I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA TAXAS DE JUROS. Taxas Proporcionais

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2 1º BLOCO...2 I. Matemática Financeira - André Arruda...2 2º BLOCO...6 I. Matemática - Daniel Lustosa...6 3º BLOCO I. Tabela de Acumulação de Capital... 10

3 I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA Taxas Proporcionais TAXAS DE JUROS Produzem os mesmos juros quando aplicados no mesmo prazo a juros simples. Exemplo: 6 % ao semestre. Taxa proporcional mensal: 6% 6 = 1 %. Taxa proporcional anual: 6% x 2 = 12 %. Taxa Nominal: É expressa em uma unidade de tempo diferente do prazo que é capitalizada. Exemplo: 12% ao ano capitalizado trimestralmente. Taxa Efetiva: É expressa na unidade de tempo que é capitalizada. Representa a verdadeira taxa cobrada. Exemplo: 2% ao mês com capitalização mensal. Obs: Podemos abreviar as taxas efetivas, omitindo a sua capitalização. Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva. A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período da capitalização. Exemplos: Taxas Equivalentes: São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, no regime de JUROS COMPOSTOS, produzem os mesmos montantes. Obs: No regime de juros simples, taxas proporcionais serão sempre equivalentes. Fórmulas: ou Legenda: i k = taxa do período maior. i = taxa do período menor. t = período. Dica:

4 Juros Simples taxas proporcionais. Juros Compostos taxas equivalentes. Exemplo: Qual a taxa semestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 44% a.a? CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMOS E INVESTIMENTO (TAXA REAL E APARENTE) A inflação provoca sérias consequências nas operações financeiras, como a ilusão monetária de rentabilidade. Num contexto inflacionário a taxa de juros, que é aquela praticada nos contratos, é formada por uma taxa real de juros e por uma taxa de inflação. Para termos o ganho real de uma operação financeira, devemos calcular a taxa de juros real, usando a expressão: Onde: (1+i) = (1+r). (1+if) i = taxa aparente (nominal). r = taxa real. if = taxa de inflação. Taxa Real: É a taxa efetiva depois de expurgarmos os efeitos da taxa inflacionária. Taxa Aparente: É a taxa em que não foram eliminados os efeitos inflacionários. Sem inflação a taxa real e a taxa efetiva serão iguais. Considere que a taxa nominal e a taxa efetiva, esteja relacionada no mesmo período. Dica: i > r + if EXERCÍCIOS 1. Uma pessoa que vive de rendimentos do mercado financeiro aplicou todos os seus recursos, o que lhe rendeu um retorno nominal de 20% no ano. Considerando-se que a inflação da cesta básica foi de 6% nesse mesmo ano, quantas cestas básicas a mais, em termos percentuais, ela poderá comprar após o retorno da aplicação? a) 12,8%. b) 13,2%. c) 14,0%. d) 14,8%. e) 15,0%. 2. Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, a) 12%. b) 12,49%. c) 12,55%. d) 13%. e) 13,43%. 3. Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de: a) 5%. b) 5,51%. c) 10%. d) 10,25%. e) 10,51%.

5 4. Em um período em que a taxa de juros compostos foi de 300%, a taxa de juros equivalente à metade do período considerado é igual a: a) 41%. b) 59%. c) 73%. d) 100%. e) 150%. 5. Uma empresa aplicou um capital de R$ ,00 pelo prazo de dois meses, ao final dos quais recebeu R$ 3.000,00 de juros. Considerando-se que a inflação acumulada no período foi de 2%, pelo método de cálculo de juros compostos, pode-se afirmar que a taxa de juros: a) Real foi de 1% ao mês. b) Real foi de 0,98% no período. c) Nominal foi de 3% ao mês. d) Nominal foi de 1% no período. e) Nominal foi de 2% no período. 6. Taxas equivalentes constituem um conceito que está diretamente ligado a regime de juros a) Compostos. b) Nominais. c) Proporcionais. d) Reais. e) Simples. 7. Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. A transformação de uma taxa anual (txa) em sua taxa equivalente semestral (txs) é possível através da operação: a) Txs = (1+txa) 6/12-1. b) Txs = (1+txa) 12/6-1. c) Txs = 1+(1txa) 12/6. d) Txs = (1-txa) 6/ e) Txs = 1- (1-txa) 12/6. 8. Sendo a taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal, a expressão matemática da taxa efetiva bimensal é: a) i e = 2 x [1 + 0,36/12]. b) i e = [1 + 0,36/12] 2-1. c) i e = [0,36/12] 2. d) i e = 2 x [0,36/12]. e) i e = [1 + 0,36] 1/ Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi: a) 0,5%. b) 5,0%. c) 5,5%. d) 10,0%. e) 10,5%. 10. Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0%. b) 72,8%. c) 67,5%. d) 64,4%. e) 60,0%.

6 11. A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é: a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa trimestral de: a) 1,3%. b) 2,0%. c) 2,1%. d) 3,0%. e) 3,03%. 13. A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral? a) 1,3%. b) 2,0%. c) 2,1%. d) 3,0%. e) 3,03%. 14. A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é: a) 19,58%. b) 19,65%. c) 19,95%. d) 20,00%. e) 21,55%. 15. Realizar uma operação financeira a uma taxa de 60% a.a, com capitalização mensal, é equivalente a realizar essa mesma operação, à taxa de juros composto semestral de: a) 24,00%. b) 26,53%. c) 27,40%. d) 30,00%. e) 34,01%. 1 - B 2 - C 3 - C 4 - D 5 - B 6 - A 7 - A 8 - B 9 - D 10 - B 11 - A 12 - D 13 - E 14 - E 15 - E GABARITO

7 I. MATEMÁTICA - DANIEL LUSTOSA CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...} é um conjunto infinito, ou seja, não tem fim. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z = {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...}; observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. Obs.: é evidente que N Z. Lembrete: 1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 2º: (-1) é o maior número negativo. 3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. Q = {x; x = p/q com p Z, q Z e q 0 }. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0, = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: É evidente que N Z Q. Toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0, = 4/9. Exemplo: 0, , , , , , Soma; Subtração; Multiplicação; Divisão; Potenciação. TRANSFORMANDO DIZIMAS EM FRAÇÕES OPERAÇÕES MATEMÁTICAS Chamamos de potenciação, um número real a e um número natural n, escrito na forma a n. Observe o seguinte produto de fatores iguais. 2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 2 3 onde o número 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.

8 O expoente informa quantas vezes a base vai ser multiplicado por ele mesmo. A base informa o fator a ser repetido. Potência é o resultado desta operação: 2 3 = lê-se, dois elevado a 3ª potencia ou dois elevado ao cubo. Exemplos: 3 2 = três elevado a segunda potência ou três elevado ao quadrado. 6 4 = seis elevado a quarta potência. 7 5 = sete elevado a quinta potência. 2 8 = dois elevado a oitava potência. Observações: 1ª) Todo número elevado a expoente um é igual a ele mesmo. 2 1 = 2, 3 1 = 3, 5 1 = 5, 6 1 = 6, 13 1 = 13, (1,2) 1 = 1,2, 2ª) Todo número diferente de zero elevado a expoente zero é igual a um. 4 0 = 1, 6 0 = 1, 8 0 = 1, 34 0 = 1, 26 0 = 1, (3,5) 0 = 1, 3ª) Potências de base = 1, 1 1 = 1, 1 2 = 1, 1 3 = 1, 1 12 = 1, toda potência de 1 é igual a 1. 4ª) Potências de base = 1, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Propriedades da Potenciação: 1ª) Multiplicação de potência de mesma base. Somamos os expoentes e conservamos a base, observe. 2 3 x 2 2 = = 2 5 = x 3 = = 3 4 = 81 4 x 4 2 x 4 3 = 4 6 = ª) Divisão de potência de mesma base. Subtraímos os expoentes e conservamos a base, observe. 2 3 : 2 2 = = 2 1 = : 3 2 = = 3 2 = : 7 3 = = 7 2 = 49 3ª) Potência de potência. Conservamos a base e multiplicamos os expoentes. (3 2 ) 2 = 3 2x2 = 3 4 = 81 [(3 2 ) 3 ] 2 = 3 2x3x2 = 3 12 = ª) Potência de frações. Tanto o numerador como o denominador são elevados ao expoente. (2/3) 4 = 2 4 /3 4 = 16/81 Potência com Expoente Negativo: Observe: (1/4)P = 1 16

9 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Regras para resolver as expressões: 1ª) se tiver (), [], {}, resolva-as nessa ordem 2ª) as operações serão resolvidas na seguinte ordem: potenciações e radiciações, multiplicações e divisões, por ultimo as somas e subtrações. Exemplo: 50 { 15 + [ 4² : ( 10 2 ) + 5 x 2 ] }= MÚLTIPLOS E DIVISORES São dois conceitos muito próximos e relacionados. Múltiplos de um número são todos os números que resultam da multiplicação desse número pelos números naturais. Já os divisores de um número são todos os números naturais que ao dividirem tal número, resultarão em uma divisão exata. Exemplo: Os primeiros 5 múltiplos de 4 são: 0, 4, 8, 12, 16. Dessa forma o 4 é divisor dos números 0, 4, 8, 12, 16. EXERCÍCIOS 1. No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C está a 48,7 mm do ponto A. Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C? a) 17,1. b) 23,1. c) 23,5. d) 23,9. e) 24,8. 2. Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais a 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto da divisão de x y por 5? a) 4. b) 3. c) 2. d) 1. e) Seja x um número natural que, dividido por 6, deixa resto 2. Então, ( x + 1) é necessariamente múltiplo de: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) Se a soma de dois números naturais não nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então: a) Pelo menos um dos números é múltiplo de 3. b) Um deles é par, se o outro for ímpar. c) Certamente os dois números são compostos. d) Os dois números podem ser iguais. e) Um dos números é, obrigatoriamente, primo.

10 5. Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12. Então, a soma dos algarismos do número x é: a) 3. b) 5. c) 9. d) 16. e) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que -8, o resultado encontrado será: a) -72. b) -63. c) -56. d) -49. e) Gilberto levava no bolso três moedas de R$ 0,50, cinco de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,25. Gilberto retirou do bolso oito dessas moedas, dando quatro para cada filho. A diferença entre as quantias recebidas pelos dois filhos de Gilberto é de, no máximo: a) R$ 0,45. b) R$ 0,90. c) R$ 1,10. d) R$ 1,15. e) R$ 1, E 2 - C 3 - B 4 - A 5 - A 6 - D 7 - E GABARITO

11 I. TABELA DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL