Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções"

Aurora Monteiro Antas
8 Há anos
Visualizações:

1 Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções João Paulo Baptista de Carvalho joao.carvalho@inesc.pt

2 Álgebra de Boole Binária A Álgebra de Boole binária através do recurso à utiliação de funções booleanas (ou funções lógicas) é a principal teoria de suporte às metodologias de síntese e análise de circuitos digitais Utilia variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {,}; {Low,High}; {True,False}; etc. Às variáveis Binárias também se dá o nome de variáveis Lógicas ou Booleanas 2

de circuitos digitais Utilia variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {,}; {Low,High}; {True,False}; etc.

3 Funções Lógicas de Uma Variável Como só estão definidos 2 elementos no universo da Álgebra de Boole binária, o número de funções lógicas é finito, o que potencia uma abordagem algébrica bastante simples Veja-se o eemplo para uma única variável: Tabela de verdade f () f () f 2 () f 3 () Só eistem 4 funções possíveis! f ( ) ( ) f 2 ( ) f3 ( ) f constante identidade negação constante 3

bastante simples Veja-se o eemplo para uma única variável: Tabela de verdade f () f () f 2 () f

4 Negação (NOT) Das funções apresentadas, a Negação, Complemento, ou NOT, é a mais importante, e caracteria-se por transformar uma afirmação Verdadeira numa Falsa (e vice-versa) Para além da epressão algébrica e da tabela de verdade, a negação pode ser graficamente representada por um dos seguintes símbolos lógicos: f ( ) NOT Inversor (INV) Dupla Negação: Demonstração do teorema da dupla negação por indução completa: 4

algébrica e da tabela de verdade, a negação pode ser graficamente representada por um dos seguintes

5 Funções de Duas Variáveis Eistem 6 diferentes funções lógicas de 2 variáveis. As mais importantes são denominadas AND, OR, NAND, NOR e XOR Conjunção (AND, Produto Lógico, ٨) e Disjunção (OR, Soma Lógica, ٧): AND. OR & 5

6 Funções de Duas Variáveis NAND (AND negado), NOR (OR negado) e XOR (OU-Eclusivo): NAND. NOR & XOR 6

7 Álgebra de Boole Binária Uma Álgebra de Boole binária é um sistema algébrico B 2 (A{,},.,) formado por um conjunto gerador A e por duas operações binárias,.,, designadas por produto lógico e soma lógica, e por uma operação designada por complemento, tal que:, A ( A) ( A) (I) (Propriedade de Fecho) (II) verifica-se:,, A A (Propriedade Comutativa) A2 (Propriedade Associativa) A3 (Propriedade Distributiva) A4 (Elemento neutro) A5 (Complemento) A6 (Idempotência) ( ) ( ).(. ) (. ). ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) [Hist.] Boole, George (85-864), Matemático britânico. Em 854, publicou An Investigation of the Laws of Thought onde descreveu um sistema algébrico mais tarde designado por álgebra de Boole 7

(Propriedade Comutativa) A2 (Propriedade Associativa) A3 (Propriedade Distributiva) A4 (Elemento neutro) A5 (Complemento) A6 (Idempotência) ( ) ( ).(. ) (. ). ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) [Hist.

8 Propriedades Básicas da Álgebra de Boole Binária ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comutatividade Associatividade Distributividade DeMorgan Adjacência ( ) ( ) (XOR) 8

9 Princípio da Dualidade Qualquer epressão válida numa álgebra de Boole tem uma epressão dual, também válida nessa álgebra, que se obtém por troca do símbolo operatório com o símbolo operatório., e por troca do par de valores e Eemplo: 9

nessa álgebra, que se obtém por troca do símbolo

10 Mais teoremas... Consenso: Redundância: Absorção: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 Leis de Morgan: Generaliação para n variáveis Verificação por Tabelas de Verdade... n n n n Permitem transformar uma soma de produtos num produto de somas e viceversa

12 Representação de Funções " Por função Booleana: A B C f a b c āb e c são os termos da função. ā, b e c são os literais. " Por Circuito Lógico (ou Logigrama): F " Por Tabela de Verdade: a b c ā b f 2

13 Funções mais de 2 variáveis Eemplo de Simplificação e Representação sob a forma de Logigrama: f X Y Z F ( ). X Y Z F 3

14 Eemplo de Simplificação (II) a d a e b d b e c d c e f ad ae bd be cd ce ( ad ae bd be cd ce ) (( a b c) d ( a b c) e) (( a b c)( d e) ) a b c d e Realiação a 2 níveis (soma de produtos) Realiação Multinível 4

15 Especificação por tabela: Importância das funções AND, OR e NOT A B C f f 2 f 3 f f f f f 2 3 f ABC C f AB 2 3 ABC ABC ABC ABC f f É sempre possível definir uma função utiliando o conjunto {AND, OR, NOT}!!! 5

16 Especificação por soma de mintermos O método anterior permitiu igualmente a passagem da representação de uma função por uma tabela para uma epressão algébrica Essa epressão é uma soma de produtos em que todos os produtos envolvem todas as variáveis da função m A B C f f ABC ABC ABC A estes produtos chama-se mintermos A epressão em termos de soma de mintermos é única A esta epressão também se chama ª forma canónica ou forma canónica normal disjuntiva Cada mintermo corresponde a um dos s da função É usual referir cada mintermo pelo número correspondente em binário Assim: f m m m f ( 4,6, 7 ) m

produtos chama-se mintermos A epressão em termos de soma de mintermos é única A esta epressão também se chama ª forma canónica ou forma canónica normal

17 Especificação por produto de matermos Em ve de se trabalharem com s, também é possível construir a epressão da função através dos seus s Essa epressão é um produto de somas em que todas as somas envolvem todas as variáveis da função ( A B C)( A B C )( A B C)( A B C )( A B C ) g M A B C g A cada uma das somas chama-se matermo A esta epressão também se chama 2ª forma canónica ou forma canónica normal conjuntiva Cada matermo corresponde a um dos s da função É usual referir cada matermo pelo número correspondente em binário Assim: g M M. M. M. M f (,,2,3, 5 ). M

g 2 3 4 5 6 7 A cada uma das somas chama-se matermo A esta epressão também se chama 2ª forma canónica ou forma canónica normal conjuntiva Cada

18 Especificação da ª forma canónica por logigrama A B C f f ABC ABC ABC Cada mintermo é representado por uma das portas AND Eiste uma correspondência entre cada AND, cada um dos s da tabela e cada um dos produtos da epressão 8

portas AND Eiste uma correspondência entre cada AND,

19 Importância das funções NAND e NOR Como vimos, qualquer função pode ser representada como uma soma de mintermos. Por eemplo: f ABC ABC ABC Aplicando uma dupla negação à epressão: f ABC ABC Aplicando as Leis de Morgan: ABC f ABC ABC ABC Obtém-se assim uma epressão em que só surgem NANDs e NOTs. Como um NOT pode ser feito com um NAND, então qualquer função pode ser implementada só com NANDs A A A A A O mesmo se aplica aos NORs (basta partir da 2ª forma canónica) 9

ABC ABC Obtém-se assim uma epressão em que só surgem NANDs e NOTs.

20 Manipulação e Simplificação de Funções A manipulação de uma função pode ser feita para obter uma epressão mais simples ou para obter a epressão em certas formas: f Simplificar ( AB A ) ( B A B) C C C ABC AC BC B C Obter epressão com operadores de 2 variáveis e negações f ABD f A ACD ACD ABD ( BD CD) A( CD BD ) Obter epressão só com NANDS ABD ACD ACD ABD ABD ACD ACD ABD 2

B A B) C C C ABC AC BC B C Obter epressão com operadores de 2 variáveis e negações f ABD f A

21 Bibliografia Arro,G., Monteiro,J.C., Oliveira,A., Arquitectura de Computadores, dos Sistemas Digitais aos Microprocessadores, Capítulo 2, 2ª Edição, 29 Mano,M., Kime,C. Logic and Computer Design Fundamentals, Prentice Hall, Caps 2.,2.2 Sêrro,C. Sistemas Digitais: Fundamentos Algébricos, IST Press, 23 2

Documentos relacionados

Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções

Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções João Paulo Baptista de Carvalho (Prof. Auxiliar do IST) joao.carvalho@inesc.pt Álgebra de Boole Binária A Álgebra de Boole binária