INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

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Gonçalo Brás Belém
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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA I ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume 1 Por : Gregório Luís I

2 PREFÁCIO O presente texto destina-se a apoiar a disciplina de Análise Matemática I do curso de Matemática Aplicada à Economia e Gestão do Instituto Superior de Economia e Gestão. Parte significativa dos assuntos incluídos neste texto integram os programas do Ensino Secundário. A abordagem feita nesses programas é no entanto quase exclusivamente operacional, sendo os conceitos e a fundamentação da maior parte das regras de cálculo apresentados de forma meramente intuitiva, em que o uso frequente da calculadora substitui o rigor das definições e das demonstrações para evitar aquilo a que os pedagogos chamam a excessiva formalização da análise. Impõe-se assim que tais temas sejam retomados no primeiro ano dos cursos superiores, para uma apresentação mais rigorosa e para serem complementados com alguns desenvolvimentos ainda não objecto de estudo anterior. Para além da abordagem teórica dos temas em estudo, o texto inclui ainda, no final de cada capítulo, exercícios e respectivas soluções. Os exercícios marcados com * são de resolução mais difícil podendo ser ignorados pelos alunos médios. Aconselha-se contudo a sua resolução aos alunos mais interessados. A maior parte dos exercícios incluídos têm sido utilizados nos últimos 30 anos nas aulas práticas das disciplinas de Matemática dos primeiros anos dos cursos ministrados no Instituto Superior de Economia e Gestão, tornando-se impossível referenciar a sua proveniência ; para além destes há ainda exercícios originais e outros que foram retirados ou adaptados da bibliografia indicada no final. Cada capítulo tem uma numeração independente para os pontos, teoremas e propriedades. Nas referências feitas no texto subentende-se que os pontos, teoremas e propriedades pertencem ao próprio capítulo, salvo quando expressamente seja indicado o contrário. II

A abordagem feita nesses programas é no entanto quase exclusivamente operacional, sendo os conceitos e a fundamentação da maior parte das regras de cálculo apresentados de forma meramente intuitiva,

3 Este prefácio não poderia terminar sem uma referência aos professores que ao longo dos últimos 60 anos contribuiram decisivamente para a tradição que o ensino da matemática tem nesta escola de economia e gestão. Correndo o risco de injustamente esquecer alguns, citam-se aqui os Profs. Mira Fernandes, Bento Caraça, Leite Pinto, Vicente Gonçalves, José Ribeiro de Albuquerque e Bento Murteira. Lisboa, 22 de Maio de 2002 António Gregório Luís III

Correndo o risco de injustamente esquecer alguns, citam-se aqui os Profs.

4 ÍNDICE CAPÍTULO I Números Reais 1. Introdução Supremo e ínfimo de um conjunto Números naturais, inteiros, racionais e irracionais Números naturais Números inteiros e racionais Radiciação em R Existência de reais não racionais Representação decimal dos números reais Representação decimal dos reais não negativos Algoritmo para obtenção da dízima de um racional não negativo Dízimas infinitas não periódicas e números irracionais Representação de números reais negativos Exercícios 15 CAPÍTULO II Noções Topológicas em R 1. Distância e vizinhanças Conceitos topológicos básicos Teorema de Bolzano Weierstrass Conjuntos limitados Ampliação de R. Pontos impróprios Exercícios 29 CAPÍTULO III Sucessões de termos reais 1. Generalidades Conceito de limite. Teoremas fundamentais Sublimites. Teoremas fundamentais Regras elementares para cálculo de limites Soma, produto e quociente Potência de expoente natural Raiz de índice natural Potência de expoente racional positivo.. 44 IV

2 Algoritmo para obtenção da dízima de um racional não negativo. 12 4.3 Dízimas infinitas não periódicas e números irracionais. 14 4.4 Representação de números reais negativos 14 5.

5 4.5 Potência de expoente nulo Potência de expoente racional positivo Cálculo de limites por enquadramento Exponencial de base natural. O número e de Neper Introdução O número e de Neper Definição e propriedades da exponencial de base natural Logaritmos de base natural Definição e limites das potências de expoente irracional A exponencial de base b Fórmulas de Bernoulli para o cálculo de limites Alguns infinitésimos e infinitamente grandes notáveis Teoremas subsidiários Exercícios 73 CAPÍTULO IV Séries de termos reais 1. Introdução Exemplos notáveis de séries Série geométrica Série a + 2 a r + + n a r n Séries redutíveis ou de Mengoli Série exponencial Propriedades elementares das séries Condição necessária e suficiente de convergência de uma série Critérios de convergência para séries de termos não negativos Introdução Critérios gerais de comparação Critério de Dirichlet Critério da razão. Critério de D Alembert Critério da raiz. Critério de Cauchy Teorema de Kummer Critério de Raabe Critério de Gauss Convergência absoluta e convergência simples Estudo da convergência de séries não absolutamente convergentes Séries alternadas decrescentes Critérios de Abel e Dirichlet Propriedades especiais das séries absolutamente convergentes Comutatividade Teorema de Riemann Associatividade generalizada Multiplicação de séries absolutamente convergentes. Série produto de Cauchy Cálculo aproximado da soma de uma série Introdução Majoração do resto de ordem p para séries absolutamente convergentes Majoração do resto de ordem p para séries alternadas decrescentes Exercícios 133 V

A exponencial de base b 1... 62 10. Fórmulas de Bernoulli para o cálculo de limites. 63 11. Alguns infinitésimos e infinitamente grandes notáveis.. 68 12. Teoremas subsidiários. 70 13.

6 CAPÍTULO V Séries de potências de termos reais 1. Estudo da convergência Exercícios 141 CAPÍTULO VI Funções reais de variável real. Limites e continuidade 1. Introdução Definição de limite de uma função num ponto Condição necessária e suficiente para existência de limite finito Sublimites. Limites laterais Regras de cálculo de limites de funções Limites das funções trigonométricas e suas inversas Continuidade pontual Descontinuidades Continuidade num conjunto. Propriedades especiais das funções contínuas Continuidade da função inversa Continuidade uniforme. Teorema de Heine Cantor Exercícios 167 CAPÍTULO VII Cálculo Diferencial em R 1. Definição de derivada de uma função num ponto Interpretação geométrica do conceito de derivada Regras de derivação Introdução. Regras da soma, do produto e do quociente Regra de derivação de uma função composta Regra de derivação da potência em geral Regras de derivação das funções exponencial, logarítmica e exponencial potência Regras de derivação das funções trigonométricas Regras de derivação de uma função inversa. Aplicação às funções trigonométricas inversas Primeira derivada. Derivadas de ordem superior Funções diferenciáveis Teoremas fundamentais sobre funções regulares Extremantes relativos ou locais e extremantes absolutos de uma função Funções regulares. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy Algumas aplicações das derivadas Levantamento de indeterminações Estudo da monotonia e extremantes Estudo da convexidade e concavidade Exercícios 222 CAPÍTULO VIII Aproximação polinomial de funções 1. Polinómios de Taylor VI

Regras de cálculo de limites de funções. 151 6. Limites das funções trigonométricas e suas inversas.. 153 7. Continuidade pontual.. 156 8. Descontinuidades 158 9. Continuidade num conjunto.

7 2. Fórmula de Taylor Formas especiais do resto Aplicação da fórmula de Taylor no estudo dos máximos e mínimos Exercícios 238 CAPITULO IX Primitivas 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata Primitivação por partes Primitivação por substituição Exercícios 247 BIBLIOGRAFIA 252 VII

Exercícios 238 CAPITULO IX Primitivas 1. Generalidades.

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