ANÉIS Um Anel é uma estrutura algébrica formada por um conjunto R e duas operações, onde apenas uma delas tem inversa. Se "+" e "." são as operações, a operação inversa é "-" mas " " não é uma operação válida. Exemplo: < Z n, + n, n > Para n = 4, < Z 4, + 4, 4 > é um anel de ordem 4, onde R = {0, 1, 2, 3}. As tabelas de adição e de multiplicação do anel são:

12 CORPOS Um Corpo é uma estrutura algébrica formada por um conjunto F e duas operações, ambas possuindo inversa. Se "+" e "." são as operações do corpo, então "-" e " " são as operações inversas, respectivamente. Um corpo de ordem q, isto é, um corpo com q elementos, é denotado por GF(q) ou F q. Exemplo: GF(p) = < { 0, 1, 2,..., p-1}, + p, p >, onde q = p. Para p = 3, GF(3) = <F, + 3, 3 > é um corpo de ordem 3, onde F = {0, 1, 2}.

13 13 As tabelas de adição e de multiplicação do corpo são: Algumas questões sobre GF(p) = < F, + p, p > : i) O que se pode dizer sobre a estrutura < F, + p >? Resposta: < F, + p > é um grupo aditivo. ii) E sobre a estrutura < F, p >? Resposta: CUIDADO!

14 14 < F*, p > é um grupo multiplicativo. Definição: A Característica de um corpo é o menor p, tal que (mod p vezes p) Exemplo: GF(2) é um corpo de característica p = 2. Os elementos do corpo são 0, 1, = 2 0 (mod 2), e assim p = Construção de um Corpo Finito Só existem corpos finitos GF(q) de ordem igual a uma potência de um primo, isto é, q = p m, onde m 1 é um inteiro e p é um primo. Para uma dada ordem existe apenas um corpo finito.

15 Construção de GF(p) Para construir o corpo GF(p) considere o conjunto {0,1,2,...,p-1}, e as operações de adição e multiplicação módulo p. Assim, GF(p) = < {0,1,2,...,p-1}, + p, p >. Exemplo: GF(p) = < { 0,1,2,...,p-1}, + p, p > Para p = 5, GF(5) = < {0, 1, 2, 3, 4}, + 5, 5 > é um corpo de ordem 5. Observe o grupo multiplicativo de GF(5), que é < {1, 2, 3, 4}, 5 >

16 16 Considere as potências do elemento 2: (mod5); (mod5); 2 3 = 8 3 (mod5); 2 4 = 16 1(mod5). Note que as potências de 2 geram todos os elementos do grupo (que são os elementos não nulos de GF(5)). Assim, esse grupo é cíclico pois todo elemento do grupo é uma potência de um único elemento. Esse elemento é um gerador do grupo. No nosso exemplo, 2 é um gerador do grupo multiplicativo de GF(5). Considere agora as potências do elemento 3: (mod5); 3 2 = 9 4 (mod5); 3 3 = 27 2 (mod5); 3 4 = 81 1(mod5), e 3 é outro gerador do mesmo grupo.

17 17 Elementos de < F 5 *, 5 >, grupo multiplicativo de GF(5), e suas ordens: g Ordem Definição: Se α é um gerador do grupo multiplicativo de GF(p), então α é um Elemento Primitivo do Corpo GF(p). Portanto, a ordem de um elemento primitivo em um corpo de ordem p é... Resposta: p-1. No exemplo anterior, 2 e 3 são elementos primitivos de GF(5) e ambos tem ordem 4 (que é a ordem do grupo multiplicativo de GF(5)).

18 Construção de GF(p m ), m > 1 Na construção de GF(p m ) os elementos são polinômios e as operações são adição e multiplicação módulo um certo polinômio. É, portanto, necessário definir este polinômio. Definição: Considere um polinômio, denotado por p(x), de grau m com coeficientes em GF(p), isto é, um polinômio sobre GF(p), que é irredutível em GF(p). Assim, na construção de GF(p m ), os elementos são todos os polinômios sobre GF(p) que tem grau menor que m e as operações do corpo são adição e multiplicação módulo p(x).

19 19 Exemplo: Construção de GF(2 2 ) (p = 2, m = 2), dado p(x) = x 2 +x+1 (um polinômio de grau m = 2, irredutível sobre GF(2)). Os elementos do corpo são todos os polinômios sobre GF(2) de grau menor que 2, isto é, 0, 1, x, x + 1. As tabelas de adição e multiplicação para GF(4) são: + p(x) 0 1 X X+1 p(x) 0 1 X X X X X+1 X X X+1 X X X+1 0 X+1 X 0 X X+1 1 X+1 X+1 X 1 0 X+1 0 X+1 1 X

20 20 Os mesmos resultados obtidos sobre o grupo multiplicativo de GF(p) podem ser estendidos para o grupo multiplicativo de GF(p m ), isto é, < GF * (p m ), p(x) > é um GRUPO CÍCLICO. A ordem do grupo acima é......p m 1. Que outras representações podem ser usadas para os elementos do corpo? Pense nas potências de um elemento gerador do grupo multiplicativo (ou elemento primitivo do corpo).

21 21 Exemplo: Encontrar um elemento primitivo de GF(4): Ou... encontrar um gerador do grupo multiplicativo de GF(4) Ou... encontrar um elemento de ordem 3 de GF(4) O elemento (x + 1) é um elemento primitivo de GF(4) pois, (x + 1) 1 x + 1 (mod x 2 + x + 1); (x + 1) 2 = x x (mod x 2 + x + 1); (x + 1) 3 = x 3 + x 2 + x (mod x 2 + x + 1), que são os elementos não nulos de GF(4). Exemplo: Construir GF(8) (ou GF(2 3 )), p = 2 e m = 3, dado p(x) = x 3 + x + 1.

22 22 Possíveis representações dos elementos de GF(8): polinomial, triplas binárias e potências de um elemento primitivo de GF(8). Como encontrar um elemento primitivo de GF(8) (a partir de agora, denotado α)? A idéia é usar a propriedade de que um elemento primitivo do corpo também é raiz de um polinômio primitivo. Assim, se p(x) é um polinômio primitivo de grau m sobre GF(p), os elementos de GF(p m ) podem ser representados como potências de uma raiz α de p(x). Então, como encontrar um polinômio primitivo de grau 3, sobre GF(2) (para representar os elementos de GF(2 3 )?

23 23 Definição: Um polinômio p(x), de grau m e irredutível sobre GF(p), tem ordem e (ou pertence ao expoente e) se p(x) (x e 1) mas p(x) não divide (x n 1) para n < e. O polinômio p(x) é primitivo se e = p m 1. Exemplo: Determinar a ordem de p(x) = x 3 + x Assim, e = = 7 (p = 2, m = 3) e p(x) é um polinômio primitivo de grau 3 sobre GF(2). Se α é uma raiz de p(x) = x 3 + x + 1, isto é: p(α) = α 3 + α + 1 = 0, então α é um elemento primitivo de GF(2 3 ), cujos elementos podem ser representados por potências de α (mostrado abaixo):

24 24 α 1 α (mod α 3 + α + 1) α 5 α 2 + α + 1 (mod α 3 + α + 1) α 2 α 2 (mod α 3 + α + 1) α 6 α (mod α 3 + α + 1), α 3 α + 1 (mod α 3 + α + 1), α 7 1 (mod α 3 + α + 1). α 4 α 2 + α (mod α 3 + α + 1), Assim, existem três maneiras de representar os elementos de GF(8): POLINOMIAL TRIPLA BINÁRIA POTÊNCIA DE α α α 0 X 010 α X α 2 X α 3 X 2 + X 011 α 4 X 2 + X α 5 X α 6 Exemplo: Construir GF(16) (ou GF(2 4 )), dado p(x) = x 4 + x + 1.

25 25 ALGUMAS DEFINIÇÕES 1) Um Grupo <G, > é uma estrutura algébrica, onde G é um conjunto e é uma operação definida sobre os elementos de G, que satisfaz os seguintes axiomas: i - Fechamento: g h G, g, h G. ii - Associatividade: g (h k) = (g h) k = g h k, g, h, k G. iii - Identidade: Existe um elemento e G tal que e g = g e = g, g G. iv - Inversos: Para todo g G existe o elemento g -1 G, chamado o inverso de g, tal que g g -1 = g -1 g = e. 2) Um Semigrupo <S, > é uma estrutura algébrica onde S é um conjunto e é uma operação definida sobre os elementos de S, que satisfaz os axiomas de fechamento e associatividade definidos acima. 3) Um Anel <R, +, > é uma estrutura algébrica onde R é um conjunto, e + são operações definidas sobre os elementos de R, satisfazendo: i - <R, +> é um grupo abeliano. ii - <R, > é um semigrupo. iii - A operação é distributiva em relação a +, isto é: a (b+c) = (a b)+(a c) e (b+c) a = (b a)+(c a), a, b, c R.

26 26 4) Um Corpo <F, +, > é uma estrutura algébrica, onde F é um conjunto, e + são operações definidas sobre os elementos de F, satisfazendo os seguintes axiomas. i - <F, +, > é um anel comutativo com identidade. ii - <F *, > é um grupo abeliano. 5) Se a ordem de F é finita ( F = q, digamos), então a estrutura <F, +, > é dita ser um Corpo Finito ou Campo de Galois, sendo denotada por GF(q). A ordem de um Campo de Galois é sempre uma potência de um primo, isto é, q = p m, onde p é primo e m é um inteiro 1.