JUROS E TAXAS INTRODUÇÃO

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1 JUROS E TAXAS MARCOS CARRARD [email protected] INTRODUÇÃO A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se possível muito bem. 1

2 TÓPICOS Regime de Juros Simples Juros Compostos Fluxo de Caixa Taxa Nominal x Taxa Efetiva CONCEITOS Capital (C ou PV) é o valor normalmente dinheiro que você pode aplicar ou emprestar. Também chamado de Capital Inicial ou Principal, representado pela letra C ou PV (Valor Presente abreviação das palavras correspondentes em inglês a Present Value. Adotaremos PV ). 2

3 CONCEITOS JURO é a remuneração do capital empregado. Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo CONCEITOS TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.). Representado pela letra i Esse período é representado pela letra n ou t. Taxa percentual: 34% ao mês Taxa unitária: 0,34 ao mês 3

4 CONCEITOS MONTANTE (M) ou VALOR FUTURO (FV abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra M ou FV, ou seja: M = C + J ou FV = PV + J REGIME DE JUROS Existem dois regimes de juros: A) simples B) compostos 4

5 JUROS SIMPLES No regime de juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. JUROS SIMPLES Exemplo 1: Para um capital de $ , aplicado à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses, teríamos: n PV J juros acumulados Montante (PV+J) 10%

6 JUROS SIMPLES Dedução da fórmula: J = C x i Para os juros acumulados: J = C. i. n JUROS SIMPLES Se: M = C + J, temos: Assim: M= C + C. i. n M = C (1 + i. n) 6

7 JUROS SIMPLES Os juros simples têm crescimento constante ao longo do período de aplicação. Os juros simples podem ser: Exatos: calendário civil (365 ou 366 dias) Ordinários: calendário comercial (mês 30 dias, ano de 360 dias) JUROS SIMPLES Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou $ , a juros simples de 5% ao mês, por 90 dias. Quanto rendeu sua aplicação? Quanto resgatou? 7

8 JUROS SIMPLES Observe que o período da aplicação está em dias e taxa ao mês. Nesse caso precisamos transformálos para mesma periodicidade, ou seja, ou passamos a taxa ao dia (dividindo-a por 30) ou encontramos o número de meses que temos em 90 dias (dividindo por 30). Vamos transformar n em meses: JUROS SIMPLES n = 90 / 30 = 3 meses Aplicando na fórmula: J = x 0,05 x 3 J = M = M=

9 JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados. JUROS COMPOSTOS PV ou C = Capital inicial n = Números de períodos FV ou M = Montante no regime de juros compostos No regime de juros compostos, a taxa de juros (i) incide sobre o montante (C+J) do período anterior. Portanto, difere do regime de juros simples, em que a incidência é sempre sobre o capital inicial (C). 9

10 JUROS COMPOSTOS Exemplo 1: Para um capital de $ ,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, em juros compostos, por 3 meses, teríamos: n PV J juros acumulados Montante (PV+J) 10% JUROS COMPOSTOS Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n=0, o capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do montante do período anterior pela taxa de juros. 10

11 JUROS COMPOSTOS A) Primeiro período: Juros: J 1 = C x i J 1 = x 0,10 = Montante: M 1 = C + C x i M 1 = C ( 1 + i ) Montante do primeiro período JUROS COMPOSTOS B) Segundo Período Juros: J 2 = M 1 x i J 2 = x 0,10 = Verifique que o juro aumentou em 1.000, que corresponde à parcela incidente sobre os juros do período anterior ( x 0,10). Por isso os juros compostos são chamados de juros sobre juros. 11

12 JUROS COMPOSTOS Montante: M 2 = M 1 + J 2 M 2 = M 1 + FV 1 x i M 2 = M 1 ( 1 + i ) M 2 = M ( 1 + i ) x ( 1 + i ) M 2 = M ( 1 + i ) 2 Montante 2.º período JUROS COMPOSTOS C) Terceiro Período: Juros: J 3 = M 2 x i J 3 = x 0,10 = Montante: M 3 = M 2 + J 3 M 3 = M 2 + M 2 x i M 3 = C ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i ) M 3 = C( 1 + i ) 3 Montante 3.º período 12

13 JUROS COMPOSTOS Portanto, generalizando a fórmula para n períodos, temos: M n = C ( 1 + i) n ESTA É A FÓRMULA GERAL DE JUROS COMPOSTOS. JUROS COMPOSTOS Observação: A unidade de tempo utilizada para o período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em: Dia taxa em dia (i% a.d.); Mês taxa em mês (i% a.m.); Ano taxa em ano (i% a.a.) 13

14 JUROS COMPOSTOS Outro exemplo: Uma aplicação de $ ,00, pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), capitalizável mensalmente, quanto renderá? M n = C( 1 + i) n JUROS COMPOSTOS FV= ( 1,05 ) 3 FV = ,25 Esse é montante, os juros (rendimentos) são: J = MONTANTE CAPITAL INICIAL J = , ,00 J = 7.881,25 Veja o que ocorreu em cada período no quadro a seguir: 14

15 JUROS COMPOSTOS Período Capital Taxa Juros do Período Montante n PV i J FV ,00 5% 2.500, , ,00 5% 2.625, , ,00 5% 2.756, ,25 JUROS SIMPLES X COMPOSTOS 15

16 CONVENÇÃO LINEAR consiste em desdobrar a capitalização pelo regime de juros compostos pela parte inteira do período e pelo regime de juros simples na parte não inteira ou decimal do período. CONVENÇÃO LINEAR uma empresa aplicou um capital de R$ ,00 durante 4,6 meses, através da convenção linear, a juros de 4% ao mês. Desta forma, calcula-se a aplicação através de juros compostos por 4 meses e por juros simples pelo período de 0,6 meses ou 18 dias. O montante apurado foi de R$ ,30. 16

17 JUROS COMPOSTOS: ANÁLISE DE TAXAS Muitas vezes, no momento da tomada da decisão de realizar uma Operação Financeira, nos deparamos com taxas em tempos diferentes. Essas diferenças se não forem reajustadas podem causar conclusões errôneas, como por exemplo, achar que 1% ao dias é igual a 30% ao mês. Para que não ocorra tal conclusão, vamos utilizar sempre que for necessário, a fórmula de Taxas Equivalentes no regime composto. JUROS COMPOSTOS: ANÁLISE DE TAXAS Equivalência de Taxas:

18 JUROS COMPOSTOS: ANÁLISE DE TAXAS i tenho 20% a.m. 10% a.m. 5% a.d. 120%a.a. i quero a.d. a.a. a.s. a.t. Resultado JUROS COMPOSTOS: ANÁLISE DE TAXAS i tenho 20% a.m. 10% a.m. 5% a.m. 120%a.a. i quero a.d. a.a. a.s. a.t. Resultado 0,609% a.d 213,84%a.a 34,0% a.s 21,78%a.t. 18

19 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Taxa nominal (i n ) É uma taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização de juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros. TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Lembre-se, na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização! Exemplo 1: 35% ao ano, com capitalização mensal; 16% ao ano, com capitalização semestral; 8 % ao mês, com capitalização diária. 19

20 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. A taxa que representa o efetivo ganho/custo financeiro do negócio é a TAXA EFETIVA. TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Taxa Efetiva (i e ) É a que corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva. Exemplo 2: 40% ao ano, com capitalização anual; 18% ao semestre, com capitalização semestral; 4% ao mês, com capitalização mensal. 20

21 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Como se obtém a taxa efetiva para o período de capitalização de juros? a) A partir de uma taxa nominal Neste caso, você aplica o conceito de taxas proporcionais (juros simples): TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA I e = i n k Onde: i e = taxa efetiva para o período de capitalização i n = taxa nominal k = número de capitalizações contidas no período da taxa nominal 21

22 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Exemplo: 36% ao ano, com capitalização mensal: (1 ano = 12 meses) k = 12 I e = i n = 36 = 3 % ao mês k 12 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Calcule: 01-48% ao ano, com capitalização semestral % ao ano, com capitalização trimestral % ao mês, com capitalização anual. 04-2% ao dia, com capitalização mensal. 22

23 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA b) Obtenção da taxa efetiva a partir de outra taxa efetiva, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros. Aqui se aplica o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Exemplo: A partir da taxa nominal de 36% ao ano, cuja taxa efetiva é de 3% ao mês, determinar a taxa efetiva anual equivalente. iq = [(1+it)^nq/nt 1 ] x 100 iq = [(1,03)^12/1 1] x 100 Taxa equivalente = 42,58% ao ano. Assim: A taxa efetiva anual equivalente à taxa efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, enquanto que a taxa nominal ao ano é de 36%. 23

24 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA Complete o quadro a seguir, calculando as taxas efetivas correspondentes à taxas nominais dadas: Taxa Nominal Taxa Efetiva Taxa Capitalização trimestre semestre ano 33 dias A 7,97% a.a. mensal B 45% a. s mensal C 8,5% a.a. semestral D 17% a.m. diária E 6% a.a. bimestral F 1,51% a.t. diária TAXAS UNIFICADAS (I U ) Algumas modalidades financeiras possuem taxas compostas por um indexador e determinada taxa de juros. É o caso, por exemplo, da caderneta de poupança. Seu rendimento é TR (Taxa Referencial) mais 0,5% ao mês. O rendimento total é obtido com a unificação dessas duas taxas. Veja bem: unificar as taxas e não somar as taxas! 24

25 TAXAS UNIFICADAS (I U ) A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil, onde vários indexadores na verdade taxas de correção monetária são colocadas no mercado (IGP-M, TR, etc) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação. Nosso problema é, tendo duas taxas (i 1 e i 2 ), tornálas única i u de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra. TAXAS UNIFICADAS (I U ) Cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las: i u i 1 + i 2 A fórmula de unificação é: i u = [ ( 1 + i 1 ) x ( 1 + i 2 ) 1 ] x