FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da

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1 FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto A. ii) a D( f ), existe um único b B tal que ( a, b) f, isto é, todo elemento do domínio de f possui uma única imagem em B. Exemplo 6 Sejam A = {*,, m} e B = {, x, 1, a}. Definimos as seguintes relações de A em B: a) R 1 = {(*, ), (*, x), (m, 1)} b) R 2 = {(*, ), (, 1), (m, a), (, x)} c) R 3 = {(*, ), (, ), (m, a)} d) R 4 = {(*, x), (, x), (m, x)} Analisando essas relações: a) não é uma função de A em B pois não satisfaz as condições da Definição 4.4. R 1 De fato, D( R ) A e R (*) = x 1 e R 1 (*)= ou, seja, * possui duas imagens. 1 b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da R 2 Definição 4.4. Com efeito, (, 1), (, x) R2. c) é uma função de A em B, pois D( R ) = {*,, m} = Ae cada elemento de A R3 3 tem uma única imagem em B. d) é uma função de A em B, pois satisfaz as duas condições da Definição 4.4. R 4 Vamos observar o Exemplo 6 através do esquema de flechas

2 Figura 4.2 Observação 3: i) Para f ser uma função ela não pode conter pares de elementos distintos cuja as primeiras coordenadas sejam iguais, isto é, se ( a, b ) e ( c, b) pertencem a uma função f então a c. ii) Para f ser uma função, no esquema de flechas, não pode partir duas flechas do mesmo elemento.

3 Figura Inversa de uma Função Inverter uma função, como o próprio nome sugere, é inverter o domínio com a imagem, ou seja, se f é uma função e ( a, b) f então ( b, a) deve pertencer a inversa de f. Mas pode acontecer de termos dois elementos ( a, b ) e ( c, b ) em f, logo ( b, a) e ( b, c) deveriam estar na inversa de f, mas se isso ocorrer a inversa de f não seria uma função pois não satisfaria a segunda condição da Definição 4.4. O Exemplo 7 ilustra melhor essa situação. Exemplo 7 Sejam A= {*, x, m} e B ={,, 1, a}. Considere a função f ={(*, ), (x, ), (m, )}de A em B. A inversa de f deveria ser o conjunto I ={(, *), (, x ), (, m)}, mas, veja que I não é uma função de B em A, logo, I não pode ser a função inversa de f, nesse caso dizemos que f possui inversa ou f não é inversível (ou invertível). A seguir definiremos injetividade e sobrejetividade que são condições necessárias e suficientes para que f seja inversível e assim podermos definir de forma eficiente função inversa.

4 Definição 4.5 Seja f : A B uma função. Dizemos que f é injetora ou injetiva se para quaisquer ( x1, y1) e ( x2, y2) em f tivermos y1 y2. Observação 3: Para mostrar que uma função f não é injetora é suficiente exibir dois elementos distintos x, x D( f ) tais que f ( x ) = f ( x ), ou seja, exibir x, x D( f ) 1 2 tal que x x f ( x ) = f ( x ) Definição 4.6 Im( f ) Seja f : A B uma função. Dizemos que f é sobrejetora ou sobrejetiva se = B. Isto é, y B, x Atal que ( x, y) f. (Observe que ( x, y) f y = f ( x) ). Observação 4: Para mostrar que uma função f : A B não é sobrejetora é suficiente exibir um elemento de B que não seja imagem de nenhum elemento de A. Definição 4.7 Se f é uma função injetora e sobrejetora então f é dita bijetora. Exemplo 8 Considere os conjuntos A= { a, b, x} e B = {*, m, 2}. a)

5 f é injetora, pois nenhum elemento de B é imagem de mais de um elemento de A. f é sobrejetora, pois todo elemento de B é imagem de algum elemento de A f é bijetora, pois f é injetora e sobrejetora b) g = {( a,*),( b, m),( x, m)} g não é injetora. De fato, m é imagem de x e de b, ou seja, m é imagem de mais de um elemento de A. g não é sobrejetora. Com efeito, 2 não é imagem de nenhum elemento de A. g não é bijetora, pois g não é injetora, tão pouco sobrejetora. c) h :[1,3] [1, 2] é : Injetora, pois para cada y [1,2] existe um único x [1,3] tal que, (x,y) h, isto é, y = f ( x), isto é, y é imagem de x. Sobrejetora, pois CD( f ) = [1,2] e cada y [1, 2] é imagem de algum x [1,3]. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Considere n(a) e n(b) o número de elementos de A e B, respectivamente. Seja f : A B uma função, observe que:

6 i) Se n( A) > n( B) então, f não é injetora. De fato, como cada elemento de A tem um correspondente em B e A possui mais elementos que B, deve ter algum elemento de B se correspondendo a mais de um elemento de A. ii) Se n( A) < n( B) então, f não é sobrejetora. De fato, como cada elemento de A tem um único correspondente em B e B tem mais elementos que A, deve ter algum elemento de B sem correspondente em A. iii) Como consequência de i) e ii) para f ser injetora devemos ter n( A) n( B) e para f ser sobrejetora devemos ter n( A) n( B), logo, para f ser bijetora iv) (injetora e sobrejetora) é necessário que n( A) = n( B). A relação inversa de f será uma função se, e somente se, f for bijetora. Ou seja, f é inversível (ou invertível) se, e só se, f é bijetora. Observação 5: Os itens i), ii) e iii) também são válidos para os casos em que A e B são infinitos, porém é necessário definir de forma adequada o conceito de quantidade de elementos para conjuntos infinitos (cardinalidade) e isso foge aos objetivos deste texto.

7 Definição 4.8 Seja f : A B de f e denotamos por. uma função bijetora, denominamos inversa de f a relação inversa f 1 Exemplo 9 Considere A ={*,, }e B = { a, 1, 0}. Seja a função f : A B, dada por f ={(*, 1), (, 0), (, a )}. Observe que f é injetora e sobrejetora, portanto bijetora, consequentemente inversível. A função inversa de f é f 1 : B A, dada por f 1 ={(1, *), (0, ), (a, )} Composição de funções Considere as funções f : A B e g : C D, a composição de f com g é uma função denotada por f o g em que, para cada ( a, c) f o g deve existir b tal que ( a, b) g e ( b, c) f. Observe que b é ao mesmo tempo um elemento da imagem de g e do domínio de f. Logo, a composição só estará bem definida se Im( g) D( f ). Figura 4.4 Definição 4.9

8 Sejam f : A B e g : C D duas funções com Im( g) D( f ). Denominamos função composta de f com g, a função f o g = {( x, y) A x D ( x, z) g e ( z, y) f, para algum z Im( g) }. Exemplo 10 Sejam A ={, *, 1}, B = {, x, 0, m, k}, C = {, x, 0, 4, p} e D = {10, 11, 12, 13, 14}. Considere as funções g : A B e f : C D dadas por: g ={(, ), (*, x ), (1, 0)} e f = {(, 12), ( x, 10), (0, 14), (4, 11), ( p, 11)}. Observe que Im( g) = {, x, 0} D( f ) = {, x, 0, 4, p}, logo, existe a composta de f com g, f g : A D, dada por f g = {(, 12), (*, 10), (1, 14)}. As figuras 4.4 (a) e 4.4 (b); ilustra essa composição através do diagrama de flechas. Figura 4.5 (a) Figura 4.5 (b) Operações com funções

9 O conceito de operações binárias entre elementos de um conjunto é uma ideia mais ampla do que necessitamos nesse texto, veja mais informações sobre operações em [Hygino]. Neste tópico definiremos operações de funções usando as operações de números reais, para isso é necessários que o contradomínio das funções sejam todos numéricos e as operações fechadas nele. Definição 4.10 Seja A um conjunto não vazio e definimos as seguintes operações: i) Adição e subtração f, g : A R duas funções. Sobre f e g f + g = {(x, y ) A xr y = f (x )+ g (x )} f g = {(x, y ) A xr y = f (x ) g (x )} ii) Multiplicação f g = {(x, y ) A R y = f (x ) g (x )} iii) Divisão f f (x ) = {(x, y ) A R y = g g (x), com g ( x ) 0 x A }. f Observe que só está definida se g( x) 0, x A. g iv) Multiplicação por número real

10 k f = {(x, y ) A R y =kx}, para k R. Exemplo 11 Seja A ={,, *}. Se f, g : A R são funções definidas por: f ={(, 1),(, 5),(*, 2 3 )} g ={(, 5),(, 2),(*, 1)} Então, f + g ={(, 6),(, 3),(*, 1 3 )} f g ={(, 4),(, 7),(*, 5 3 )} f g ={(, 5),(, 10),(*, 2 3 )} f g ={(, 1 5 ),(, 5 2 ),(*, 2 3 )} 5 f ={(, 1),(, 25 2 ),(*, 10 3 )}