Apostila de Matemática Financeira Parte 01

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1 Apostila de Matemática Financeira Parte 01 Autor: Guilherme Yoshida Facebook: facebook.com/guilhermeyoshida90 Google+: Blog: Como Calcular Curta a Página do Blog no Face: facebook.com/blogcomocalcular

2 Capítulo Conceito dos Elementos Básicos da Matemática Financeira Porcentagem Representa parte de um número. Capital(C) Valor aplicado. Juros(J) Rendimento de uma aplicação. Taxa de Juros Porcentagem aplicada a um capital que rende juros. Montante(M) É o capital acrescido de juros. Capitalização Incidência da taxa de juros sobre o capital. Desconto É o abatimento dado sobre um título de crédito quando resgatado antes do seu vencimento. Valor Atual ou Valor Líquido(A) Valor de um montante com desconto. Valor de Face ou Valor Nominal(N) Valor total de um título na data do vencimento. 1.2 Taxa de Juros e Taxa Unitária Taxa unitária(i) é a taxa de juros dividida por 100. A taxa de juros é mais usada quando queremos representar uma taxa. Ex.: 14%, 5%. Já a taxa unitária é mais usada quando vamos resolver as operações matemáticas. Como passar taxa de juros para taxa unitária? Exemplos e exercícios:

3 1.3 Fator de Capitalização e de Descapitalização Fator de capitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor para que tenhamos o valor com aumento. Ex.: Se um produto custava R$ 200 e teve um aumento de 30%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 200 pelo fator de capitalização, que é 1,3. Assim o produto passou a custar R$ 260. Como calcular o fator de capitalização? Exemplos e exercícios: Aumento de 15,6% Aumento de 22,3% Aumento de 0,89% Aumento de 59,31% Aumento de 67% Aumento de 9,8% Fator de descapitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor para que tenhamos o valor com desconto. Ex.: Se um produto custava R$ 400 e teve um desconto de 25%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 400 pelo fator de descapitalização, que é 0,75. Assim o produto passou a custar R$ 300. Como calcular o fator de descapitalização? Exemplos e exercícios: Desconto de 20% Desconto de 69,5% Desconto de 39,8% Desconto de 47,02% Desconto de 15,4% Desconto de 99,32%

4 Capítulo Taxa Proporcional e Taxa Equivalente Taxa proporcional é utilizada no regime de capitalização simples, quando aplicamos taxa de juros simples. Para encontrarmos a taxa proporcional, basta multiplicarmos a taxa pelo período de tempo que ela será empregada. Em regime de juros simples, uma aplicação rende 5%a.m. Qual é a taxa de rendimento semestral? Se em um mês rende 5%, então em seis meses vai render 30%. Taxa equivalente é utilizada no regime de capitalização composta, quando aplicamos taxa de juros composto. Para determinarmos a taxa equivalente vamos aplicar uma fórmula bem simples. i = taxa unitária n = período de aplicação Uma compra foi parcelada em quatro vezes com taxa de juros composto de 3%a.m. Qual será a taxa de juros total paga ao final das prestações? Exercício: Uma dívida foi renegociada e parcelada em dez vezes com taxa de juros composto de 4,2%a.m. Qual é a taxa equivalente dessa renegociação? Taxa Aparente e Taxa Real Taxa aparente não leva em consideração a inflação. Então se você ganhou um aumento de salário de 9% e a inflação no período foi de 7%, isso significa que seu poder aquisitivo não aumentou 9%, é um aumento aparente. A taxa real tem como objetivo descontar a inflação do período. Como calcular a taxa real? Um investidor teve 12% de rentabilidade com seus investimentos em um ano. Sabendo que no mesmo período a inflação foi de 8%, qual foi a taxa real de rentabilidade desse investidor?

5 Exercício: Em um ano a poupança rendeu 7%. No mesmo período a inflação apurada foi de 10%. Qual foi a taxa real da aplicação na poupança? Uma aplicação em CDB rendeu 21% em dois anos de aplicação. Sabe-se que no primeiro ano a inflação foi de 9% e no segundo ano foi de 7,5%. Qual foi a taxa real dessa aplicação? Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa nominal é quando o período de capitalização é diferente do prazo informado. A grande vantagem da taxa nominal para o comércio é que ela deixa a taxa mais atraente por não representar a taxa real que será cobrada, que é a grande desvantagem para o consumidor. Exemplos: 10%a.m / bimestre (capitalizada bimestralmente) 30%a.a / dia (capitalizada diariamente) 25%a.s / mês (capitalizada mensalmente) Taxa efetiva é quando o período de capitalização é igual ao do prazo informado. Com a taxa efetiva o consumidor sabe quanto pagara efetivamente ao final das prestações. Exemplos: 10%a.m / mês (capitalizada mensalmente) 30%a.a / ano (capitalizada anualmente) 25%a.s / semestre(capitalizada semestralmente) Como calcular a taxa efetiva a partir da taxa nominal? Aplicando a técnica de taxa proporcional. Qual é a taxa efetiva semestral de uma taxa nominal de 36%a.a capitalizada bimestralmente? Use a proporção: 36%a.a = 6%a.b Use a equivalência: 6%a.b = Exercícios: 1) Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 42,6%a.s capitalizada mensalmente? 2) Qual é a taxa efetiva mensal de uma taxa nominal de 35%a.a capitalizada semestralmente? 3) Qual é a taxa efetiva bianual de uma taxa nominal de 22,5%a.a capitalizada trimestralmente?

6 Capítulo Capitalização Simples e Composta Capitalização simples é utilizada para calcular juros simples (tópico 3.2). Capitalização composta é utilizada para calcular juros composto (tópico 3.3). Vamos supor que um investidor aplicou um capital que rende uma taxa de juros de 10%a.m. Qual será a diferença dos rendimentos se o regime de capitalização for simples ou composta? Vejam a diferença quando um capital é aplicado a regime de capitalização simples e outro que é aplicado a regime de capitalização composta. No regime de capitalização simples os juros ao final de cinco meses de aplicação foram de R$ 50. Já no regime de capitalização composta os juros apurado no mesmo período foi de R$ 61,05. Enquanto na capitalização simples o montante cresce linearmente na capitalização composta o montante cresce exponencialmente.

7 3.2 Juros Simples Juros Simples Montante Legenda: J = Juros C = capital i = taxa unitária t= tempo É importante lembrar que para resolver os exercícios corretamente a unidade temporal da taxa e do período de aplicação deve ser os mesmos. Ex.: Se a taxa for i = 1%a.m, o tempo tem que ser dado em meses. Se o a taxa for i = 1%a.s e o tempo for t = 36 meses, então devemos passar o tempo de meses para semestre, t = 6 semestres. Um investidor aplicou R$ 500 a uma taxa de juros simples de 4%a.m durante 1 semestre. Qual foi o juros resgatado pelo investidor? C = 500 i = 4%a.m t = 1 semestre = 6 meses (Simples assim!) Continuando esse exemplo, qual foi o montante resgatado? 3.3 Juros Composto Montante Legenda: C = capital i = taxa unitária t= tempo Em juros compostos utiliza-se nos exercícios a fórmula do montante. Tendo o montante e o capital, para encontrar os juros basta subtrair Da mesma forma que nos juros simples a unidade temporal da taxa e do período de aplicação deve ser os mesmos. Um investidor aplicou R$ 700 a uma taxa de juros composto de 5%a.a durante 48 meses. Qual foi o juros e o montante resgatado pelo investidor? C = 700 i = 5%a.a t = 48 meses = 4 anos

8 Capítulo 4 O desconto ocorre quando há antecipação no pagamento de um título. Assim, um ativo que valeria R$ se ficasse aplicado durante 2 anos, valerá somente R$ se resgatado em 1,5 ano de aplicação, por exemplo. 4.1 Desconto Simples Precisamos conhecer dois tipos de desconto simples: desconto comercial e desconto racional Desconto Comercial Simples O desconto comercial simples é calculado com base no valor nominal do título. Outras nomenclaturas comuns são: desconto bancário e desconto por fora. Dc = desc. comercial; N = valor nominal; i d = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo Um título com valor nominal de R$ foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento. Qual é o desconto comercial simples e o valor atual desse título se a taxa de desconto foi de 3%a.m? N = R$ 5mil t = 4 meses i d = 3%a.m Ou Desconto Racional Simples O desconto racional simples é calculado com base no valor atual do título. Outras nomenclaturas comuns são: desconto verdadeiro e desconto por dentro.

9 D r = desc. racional; N = valor nominal; i d = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo Um título de R$ 1000 foi resgatado 10 meses antes do seu vencimento. Considerando que a taxa de desconto racional simples foi de 4%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor resgatado? N = 1000 t = 10 meses i r = 4%a.m 4.2 Desconto Composto Assim como no desconto simples, existem dois tipos de desconto composto: desconto comercial e desconto racional Desconto Comercial Composto Também conhecido como desconto por fora, o desconto comercial composto é calculado sobre o valor nominal do título. D c = desc. comercial; N = valor nominal; i d = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo Um título de R$ foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento. Considerando que a taxa de desconto comercial composto foi de 2%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor resgatado? N = 1000 t = 5 meses i r = 2%a.m

10 4.2.1 Desconto Racional Composto Conhecido como desconto por dentro ou racional. D r = desc. racional; N = valor nominal; i = taxa de desconto; A = valor atual; n = prazo Coloquei a fórmula do desconto, mas a maneira mais fácil de calcular o valor do desconto é usando. Um título de R$ foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento. Considerando que a taxa de desconto racional composto foi de 2%a.m, qual foi o valor resgatado? N = 2000 n = 3 meses i r = 2%a.m