1 - Conceituação e importância do estudo da matemática financeira

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1 1 - Conceituação e importância do estudo da matemática financeira É o ramo da matemática que tem como objeto de estudo o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Avalia-se a maneira como este dinheiro está sendo ou será empregado de maneira a maximizar o resultado, que se espera positivo. Com as ferramentas adequadas pode-se também comparar entre duas ou mais alternativas, aquela que mais benefícios nos trará, ou menos prejuízo acarretará. Na atual economia, que se diz globalizada, não se concebe qualquer projeto, seja de que área for, em que o aspecto financeiro não seja um dos mais relevantes para sua execução. No dia-a-dia das famílias ocorre o mesmo fenômeno. Discutese cada vez mais o último IGP, a inflação ou deflação, a taxa de juros básicos da economia a famosa SELIC divulgada após longas reuniões do COPOM. Enfim, números, índices e taxas que em são fundamentais para o entendimento da matemática financeira. Abaixo situações em que a matemática financeira está envolvida: Imagine a decisão entre comprar aquele fogão em 10 vezes sem juros ou pouparmos o dinheiro para comprarmos o mesmo produto à vista. Quais os custos envolvidos nessa decisão? Como avaliar monetariamente a decisão? Pois é. Quantas vezes já não nos vimos diante deste e de outros dilemas, que podem parecer simples, mas, se você não possuir alguns conhecimentos básicos, parecem insolúveis? Então, a matemática financeira se ocupa em estudar e fornecer as tais ferramentas adequadas para a tomada de decisão com a maior precisão possível. Se na vida pessoal já temos que tomar decisões que nos afetarão por um bom tempo, imagine na vida de uma empresa cujo faturamento, na maioria das vezes é bastante superior a renda de uma família. Note que as decisões são, basicamente, as mesmas. O que muda são os efeitos e o grau de precisão com que os cálculos devem ser feitos.

2 Assim o estudo da matemática financeira se reveste de vital importância para qualquer pessoa que almeje entender o mundo atual tal qual ele se apresenta: Fluxos de capital em corrente pelo mundo, tornando economias, hoje estáveis, em instáveis de uma hora para outra. Decisões de cunho social, sendo tomadas considerando como mais relevantes aspectos financeiros. Enfim, o dinheiro ditando as regras em quase todos, senão todos os aspectos de nossas vidas. Já não cabe discutir se isso é bom ou mau, até porque não dá para se discutir aquilo que não entendemos. Cabe-nos tentar compreender essa nova realidade, da melhor maneira possível para, aí sim tentarmos alterá-la para o que julgamos melhor. 2. Elementos básicos em Matemática Financeira Por mais práticos que possamos querer ser, alguns princípio básicos devem ser seguidos. Assim iniciaremos nosso estudo da maneira tradicional e iremos aos poucos demonstrando a aplicação dos conceitos nas atividades da empresa. Apresento a seguir os termos mais comumente encontrados nos relacionamentos financeiros: Capital Valor aplicado através de alguma transação financeira. Nas operações de crédito pode ser conhecido como Principal. Também pode ser tratado como Valor Atual, Valor presente ou Valor Aplicado. Note que o mais importante não é a maneira como ele é chamado, mas sim o fato de que é sobre ele que incidirão os encargos financeiros, também conhecidos como juros.

3 Juros Juros representam a remuneração do capital empregado, seja pelo Banco seja pela Empresa. Quando você aplica um capital em algo, está tomando uma decisão de adiar um consumo, certo? Assim, você espera obter de alguma forma um prêmio por ter deixado de consumir e ter poupado. Esse prêmio é representado pelo juro que você recebe, caso aplique num CDB de um Banco ou empreste o dinheiro a algum amigo. Montante Montante é a soma do capital com os juros. Pode também ser chamado de valor futuro (capital empregado mais à soma dos juros no tempo correspondente). As notações mais comumente apresentadas pelas publicações são representadas abaixo. A seguir monenclaturas da matemática financeira. Antes de efetuar os cálculos é interessante o conhecimento delas. C = Capital n = número de períodos (dias, meses, anos ou simplesmente nº. de parcelas) j = juros simples decorridos n períodos J = juros compostos decorridos n períodos r = taxa percentual de juros i = taxa unitária de juros (i = r/100) P = principal ou valor atual M = Montante de capitalização simples S = Montante de capitalização composta. Obs: Notem que existem notações em letras maiúsculas e minúsculas e que tem sentidos diferentes.

4 Sempre que possível, utilizaremos os termos com os quais identificamos os valores no dia-a-dia. Como: Taxa: representação do juro em sua forma porcentual. Ex: 4,50% ao mês Montante: valor do principal mais encargos, independente do tipo de capitalização. Prazo: tempo decorrido Principal: valor total financiado Parcelas: número de prestações ou períodos de pagamento 3. Tipos de juros Juros simples São calculados apenas sobre o principal. Juros compostos Após cada período, o valor dos juros é incorporado ao Capital (a partir de agora utilizaremos a notação Principal que é como os Bancos chamam). Compatibilidade dos dados Para que possamos efetuar os cálculos os dados devem estar expressos de forma compatível. Ou seja, se uma taxa está representada de forma anual, o prazo também deverá estar. Da mesma forma se estiver representada de forma mensal. Fórmulas básicas Existe proporcionalidade em relação as variáveis C, i e n. A variação de qualquer uma ou mais (aumentando ou diminuindo), causará variação (mais ou menos) nos juros.

5 Por isso podemos escrever: j =C x i x n Todas as fórmulas se desenvolvem supondo a existência destas três variáveis: Exemplo: a) Fórmula do montante - Juros simples: M = C + j M = C(1 + in) b) Fórmula do montante - juros compostos: M = C (1 + i) n c) Fórmula da prestação - anuidade PMT = PV x (1 + i) n x 1 (1 + i) n 1 Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos. Exemplo: As taxas de 12% ao ano e de 1% ao mês são proporcionais, pois 12% / 12 = 1 1% / 1 = 1

6 3.1 JUROS SIMPLES No conceito de juros simples, o resultado é sempre obtido sobre o valor principal, sem incorporação ao capital para efeito de cálculo dos juros de um período sobre o período seguinte. Vamos tomar o seguinte exemplo: Capital de R$10.000,00, juros de 2% ao mês, e prazo de 6 meses. Verifique a tabela abaixo. Capital [C] Taxa de Juros [i] Prazo [t] Juros [J]=[i]x[C] Montante M=C+J ,00 2%x1=2% 1 mês ,00 x 2% = 200, , ,00 2%x2=4% 2 meses ,00 x 4% = 400, , ,00 2%x3=6% 3 meses ,00 x 6% = 600, , ,00 2%x4=8% 4 meses ,00 x 8% = 800, , ,00 2%x5=10% 5 meses ,00 x 10% = 1.000, , ,00 2%x6=12% 6 meses ,00 x 12% = 1.200, ,00 Ex.1 Imagine que você tome emprestado, a juro simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago? Resolução Juros Simples A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t Capital Aplicado (C) : R$ 5.000,00 Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses Taxa (i): 5% ou 0,05 ao mês (a.m.) j = C. i. t J = x 3 x 0,05 R$ 750,00

7 A fórmula do Montante é: Capital Aplicado (C) : R$ 5.000,00 Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses Taxa (i): 5% ou 0,05 ao mês (a.m.) M = C x (1 + i.n) M = 5.000,00 x (1 + 0,05 x 3) M = 5.000,00 x (1 + 0,15) M = 5.000,00 x (1,15) M = 5.750,00 Ex2. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: a) Juros b) Montante. 1) j = Cin 2) M = C + j 3) M = C +Cin 4) M = C (1+ in) 5) j = M - C Solução: C = 4000,00 i = 18% a.a. a) j = Cin b) M = C + j J = 4000 {[(18/100)/12]x3} M = J = 4000 {[0,18/12]x3} M = 4.180,00 J = 4000 {0,015 x 3} J = 4000 x 0,045 J = 180,00 Obs.: Não esqueça de transformar o período da taxa no mesmo período do tempo (18% a.a. 0,18 a.a. / 12 = 0,015 a.m.) Ex3. Um capital de $ ,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 39% a.a., pelo prazo de 56 dias. Obtenha os juros comerciais e exatos para esta aplicação. Solução: C: n = 56 dias i: 39% a.a.

8 j = Cin Juros Comercias j=19000 x {[(39/100)/360] x 56} j = x { [0,39/360] x 56 } j = x { 0, x 56 } j = x 0, j = 1.152,67 j = Cin Juros Exatos j = x {[(39/100)/365] x 56 } j = x { [0,39/365] x 56 } j = x { 0, x 56 } j = x 0, J = 1.136,88 Obs.: Juros comerciais são juros calculados utilizando o período comercial - prazo comercial. Mês 30 dias Ano 360 dias Juros Exatos São juros calculados utilizando o período exato- prazo exato. Mês 31dias ex : dezembro ; 30 dias ex: junho ; 28 ou 29 dias ex:fevereiro Ano 365 ou 366 dias 3.2 JUROS COMPOSTOS Ex1. Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao mês. Calcule o Montante desta aplicação após dois meses. M = C x (1 + i) n

9 Resumindo os dados do problema: Capital ou Principal - P = 300 Taxa i = 10% = 0,1 Períodos de Capitalização n = 2 Primeiramente calcule o montante: Substituindo temos: M = 300 x (1 + 0,1)² M = 300 x (1,1) ² M = 300 x (1,21) M = 300 x 1,21 = 363,00 Então, o Montante da aplicação fornecida neste problema após 02 meses é de R$ 363,00. Ex2. Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ ,00 que deverá ser pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês. Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido? M = C x (1 + i) n

10 Resumindo os dados do problema: Capital ou Principal - P = ,00 Taxa i = 3% = 0,03 Períodos de Capitalização n = 12 meses Primeiramente calcule o montante: Substituindo temos : M = x (1 + 0,03) 12 M = x (1,03) 12 M = x (1,4257) M = x 1,4257 = Então, o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo o valor de R$ ,00 Ex3. Calcule o capital que aplicado à taxa composta de 4% a.m. que dará origem a um montante de R$ 4.650,00 no fim de 08 meses M = C x (1 + i) n Resumindo os dados do problema: M = i = 4% = 0,04 n = 8 Assim, é necessário calcular o capital que, isolando a partir da fórmula matriz, temos:

11 C = M P = (1 + i) n Explicando a fórmula acima - O Capital ou Principal é igual ao Montante dividido por (1 + i)n Substituindo os dados: C = / (1 + 0,04) 8 C = / (1,04) 8 C = / (1,3685) C = / (1,3685) C = 3.397,88 Então, o capital procurado é de R$ 3.397, Fluxo de Caixa Ex.1: Você entrou numa loja para comprar uma geladeira. O vendedor lhe informa que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento pode ser financiado em quatro pagamentos iguais mensais de $400,00 através de uma instituição financeira (IF). Você faz a compra e opta pelo financiamento, de modo que terá quatro desembolsos mensais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A instituição financeira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mensais. A Figura 3 representa graficamente as entradas e saídas de dinheiro para cada um dos agentes envolvidos; isso é um fluxo de caixa.

12 Fluxo de caixa é uma sucessão de entradas e saídas de dinheiro (ou ativos expressos pelo seu valor monetário) no tempo. Figura: Entradas e saídas de dinheiro no tempo. Essas entradas e saídas podem ser representadas por um diagrama, denominado diagrama de fluxo de caixa, como mostrado na figura acima, a partir do qual se apontarão as convenções utilizadas para a sua elaboração. Regras para desenhar um fluxo de caixa: No eixo das abscissas (horizontal) representam-se os períodos de tempo; e

13 No eixo das ordenadas (vertical) representam-se os valores das entradas e saídas de dinheiro. Essas entradas e saídas são representadas por flechas orientadas, indicativas dos valores considerados: Entrada de dinheiro: flechas com orientação positiva, Saída de dinheiro: flechas com orientação negativa. Diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica ou em tabela de um fluxo de caixa. A dimensão dessas flechas não considera a proporcionalidade entre elas e os valores representados; as figuras são meramente qualitativas. Na figura acima tem-se para: A instituição financeira: uma saída de caixa de 1.500,00 no tempo n = 0 (zero) e quatro entradas de caixa sucessivas no valor de 400,00; Você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu benefício como contrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamente, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela venda que lhe fez da geladeira. Referência PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. Disponível em Acesso em 15 out 2010 Senac. Apostila de Matemática Financeira. Editora Senac, 2000.