LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

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1 LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida uma aplicação f de R em R + o, que a cada número real faz corresponder o seu valor absoluto: f : R R + o x x Propriedades: Seja a 0: (1) x = a x = a x = a (2) x y = x y, x, y R (3) x x x, x R (4) x a a x a (5) x a x a x a (6) x + y x + y, x, y R (7) x y x y, x, y R Aulas teóricas: resumo 1 página: 1/9

2 2. Distância entre dois pontos. A distância entre dois pontos em R é dada por: d(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 3. Vizinhança. Sendo a R e δ R +, a vizinhança δ de a é o intervalo aberto de centro a e raio δ. Representa-se por: V δ (a) = {x R : x a < δ} = ]a δ, a + δ[ Noção de ite segundo Cauchy Seja f(x) uma função real de variável real e seja a um ponto de acumulação do domínio de f. Diz-se que "o número real b é o ite de f(x) quando x tende para a", ou que "a função f tende para b quando x tende para a", e escreve-se: se e só se: f(x) = b ε > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x a < δ f(x) b < ε Isto signica que f(x) se aproxima de b quando x se aproxima de a. Nota1: Para a existência de ite de f(x) quando x a, não é necessário que a função seja denida em x = a. Nota2: Só faz sentido falar em ite de uma função num ponto quando esse ponto pertence ao derivado do domínio da função (ou seja, é ponto de acumulação desse domínio). Um número real x é um ponto de acumulação do conjunto C, se e apenas se a toda a vizinhança de x possui pelo menos um elemento de C, distinto de x: x é ponto de acumulação de C δ R + : C (V δ (x) \ {x}) Teorema (unicidade do ite): Se existe f(x), então ele é único. Aulas teóricas: resumo 1 página: 2/9

3 EXEMPLO: x+2 Quero mostrar que = 1 x 2 4 x = x = x 2 4 = x 2 4 Para garantir que x 2 4 < ε, basta escolher, por exemplo δ = 4ɛ (ou qualquer valor tal que 0 < δ 4ε). Verica-se, portanto, que ε > 0 é possível encontrar δ = 4ε tal que: 0 < x 2 < δ x < ε Propriedades dos ites de funções 1 ˆ O ite de uma função constante é a própria constante. (f(x) = c, x D f ) f(x) = c ˆ O ite da função identidade, f(x) = x, quando x tende para a, é o próprio a. (f(x) = x, x D f ) f(x) = a ˆ O ite de uma soma algébrica de um número itado de funções é igual à soma algébrica dos ites dessas funções. ˆ O ite do produto de um número nito de funções é igual ao produto dos ites dessas funções. ˆ O ite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos ites das funções, desde que o ite da função denominador seja diferente de zero. ˆ Se existe f(x) = b e se n f, n N tem signicado em R, então n n f(x) = b 1 ver apêndice Aulas teóricas: resumo 1 página: 3/9

4 As propriedades anteriores conduzem-nos a uma importante regra prática para o cálculo de ites simples. Em muitos casos, o ite de uma função pode ser calculado por substituição (porquê?): x 2 x 2 + 4x + 4 x = x = 16 8 = 2 ˆ Se as funções f(x), g(x) e h(x) estão relacionadas por uma dupla desigualdade: então: f(x) g(x) h(x) e se f(x) = h(x) = b g(x) = b ˆ Se as funções f(x) e g(x) satisfazem à desigualdade: f(x) g(x) então f(x) g(x) ˆ Se f(x) 0 quando x a e se f(x) tende para o ite b, então b 0. ˆ Se f(x) é uma função crescente e itada, f(x) < M, então f(x) = b, sendo b M. Mesmo quando não existe o ite de f quando x tende para a, podem existir os ites laterais: Se f(x) tende para b quando x tende para a, por valores superiores a a, chamamos a b ite à direita da função f(x) e escrevemos: f(x) = b. + Se f(x) tende para c quando x tende para a, por valores inferiores a a, chamamos a c ite à esquerda da função f(x) e escrevemos: f(x) = c. Aulas teóricas: resumo 1 página: 4/9

5 Teorema: O ite de f(x) quando x tende para a existe se e só se existirem e forem iguais os ites laterais: f(x) = b f(x) = f(x) = b + Algumas denições: ˆ A recta acabada: R Vamos ampliar o conjunto R com dois novos elementos, que representaremos por e +, e a que se chama, respectivamente, menos innito e mais innito. Este novo conjunto representa-se por R. Então: R = R {, + } e estes novos elementos são tais que < x x < + x R Pode considerar-se o conjunto R itado superior e inferiormente por + e. Se acrescentarmos à recta real os "pontos"+ e obtém-se a recta acabada. ˆ Funções que tendem para o innito (innitamente grandes): f(x) = + se N > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x a < δ f(x) > N f(x) = se N > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x a < δ f(x) < N f(x) = se N > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x a < δ f(x) > N Aulas teóricas: resumo 1 página: 5/9

6 ˆ Limites no innito: f(x) = b se ε > 0, M > 0 : x D f, x > M f(x) b < ε x + f(x) = b se ε > 0, M > 0 : x D f, x < M f(x) b < ε x ˆ Innitamente pequenos ou innitésimos: Diz-se que α(x) é um innitamente pequeno ou innitésimo quando x a ou x se: α(x) = 0 ou α(x) = 0 x NOTA 1: Se α(x) é innitésimo quando x a e não se anula, então 1 α(x) = isto é, o inverso de um innitésimo é um innitamente grande. NOTA 2: O inverso de um innitamente grande é um innitésimo. ˆ Funções itadas: A função f(x) diz-se itada no domínio de denição, se: M > 0, x D f : f(x) < M NOTA 3: O produto de um innitésimo, quando x tende para a, por uma função itada é um innitésimo quando x tende para a. Aulas teóricas: resumo 1 página: 6/9

7 INDETERMINAÇÕES: Ao utilizar a regra de substituição para determinar ites de funções, somos por vezes conduzidos a indeterminações, que se representam simbolicamente por: EXEMPLOS: ( 0 0) x 2 4x + 4 (x 2)(x 2) = x 2 x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) = x 2 (factorizam-se os termos da fracção) x 2 x + 2 = 0 ( ) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a o a n x n = x + b p x p + b p 1 x p b 1 x + b o x + b p x = a n p b p x + xn p (é igual ao ite do quociente entre o termo de maior grau do numerador e o termo de maior grau do denominador) (0 ) reduz-se a uma indeterminação de um dos dois tipos anteriores ( ) caso de um polinómio: o ite é o ite do termo de maior grau ( 5x x + 3x3 = x + 3x3 1 5 ) = 3x 2 expressão contendo raízes quadradas: multiplica-se e divide-se pelo conjugado ( x ) x + 1 x + = x + x (x + 1) x + x + 1 = = x + x + ( x x + 1 ) ( x + x + 1 ) 1 x + x + 1 = 0 x + x + 1 = Aulas teóricas: resumo 1 página: 7/9

8 CONTINUIDADE de FUNÇÕES Função contínua num ponto x o do seu domínio. Seja x o um ponto do domínio D f de uma função f e ponto de acumulação desse domínio. f é contínua em x o x xo f(x) = f(x o ) Quando uma função não é contínua num ponto x o do seu domínio, diz-se descontínua nesse ponto. Embora descontínua para x = x o, 1. Se x x + o 2. Se x x o f(x) = f(x o ), a função diz-se contínua à direita, em x o. f(x) = f(x o ), a função diz-se contínua à esquerda, em x o. Propriedades das funções contínuas: ˆ Se f e g são funções contínuas num ponto x o D f D g que seja ponto de acumulação desse conjunto, então: 1. f ± g e f g são também contínuas em x o. 2. f g é contínua em x o, se g(x o ) 0. ˆ Seja f uma função contínua num ponto x o D f, e seja n R. Então: 1. f n também é contínua em x o. 2. Se n f, tem signicado em R, então n f também é contínua em x o. ˆ Se a função f for contínua em x o e a função g for contínua em b = f(x o ), então a função composta g f também é contínua em x o. ( ) g (f(x)) = g x x o (x) x x o Aulas teóricas: resumo 1 página: 8/9

9 Função contínua num intervalo: Uma função f diz-se contínua num intervalo ]a, b[, subconjunto do seu domínio, se e apenas se é contínua em todos os pontos desse intervalo. Uma função f diz-se contínua num intervalo [a, b], subconjunto do seu domínio, se e apenas se é contínua em ]a, b[ e + f(x) = f(a) e f(x) = f(b). x b Função contínua: Uma função diz-se contínua se e só se é contínua em todos os pontos do seu domínio. Propriedades: ˆ Toda a função constante é contínua. ˆ Toda a função polinomial é contínua. Teorema de Bolzano (ou dos valores intermédios): Toda a função contínua num intervalo não passa de um valor para outro sem passar por todos os valores intermédios: f é contínua em [a, b] k compreendido entre f(a) e f(b) } c [a, b] : f(c) = k Nota: o teorema de Bolzano é válido no caso de intervalos abertos, ]a, b[, itados ou não, desde que + f(x) e f(x) existam ou sejam innitos. x b Corolário do teorema de Bolzano: Se f é contínua em [a, b] e os números f(a) e f(b) são de sinais contrários, f(a) f(b) < 0, então existe pelo menos um zero de f no intervalo ]a, b[. Teorema de Weierstrass: Toda a função contínua num intervalo [a, b], itado e fechado, não vazio, tem nesse intervalo um máximo e um mínimo absolutos. Aulas teóricas: resumo 1 página: 9/9

10 Apêndices ˆ Apêndice 1: Distância entre dois pontos. Diz-se que um conjunto A é um espaço métrico quando existe uma função que, a cada par ordenado (x 1, x 2 ) de A 2, associa um número real d(x 1, x 2 ) - chamado distância de x 1 a x 2 - gozando as seguintes propriedades: (1) d(x 1, x 2 ) 0, x 1, x 2 A (2) d(x 1, x 2 ) = 0 x 1 = x 2 (3) d(x 1, x 2 ) = d(x 2, x 1 ), x 1, x 2 A (4) d(x 1, x 2 ) d(x 1, x) + d(x, x 2 ), x A O conjunto R é um espaço métrico. A distância entre dois pontos em R é dada por: d(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ˆ Apêndice 2: Posições relativas de um número real e de um subconjunto de R Seja C um subconjunto não vazio de R. Ponto interior. Um número real c é um ponto interior ao conjunto C, se e apenas se existe pelo menos uma vizinhaça de c toda contida em C: c é um ponto interior a C δ R + o : V δ (c) C Ponto exterior. Um número real b é um ponto exterior ao conjunto C, se e apenas se é ponto interior ao complementar R\C de C: b é um ponto exterior a C δ R + : V δ (b) (R \ C) Resumo 1: apêndices 1/5

11 Ponto fronteiro. Um número real a diz-se ponto fronteiro de C, se e apenas se não é ponto interior nem exterior a C: a é ponto fronteiro de C δ R + : C V δ (a) (R\C) V δ (a) Ponto de acumulação. Um número real x é um ponto de acumulação do conjunto C, se e apenas se a toda a vizinhança de x possui pelo menos um elemento de C, distinto de x: x é ponto de acumulação de C δ R + : C (V δ (x) \ {x}) O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto designa-se derivado do conjunto. Um elemento de um subconjunto de R que não é ponto de acumulação desse conjunto diz-se ponto isolado. Interior, exterior e fronteira de um conjunto. Interior de C = int C = {pontos interiores a C} Exterior de C = ext C = {pontos exteriores a C} Fronteira de C = fr C = {pontos fronteiros a C} conjunto aberto e conjunto fechado. O conjunto C é aberto, se e apenas se C = int C. O conjunto C é fechado, se e apenas se R\C é um conjunto aberto. ˆ Apêndice 3: Axioma de extremo superior: o corpo R é um corpo completo Seja S um subconjunto de R, não vazio. Limites superiores ou majorantes: Um número b diz-se ite superior de S ou majorante de S se: x b, x S e diz-se que S é itado superiormente. Resumo 1: apêndices 2/5

12 Supremo ou extremo superior: Um número b diz-se supremo ou extremo superior de S se: 1. b é um majorante de S. 2. nenhum número menor que b é majorante de S. Máximo: Um número b diz-se máximo de S se b é supremo e pertence ao conjunto S. Limites inferiores ou minorantes: Um número d diz-se ite inferior de S ou minorante de S se: x d, x S e diz-se que S é itado inferiormente. Ínmo ou extremo inferior: Um número d diz-se ínmo ou extremo inferior de S se: 1. d é um minorante de S. 2. nenhum número maior que d é minorante de S. Mínimo: Um número d diz-se mínimo de S se d é ínmo e pertence ao conjunto S. Conjunto itado: itado superiormente e inferiormente. Um conjunto C diz-se itado, se e só se for Axioma do extremo superior: Todo o conjunto não vazio de números reais, S, que é itado superiormente, tem um supremo em R. Teorema de Bolzano-Weierstrass: Todo o subconjunto C de R, innito e itado, tem, pelo menos, um ponto de acumulação. ˆ Apêndice 4: Noção de ite segundo Cauchy Seja f(x) uma função real de variável real e seja a um ponto de acumulação do domínio de f. Diz-se que "o número real b é o ite de f(x) quando x Resumo 1: apêndices 3/5

13 tende para a", ou que "a função f tende para b quando x tende para a", e escreve-se: se e só se: f(x) = b ε > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x a < δ f(x) b < ε Isto signica que f(x) se aproxima de b quando x se aproxima de a. Nota1: Para a existência de ite de f(x) quando x a, não é necessário que a função seja denida em x = a. Nota2: Só faz sentido falar em ite de uma função num ponto quando esse ponto pertence ao derivado do domínio da função (ou seja, é ponto de acumulação desse domínio). EXEMPLO: x+2 Pretende-se mostrar que 2. Aplicando as leis de De Morgan, obtémse: ε > 0, δ > 0 : x D f, 0 < x 2 < δ x x 2 4 ε x = x = x 6 4 x 6 = x 2 4 x = x 6 4 Escolho ε = 0.5: se δ 1, escolho x = 2.5 : x 2 = 0.5 < δ e x = = > ε = 0.5 se δ < 1, faço x = 2 + δ 2 : x 2 = δ 2 < δ e x = 1 δ 8 > 0.5 porque δ < 1 δ 8 < δ 8 > Resumo 1: apêndices 4/5

14 EXEMPLO: As propriedades dos ites são obtidas a partir da denição de ite dada atrás: O ite de uma função constante é a própria constante: f(x) = c, x D f f(x) c = c c = 0 < ε ε > 0 x D f logo, f(x) c é sempre menor do que ε. O ite da função identidade, f(x) = x, quando x tende para a, é o próprio a: f(x) = x, x D f f(x) a = x a portanto, basta escolher δ = ε para garantir que: x a < δ f(x) a = x a < ε O ite de uma soma algébrica de um número itado de funções é igual à soma algébrica dos ites dessas funções: Consideremos apenas duas funções, f e g, tais que f(x) = b e g(x) = c. Pretende-se mostrar que [f(x) + g(x)] = b + c: f(x) + g(x) (b + c) = f(x) b + g(x) c f(x) b + g(x) c de acordo com a propriedade (6) do módulo. Portanto, basta escolher para δ o menor dos valores δ 1 e δ 2, onde δ 1 é tal que 0 < x a < δ 1 f(x) b < ε 2 e δ 2 é tal que 0 < x a < δ 2 g(x) c < ε. Com esta escolha de δ, ca 2 garantido que: f(x) + g(x) (b + c) f(x) b + g(x) c < ε 2 + ε 2 = ε ou seja, x a < δ f(x) + g(x) (b + c) < ε Resumo 1: apêndices 5/5