MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS COMPOSTOS

2 MF3 1 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para a capitalização simples, ou seja, é a soma do capital acrescido dos juros correspondentes ao período de tempo da aplicação. A nomenclatura é a mesma já definida para juros simples (C, M, r, i, n). Logo: JUROS COMPOSTOS: É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante do período anterior. OBS: A taxa de juros deve ser a mesma no período avaliado. CONVENÇÕES: Para calcular expoentes, usamos uma das seguintes técnicas: Calculadora Financeira Tabelas Financeiras Logaritmos Decimais (Base 10) Logaritmos Neperianos (Base = 2,717...) (1 + i ) n = Fator de capitalização NOMENCLATURA: C = Capital n = Período de tempo r = taxa percentual i = taxa centesimal M = Montante

3 MF3 2 CALCULO DO MONTANTE Fórmula M = C ( 1 + i ) n Exemplo: a) Calcule o montante produzido pôr um capital de R$ ,00, aplicado a juros compostos, a 5% ao mês, durante 2 meses. C = ,00 n = 2 meses r = 5% ao mês i = 5/100 = 0,05 am. M = C ( 1 + i ) n M = ,00 ( 1 + 0,05) 2 M = ,00. 1,1025 M = ,00 b) Uma pessoa toma emprestado a importância de R$ ,00 a juros de 3% am. pelo prazo de10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido e qual o valor dos juros? C= R$ ,00 r = 3 % a.m. i = 3/100 = 0,03 a.m. n = 10 meses M = C ( 1 + i ) n M = ,00 ( 1 + 0,03 ) 10 M = ,00. 1,34392 M = R$ ,49 J = M C J = , ,00 J = R$ ,49

4 MF3 3 c) Calcule o montante de um Capital de R$ ,00 aplicado a juros compostos a taxa de 3,5% ao mês durante 35 meses? C = ,00 r = 3,5 % am i = 3,5/100 = 0,035 n = 35 meses M = ,00 ( 1 + 0,035 ) 35 M = ,00. 3,33359 M = R$ ,80 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule o montante de R$ ,00 aplicado a juros compostos 2,25% am no fim de 4 meses? 2) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 pôr um prazo de 8 meses no regime de capitalização composta à taxa de 15% ao mês? 3) Calcule o Montante de uma aplicação de R$ ,00, á taxa de 5% am pelo prazo de 1 mês. 4) Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos de R$ ,00, pelo prazo de 6 meses á 3% ao mês? 5) Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês? 6) A que taxa um capital de R$ ,00 pode ser dobrado em 18 meses? 1) M = R$ ,16 2) M = R$ 9.237,24 3) M = R$ ,00 4) M = R$ ,78 5) n = 11 meses 6) r = 3,93% a.m. Respostas

5 MF3 4 Cálculo do Capital Fórmula: C = M. ( 1 + i ) -n OU C = M. 1 _ ( 1 + i ) n EXEMPLO: a) Calcule o Capital inicial que no prazo de 5 meses, à 3 % am produziu o montante de R$ ,00? C =? n = 5 meses r = 3 % a.m. i = 3/100 = 0,03 a.m. M = ,00 C = ,00. (1 + 0,03) -5 C = ,00. 1 (1 + 0,03) -5 C = , ,15927 C = ,00. 0,86261 C = R$ ,40 b) Sabendo-se que um capital inicial em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m., durante 4 meses rendeu o montante de R$ ,00. Calcule o Capital?

6 MF3 5 C =? r = 2,5 % a.m. i = 2,5 / 100 = 0,025 a.m. n = 4 meses M = R$ ,00 C = ,00. 1 ( 1 + 0,025) 4 C = , ,10381 C = ,00. 0,90595 C = R$ ,37 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) No final de 2 anos, o Sr Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ ,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos ( já incluídos no valor do pagamento ), correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? 2) Uma pessoa pagará R$ ,00 pelo pagamento de uma dívida contratada por 10 meses à taxa de 3% a.m. Calcule o Capital e os Juros? 3) Um empréstimo foi quitado por R$ 2.850,00, tendo sido contratado pôr 6 meses, à taxa de 3,88% ao mês. Calcule o Capital inicial? Respostas: 1) C = R$ ,52 2) C = R$ ,62 J = R$ ,38 3) C = R$ 2.268,05

7 MF3 6 Cálculo do Período de Tempo Exemplo: Em que prazo uma aplicação de R$ ,00, produz um montante de R$ ,00, à taxa de 4% ao mês? M = C ( 1 + i ) n ,00=10.000,00 (1 + 0,04) n ,00 = 1,04 n ,00 2 = 1,04 n ( Podemos acrescentar Ln ou log. dos dois lados da igualdade que não alteramos a igualdade ). ln 2 = ln 1,04 n (usando a propriedade dos logaritmos, o expoente passa a multiplicar a base). ln 2 = n. ln 1,04 0,69315 = n. 0, ,69315 = n 0, ,67338 meses = n n = 17,67338 meses

8 MF3 7 Cálculo da Taxa de Juros Exemplo: Um capital inicial de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 6 meses, e rendeu um montante de R$ ,00. Calcule a taxa de juros da operação? M = C ( 1 + i ) n ,00 = ,00 ( 1 + i ) ,00 = ( 1 + i ) ,00 1,26531 = ( 1 + i ) 6 ( Podemos acrescentar uma raíz de grau 6 dos dois lados da igualdade que não se altera a igualdade) ,26531 = (1 + i) 6 (1,26531) 1/6 = 1 + i 1,04082 = 1 + i 1, = i 0,04082 = i i = 0,04082 OU r = i. 100 = 0, = 4,08% ao mês

9 MF3 8 EXERCÍCIOS: 1) Em que prazo uma aplicação à juros compostos no valor de R$100,000,00 produz um montante de R$ ,00 à taxa de juros de 3% ao mês? 2) Em que prazo uma aplicação à juros compostos no valor de R$1.100,000,00 produz um montante de R$ ,00 à taxa de juros de 2,83% ao mês? 3) Um capital inicial de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 8 meses, e rendeu um montante de R$ ,00. Calcule a taxa de juros da operação? 4) Um capital inicial de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 18 meses, e rendeu um montante de R$ ,00. Calcule a taxa de juros da operação? Respostas 1) n = 13 meses 2) n = 17 meses 3) r = 9,05077% a.m. 4) r = 0,86007% a.m.

10 MF3 9 TAXAS EQUIVALENTES Definição: São aquelas que, referindo-se a unidades de tempo diferentes (ano, mês, dia, etc...), fazem com que o capital produza o mesmo montante no mesmo período de tempo. OBS : Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. EX: 24 % ao ano não é equivalente à 2% ao mês. As taxas proporcionais variam linearmente em função do tempo e as taxas equivalentes variam exponencialmente em função do tempo.. Convenções para Transformação de Períodos de Tempo De Ano para: Semestre = ½ Trimestre=1/4 Bimestre = 1/6 Mês = 1/12 Dia = 1/360 De Dia para : Mês = 30 Bimestre = 60 Trimestre= 90 Semestre= 180 Ano = 360 FÓRMULA DE TAXA EQUIVALENTE ( 1 + i ) n - 1 EXEMPLO: a) Calcule a taxa trimestral equivalente à 30% ao ano. (1 + 0,3) 1/4-1 (1,3) 0,25-1 1,06779 i = 0,06779 ao trimestre

11 MF3 10 b) Considerando que a inflação média dos últimos 12 meses tem sido de aproximadamente 1,6 % ao mês, projete a inflação anual. ( 1 + 0,016) 12-1 (1,016) , i = 0, ou r = 0, x 100 = 20,983 ao ano Exercicios: 1) Calcule a taxa equivalente à 0,9 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual 2) Calcule a taxa equivalente à 120 % ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária 3) Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 158% ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária 4) Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 0,2 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual

12 MF3 11 1) a) i = 0,0003 ao mês b) i = 0,00015 ao bimestre c) i = 0,00010 ao trimestre d) i = 0,00005 ao semestre e) i = 0,00002 ao ano f) i = 0,00001 trianual 2) a) i = 0,48324 ao semestre b) i = 0,21788 ao trimestre c) i = 0,14043 ao bimestre d) i = 0,06791 ao mês e) i = 0,00219 ao dia 3) a) i = 0,60624 ao semestre b) i = 0,26737 ao trimestre c) i = 0,17113 ao bimestre d) i = 0,08219 ao mês e) i = 0,00264 ao dia 4) a) i = 0,06177 ao mês b) i = 0,12736 ao bimestre c) i = 0,19700 ao trimestre d) i = 0,43281 ao semestre e) i = 1,05296 ao ano f) i = 7,65245 trianual

13 MF3 12 Lista de Exercícios - JUROS COMPOSTOS 1. Dada a taxa de juros de 138% ao ano, calcule as taxas proporcionais e as equivalentes, nas seguintes condições: a)diária; b) quinzenal; c) mensal; d) bimensal; e)trimestral; f)semestral. 2. Dada a taxa de juros de 0,02% ao dia, calcule as taxas proporcionais e a equivalentes nas seguintes condições: a) Quinzenal; b) mensal; c)bimestral; d)trimestral; e) semestral; f) anual; g) quinzenal. 3. Calcule o montante de uma aplicação de R$ ,00, á taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 3 meses. 4. A técnica de calculo de juros compostos permite trabalhar com taxas variáveis no tempo? 5. Determine o juro de uma aplicação de R$ ,00, á 4,5% ao mês, capitalizado semestralmente durante 8 meses. 6. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800,00, em regime de juros compostos, aplicado por 4 meses, á taxa de 38% ao ano. 7. Determine o Capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ , Quanto devo aplicar, em regime de juro composto, á taxa de 30% ao ano, para obter em 1 ano e 3 meses a importância de R$ , Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 produzira um montante de R$ ,00, á taxa de 3% ao mês. 10. Durante quanto tempo R$ ,00 produzem R$14.846,00 de juro, á taxa de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente. 11. Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juro composto durante 7 meses, rendendo R$ ,00 de juro.determine a taxa de aplicação. 12. O capital de R$ ,00, colocado a juro composto capitalizado mensalmente durante 8 meses, elevou-se ao final deste período a R$ ,00.Calcule a taxa de juros. 13. Em quanto tempo uma aplicação renderá o dobro de seu valor á taxa de 2 % ao mês? 14. Qual a diferença fundamental entre taxa proporcional e taxa equivalente? Justifique e exemplifique sua resposta. 15. Qual o montante produzido por R$ ,00 aplicado à juros compostos à taxa de 180% ao ano, por dois meses?

14 MF Estabeleça quais os procedimentos (seqüências, operações, etc...), para resolver todos os exercícios acima, utilizando a sua calculadora financeira; exemplifique com detalhes. 17. Calcule o Capital aplicado à juros compostos que rendeu R$ ,00, num período de 3 meses, à taxa de 80 % ao ano? 18. Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos, de capital inicial de R$ ,00, aplicado por 8 meses, à taxa de juros de 0,87% ao dia? 19. Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 produz um montante de R$ ,00, à taxa de juros de 10% ao mês? RESPOSTAS 1) A) i = 0,00241 ao dia B) i = 0,03679 quinzenal C) i = 0,07493 ao mês D) i = 0,15548 ao bimestre E) i = 0,24206 ao trimestre F) i = 0,54272 ao semestre 2) A) i = 0,003 quinzenal B) i = 0,00602 ao mês C) i = 0,01207 ao bimestre D) i = 0,01816 ao trimestre E) i = 0,03665 ao semestre F) i = 0,07465 ao ano G) i = 0,003 quinzenal 3) M = R$ 87418,16 4) 5) J = R$ ,12 6) M = R$ 7.570,68 7) C = R$ ,73 8) C = R$ ,65 9) n = 13 meses 10) n = 9 meses 11) r = 2,50% a.m.

15 MF ) r = 3,30% a.m. 13) n = 35 meses 14) Taxa Proporcional, os juros são lineares (juros simples) e Taxa Equivalente os juros são exponenciais (juros compostos) 15) M = R$ ,00 16) 17) C = R$ ,52 18) M = R$ ,04 19) n = 8 meses