Matemática Financeira

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1 Matemática Financeira Sumário 2 JUROS SIMPLES (Capitalização Simples) 5 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta) 7 TAXAS SIMPLES 8 TAXAS COMPOSTAS 10 TAXAS SIMPLES EXATO 11 PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO 13 CONVENÇÃO EXPONENCIAL 13 CONVENÇÃO LINEAR 15 DESCONTO COMPOSTO 18 DESCONTO SIMPLES 21 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO COMPOSTO. (Rendas variáveis) 24 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES. (Rendas variáveis e uniformes) 30 TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO 33 TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES 35 RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes) 41 PROVAS ANTERIORES 52 TABELAS PARA CONSULTA

2 2 Matemática Financeira JUROS SIMPLES (Capitalização Simples) Juros Simples comercial é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial, neste modelo de capitalização, os juros de todos os períodos serão sempre iguais, pois eles serão sempre calculados em relação ao capital inicial. Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Simples. Onde J = C.i.t ou M = C.(1+i+t) J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante Neste tópico o aluno precisa entender as variáveis que usará no seus cálculos e descobrir qual das duas fórmulas é a melhor para a resolução dos exercícios. Se bem que qualquer exercício pode ser calculado com qualquer uma delas. É importante que a unidade da taxa deva coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar as fórmulas. O que é Juros? Resposta: Juros é quanto se ganha em uma aplicação. Por exemplo: se aplicarmos R$ 100,00 e esse valor se transforma em R$ 140,00, conclui-se que a aplicação gerou um aumento de capital de R$ 40,00, esse valor é o que ganhamos na aplicação, isto é R$ 40,00 é os juros. O que é Capital? Resposta: É o valor que aplicamos. No exemplo da resposta anterior, o capital é R$ 100,00. O que é taxa unitária? Resposta: É a retirada do símbolo de percentagem da taxa. Por exemplo: se estamos utilizando uma taxa de 10%, a taxa unitária é 0,10. Se estamos utilizando uma taxa de 5%, a taxa unitária é 0,05. Isto é, devemos dividir por 100 o valor da taxa percentual. O que é tempo? Resposta: É o valor de quanto tempo se aplica um capital. O que é Montante? Resposta: Montante é o capital acrescidos de juros. M = C + J. Nosso próximo passo é ganhar experiência com os 13 exercícios exemplos resolvidos. Preste muita atenção na resolução deles, por mais fácil que sejam, existe muita experiência sendo transmitida. Repare também que usarei sempre o melhor método de resolução, isto é, aquele onde economizamos tempo e espaço de resolução. Observação: É importante ressaltar que quando lemos juros simples,estamos nos retratando ao juros simples comercial, nesta modalidade de juros o ano terá sempre 360 dias e o mês terá sempre 30 dias. Para alguns autores também é chamado de juros simples ordinário. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Calcular os juros simples que um capital de $ ,00, rende em um ano e meio, aplicado à taxa de 6%a.a.? a) R$ 700,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1,600,00 d) R$ 600,00 e) R$ 900,00 J =? C = t = 1,5 a i = 6% a.a. = J = C. i. t 6 J = ,5 100 J = 900 LETRA E

3 Matemática Financeira 3 2. Qual o capital que produz, à taxa de 6% a.a., em 3 meses, juro de R$ 78,00? a) R$ 4.300,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 5.200,00 d) R$ 2.600,00 e) R$ 3.500,00 C =? 6 i = 6% a.a. = 100 t = 3 m = 12 3 J = 78 a J = C. i. t 6 78 = C C 78 = 200 C = C = 5200 LETRA C 3. A que taxa anual o capital de R$ 5.000,00, em 1 ano, renderia R$ 300,00? a) 5% b) 6% c) 4% d) 3% e) 2% i i =? % a.a.= C = t = 1 a J = 300 J = C. i. t i 300 = i = 50 i = 6% a.a. LETRA B 4. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00 aplicado a uma taxa de 30% a.m., renderia R$ 240,00? a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 10 t =?m C = 100 i = 30% a.m. = J = 240 J = C. i. t = t = 8 m LETRA C. t Calcule o montante produzido por capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma taxa de 15% a.m? a) R$ 7.500,00 b) R$ 4.300,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 5.000,00 e) R$ 7.250,00 M =? C = 5000 t = 3 m 15 i = 15% a.m. = 100 J = C. i. t J = J = M = C + J M = M = 7250 LETRA E 6. Qual o capital que em dois anos, à taxa de 5% a.a., produz um montante de R$ 6.600,00? a) R$ 5.400,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 4.200,00 d) R$ 5.200,00 e) R$ 6.200,00 C =? t = 2 a 5 i = 5% a.a. = M = M = C (1 + i.t) = C = C = 11C C = 6000 LETRA B 7. A que taxa mensal o capital de R$ 1.200,00, no fim de dois meses, geraria um capital acumulado de R$ 2.400,00? a) 12% b) 23% c) 25% d) 15% e) 50%

4 4 Matemática Financeira i i =? % a.m. = 100 C = 1200 t = 2 m M = 2400 J = 1200 J = C. i. t i 1200 = i = 50% a.m. LETRA E 8. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00, aplicado a uma taxa de 30% a.m., geraria um montante de R$ 220,00? a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 10 t =? m C = 100 M = 220 J = 120 i = 30% a.m. = Prática J = C. i. t 120 = t 100 t = 4m LETRA A 1. (TTN-INTERNO) Qual o capital que produz, à taxa de 2% a.m., o juro mensal de Cr$ 48,00? a) Cr$ 2.400,00 b) Cr$ 2.000,00 c) Cr$ 3.200,00 d) Cr$ 2.600,00 e) Cr$ 3.000,00 2. (TTN-INTERNO) Qual o capital que, em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o juro de Cr$ 32,00? a) Cr$ 8.200,00 b) Cr$ 7.000,00 c) Cr$ 9.000,00 d) Cr$ 7.200,00 e) Cr$ 8.000, (TTN - INTERNO) Qual o capital que, à taxa 2,5% a.a., no fim de um semestre, produz o montante de Cr$ 8.100,00? a) Cr$ ,00 b) Cr$ 5.000,00 c) Cr$ 8.000,00 d) Cr$ 7.000,00 e) Cr$ 9.000,00 4. (TTN-INTERNO) A que taxa anual o capital de Cr$ 5.000,00, em um ano, renderia Cr$ 300,00? a) 5% a.a. b) 6% a.a. c) 4% a.a. d) 3% a.a. e) 2% a.a. 5. (TTN-89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a Cr$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é: a) Cr$ 1.100,00 b) Cr$ 1.000,00 c) Cr$ 1.392,00 d) Cr$ 1.200,00 e) Cr$ 1.399,68 6. Calcular o juro e montante de uma aplicação de R$ 1.000,00, durante 3 meses, a taxa de juro simples de 10% a.m. a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00 b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00 c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00 d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00 e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00 7. Qual o capital que em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o montante de R$ 7.232,00 a) R$ 8.400,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 5.200,00 d) R$ 7.200,00 e) R$ 6.200,00 8. (TTN/94-TARDE) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$ a) 4.200,00 d) 4.600,00 b) 4.800,00 e) 4.400,00 c) 4.900,00

5 Matemática Financeira 5 9. Qual é o prazo para uma aplicação de 5% a.a., tenha um aumento que corresponda a 1/5 de seu valor? a) 2 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 5 anos e) 8 anos 10. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 150% a.a., quadruplique seu valor? a) 2 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 5 anos e) 8 anos 11. Um capital de R$ ,00, aplicado a 22% a.a., rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 3 meses 12. Calcule o valor do montante produzido por capital de 150, aplicado a juro simples a uma taxa de 4,8% a.m., durante 25 dias? a) 151 b) 151,2 c) 156 d) 153,6 e) 210,0 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta) Juros Composto é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial de cada período, onde o capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescidos dos juros do período anterior se houver. É costume dizer que juro composto é juros sobre juros. Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Compostos. J = C [(1+i) t - 1 ] ou M = C. (1+i) t Onde J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante Exercícios Exemplos Resolvidos 1. O capital de R$ ,00 e aplicado à 5% a.m. de juros compostos, durante 3 meses. Calcule o montante? a) R$ ,00 b) R$ ,50 c) R$ ,50 d) R$ ,00 e) R$ , José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$ ,00. Qual é o meu capital? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 C = i = 5% a.m. t = 3 m M =? M = C. (1 + i ) t M = (1 + 5%) 3 M = ,1576 M = LETRA A

6 6 Matemática Financeira 2. Calcule o capital que produz o montante de R$ ,00, à taxa de 6% a.m. de juros compostos durante 2 meses é: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 C =? M= i = 6% a.m. t = 2 m M = C. (1 + i ) t = C. (1 + 6%) = C. 1,1236 C = LETRA A 3. Qual o valor do capital que aplicado a 4% a.m. de juros compostos, produz ao final de 5 meses, um montante de R$ ,00? a) R$ ,70 b) R$ ,56 c) R$ ,60 d) R$ ,88 e) R$ ,32 C =? i = 4% a.m. t = 5 m M = Prática M = C. (1 + i ) t = C. (1 + 4%) = C. 1,2167 C = ,88 LETRA D 1. Aplicaram-se R$ ,00 a 9% ao bimestre de juros compostos, durante 1 ano e 4 meses. O valor do capital acumulado é: a) R$ ,06 b) R$ ,06 c) R$ ,00 d) R$ ,53 e) R$ ,53 2. Calcular o valor do montante final da aplicação de R$ ,00 à taxa composta de 6% ao mês, durante 5 meses. a) R$ ,67 b) R$ ,67 c) R$ ,67 d) R$ ,65 e) R$ ,65 3. Após 8 meses de aplicação a 7% ao mês de juros composto, o capital acumulado era igual a R$ ,00. Qual o valor do capital aplicado? a) R$ ,78 b) R$ ,78 c) R$ ,33 d) R$ ,33 e) R$ ,11 4. Durante quanto tempo um capital de R$ ,00, a juros compostos, a uma taxa de 15% a.a., produzirá um montante de R$ ,00? a) 5 anos b) 4 anos c) 6 anos d) 3 anos e) 7 anos 5. O capital R$ ,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses. Ao final do prazo o montante será igual a R$ ,00. Qual a taxa da aplicação? a) 9% a.m. b) 8% a.m. c) 7% a.m. d) 6% a.m. e) 5% a.m. 6. Um capital aplicado a 6% ao mês de juros composto, durante 8 meses. A que taxa de juros simples mensal, o mesmo capital deveria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para produzir o mesmo montante? a) 7,42% a.m. b) 8,42% a.m. c) 9,42% a.m. d) 6,42% a.m. e) 5,42% a.m. 7. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros simples, produziu ao final de 1 ano e 4 meses, um determinado montante. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, durante o mesmo prazo? a) 4,6% b) 4,0% c) 5,2% d) 5,0% e) 5,8%

7 Matemática Financeira 7 8. Durante quantos meses o capital R$ ,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ ,00? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9 9. Quantos bimestres são necessários para o capital R$ ,00 se transformar em R$ ,00, se for aplicado a 9% a.m. de juros compostos? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) A que taxa de juros compostos R$ ,00 devem ser aplicados para produzirem o montante de R$ ,00 em 6 meses de aplicação? a) 8% a.m. b) 7% a.m. c) 6% a.m. d) 5% a.m. e) 4% a.m. 11. O capital R$ ,00 foi aplicado à taxa composta de 5% ao trimestre, durante 8 anos. O valor do capital acumulado é: a) R$ ,88 b) R$ ,60 c.) R$ ,97 d) R$ ,65 e) R$ , O capital de R$ ,00 e aplicado à 25% a.m. de juros compostos, durante 2 meses. Calcule o montante? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 TAXAS SIMPLES TAXA PERCENTUAL: é aquela que possui o símbolo de porcentagem junto a ela, ou melhor é aquela aparecem nos exercícios. Exemplo: 20% a.m. TAXA UNITÁRIA: é a retirada do símbolo de porcento. Exemplo : 20/100 ou 0,20 (qualquer uma delas é taxa unitária). TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m. 30% 3 i 10% i 1. Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses (1 trimestre) está para 1 mês. TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais. Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 30% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento. Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses m 1m 2m 3m J 1 =10 J 2 =10 J 3 = Aplicando R$100,00 a 30%a.m. durante 1 trimestre Repare que as taxas de 10% a.m. e 30% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito t 100 J 2 =30 1t

8 8 Matemática Financeira Observação: Em Juros Simples, as taxas equivalentes são numericamente iguais às taxas proporcionais. Isto é, o aluno pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou proporcional) que o valor que irá encontrar servirá para taxa proporcional ou equivalente. É importante ressaltar que apesar de numericamente iguais, taxas equivalentes e proporcionais, são teoricamente diferentes. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual a taxa anual simples equivalente à taxa simples de 5% a.m.? a) 79,58% b) 69,58% c) 59,58% d) 78,88% e) 60.00% i =?% a.a. 5% a.m = 60% a.a. LETRA E 2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros simples de 2% a.m.? a) 11,61% b) 10,61% c) 12,61% d) 13,61% e) 12,00% i =?% a.s. 2% a.m = 12% a.s. LETRA E 3. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% e) 19% i =?% a.s. 36% a.a. 36 = 18% a.s. 2 LETRA D 4. Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% i =?% a.m. 84% a.a. 84 = 7% a.m. 12 LETRA C TAXAS COMPOSTAS TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m. 30% 3 i 10% i 1. Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses ( 1 trimestre) está para 1 mês. TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais. M = M 1 t1 t.( 1+ i1 ) = C. ( 1+ i2 ) t ( 1 ) ( ) 1 t + i = 1+ i 2 C Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento. Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses m 1m 2m 3m J 1 =10 J 2 =11 J 3 =12,10 133,10

9 Matemática Financeira 9 Aplicando R$100,00 a 33,10%a.t. durante 1 trimestre 0t 100 J 2 =33,10 1t 133,10 Repare que as taxas de 10% a.m. e 33,10% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito. Encontrando a taxa equivalente de 10% a.m. sem montar o fluxo, usanado a fórmula de equivalência: (1 + i 1 ) t1 = (1 + i 2 ) t2 (1 + 10%) 3 = (1 + i) 1 1,3310 = 1 + i i = 1, i = 0,3310 (taxa equivalente unitária) i = 33,10% (taxa equivalente percentual) Observação: No Juros Composto, as taxas equivalentes são numericamente diferentes que as taxas proporcionais. Isto é, você não pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou proporcional) para transformar taxas, você deverá usar sempre que quiser transformar uma taxa o modelo de equivalência. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 5% a.m.? a) 79,59% b) 69,58% c) 59,58% d) 78,88% e) 60.00% (1 + i 1 ) t1 = (1 + i 2 ) t2 (1 + 5%) 12 = (1 + i) 1 1,7959 = 1 + i i = 1, i = 0,7959 (taxa equivalente unitária) i = 79,59% (taxa equivalente percentual) LETRA A 2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros de 2% a.m.? a) 11,62% b) 10,62% c) 12,62% d) 13,62% e) 12,00% (1 + i1)t1 = (1 + i2)t2 (1 + 2%)6 = (1 + i) 1,1262 = 1 + i i = 1, i = 0,1262 (taxa equivalente unitária) i = 12,62% (taxa equivalente percentual) LETRA C 3. Calcular a taxa semestral equivalente a juros composta de 4% a.b.? a) 11,00% b) 12,49% c) 13,49% d) 14,49% e) 12,00% (1 + i1)t1 = (1 + i2)t2 (1 + 4%)3 = (1 + i)1 1,1249 = 1 + i i = 1, i = 0,1249 (taxa equivalente unitária) i = 12,49% (taxa equivalente percentual) LETRA B Prática 1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 10% a.s.? a) 20% b) 21% c) 5% d) 18,88% e) 22.35% 2. Calcular a taxa semestral proporcional a juros composto de 36% a.a.? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% e) 19%

10 10 Matemática Financeira 3. Calcular a taxa semestral equivalente percentual juros compostos de 8,16% a.a.? a) 4% b) 4,08% c) ( 12 1, ).100% d) ( 1, ).100% e) ( 1, ) 4. Calcular a taxa mensal equivalente percentual a juros compostos de 69% a.b.? a) 34,5% b) 30% c) ( 12 1, ).100% d) ( 1, ).100% e) ( 1, ) 5. Calcular a taxa mensal equivalente unitária a juros compostos de 108% a.a.? a) 12 1, 08 b) 12 2, 08 c) ( 12 1, 08 1).100 d) 12 2, 08 1 e) 12 1, Calcular a taxa semestral equivalente percentual a juros compostos de 8% a.a.? a) 1, 08 % b) ( 1, 08 1).100% c) ( 1, 8 1).100% d) [( 1, 08 1).100]% e) 1, Qual a taxa anual composta equivalente a taxa de 4% a.m.? a) 60,10% b) 48,00% c) 59,26% d) 68,88% e) 58,88% 8. Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 10% a.m. a) 61,61% b) 70,61% c) 77,16% d) 60,00% e) 74,61% 9. Um capital foi aplicado a 4% ao mês de juros compostos. A que taxa anual o capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante? a) 60,10% a.a. b) 6,10% a.a. c) 50,10% a.a. d) 5,10% a.a. e) 7,10% a.a. JUROS SIMPLES EXATO O juro que calculamos no primeiro capítulo é chamado de juro comercial e o que iremos calcular neste capítulo chama-se juro exato. A diferença entre eles está no fato que no juro comercial todos os meses apresentam 30 dias enquanto que no juro comercial o mês tem 30, 31, 28 ou 29 dias. Outra diferença entre eles, está no fato que o ano para o juro comercial apresenta 360 dias enquanto que o juro exato apresenta 365 ou 366 dias. De resto, o processo de calculo é o mesmo, inclusive a fórmula: J = C. i. t Separo aqui alguns problemas que o aluno pode ter, ao resolver exercícios de juros simples exato. 1º Problema: Descobrir se o ano é ou não é bissexto. Por que isso é tão importante? Para descobrir se fevereiro tem 28 ou 29 dias. Para resolver este problema, devemos dividir o ano por 4, se der resto 0, então o ano é bissexto e com isso fevereiro tem 29 dias, caso o resto for diferente de zero o ano não será bissexto e com isso fevereiro terá 28 dias. Ver exemplo nos exercícios abaixo. 2º Problema: Realizar a contagem de quantos dias o capital foi aplicado. É importante lembrar que o primeiro dia de aplicação é contado e que o dia de resgate da aplicação não é contado. 3º Problema: Quando for resolver um exercício de juros simples exato, a taxa deve estar no período anual ou diário. Por que a taxa deve estar no período anual? Para que ao transformá-la para diária, possamos dividi-la por 366 ou 365, sendo assim teremos o que chamamos de taxa diária exata. Se a taxa estiver ao dia, não precisamos transformá-la. Caso a taxa não esteja no período anual, devemos transformá-la.

11 Matemática Financeira 11 Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano? a) R$ 70,00 b) R$ 72,00 c) R$ 74,00 d) R$ 76,00 e) R$ 78,00 C = i = 5% a.a. = t = 146 d = a 365 J = C. i. t J = J = 76 LETRA D Prática 02/01/ /05/ o ano de 2005 não é bissexto, em virtude disso fevereiro terá 28 dias. 1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 5.000,00, colocado, à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano? a) R$ 170,00 b) R$ 120,00 c) R$ 110,00 d) R$ 100,00 e) R$ 80,00 2. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao dia 2 de julho de Calcule os juros exatos obtidos, à taxa de 10% ao mês. a) R$ 90,14 b) R$ 90,00 c) R$ 1080,00 d) R$ 1081,64 e) R$ 588,27 3. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendido juro simples exato no valor de 6/5 de seu próprio valor. A que taxa anual o capital foi aplicado? a) 107,35% b) 95% c) 102,5% d) 110,5% e) 98,5% PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO Prazo Médio C. i. t Tm C. i Onde Tm é o prazo médio Taxa Média C. i. t Im C. t Im é a taxa média Capital Médio C. i. t Cm i. t Cm é o capital médio Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9% a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o prazo de aplicações são iguais. Qual a taxa média da aplicação? a) 10%a.m. b) 18%a.m. c) 8%a.m. d) 7,5%a.m. e) 25%a.m. C 1 = 300 i 1 = 8% a.m. t 1 = t C 2 = 200 i 2 = 9% a.m. t 2 = t C 3 = 100 i 3 = 6% a.m. t 3 = t

12 12 Matemática Financeira im = ( C. i. t ) ( C. t ) t t t = 600. t im = 8% a.m. LETRA C t t t = 300. t t t = t 600. t i i i tm = 232 d LETRA B i = i 100. i 2. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses, R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$ 100,00 a 2%a.m. durante 3 mês. Qual a taxa média da aplicação? a) 8,0%a.m. b) 5,0%a.m. c) 6,5%a.m. d) 3,2%a.m. e) 15,0%a.m. C1 = 300 i1 = 4% a.m. t1 = 2 m ( C. i. t ) ( C. t ) C2 = 200 i2 = 3% a.m. t2 = 3 m C3 = 100 i3 = 2% a.m. t3 = 3 m im = = = = 1500 im = 3,2% a.m. LETRA D 3. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: R$ 40,00 em 180 dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? a) 302 b) 232 c) 280 d) 240 e) 252 C 1 = 40 t 1 = 180 d i 1 = i ( ) C 2 = 35 T 2 = 200 d i 2 = i C. i. t ( ) tm = C. i = 40. i i i 35. i. 3 C 3 = 25 t 3 = 360 d i 3 = i 25. i i = 4. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$ 500,00 a 9% a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital médio da aplicação? a) R$ 500,00 b) R$ 451,00 c) R$ 560,50 d) R$ 525,00 e) R$ 475,00 = C 1 = 600 i 1 = 8% a.m. t 1 = t Cm = ( C. i. t ) ( i. t ) = C 2 = 500 i 2 = 9% a.m. t 2 = t t t t 20. t Cm = 525 LETRA D Prática C 3 = 400 i 3 = 3% a.m. t 3 = t t t t 8. t + 9. t + 3. t = Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 8% a.m., a terça parte do seu capital a 9% a.m. e o restante à taxa de 6%a.m.. Qual a taxa média da aplicação? a) 10%a.m. b) 18%a.m. c) 8%a.m. d) 7,5%a.m. e) 25%a.m. 2. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: 40% dos seus recursos em 180 das, 35% de seus recursos em 200 dias e o restante em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? a) 302 d) 240 b) 232 e) 252 c) 280

13 Matemática Financeira Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao mês, a terça parte do seu capital a 12% ao mês e o restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da aplicação? a) 10% a.m. b) 18 % a.m. c) 13% a.m. d) 11% a.m. e) 20% a.m. CONVENÇÃO EXPONENCIAL Irei colocar um ponto de vista meu neste tópico que não interessa muito ao leitor, porém é muito importante a citação deste para compreender melhor a convenção exponencial. Muitos autores classificam este ponto com uma matéria a ser explicada, eu não concordo com este ponto de vista, pois convenção exponencial nada mais é do que juros composto e esta matéria já foi explicada no capítulo de juro composto. Portanto não há o que explicar, o único ponto que preciso esclarecer é que esta matéria é Juro Composto. Veja o exemplo abaixo para entender que não existe nada a explicar. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1+10%) 1/3 = 1,0323) a.) R$ ,91 b.) R$ ,84 c.) R$ ,47 d.) R$ ,11 e.) R$ ,81 C = t = 40m = 3a e 4 m ( ) 12 3 i = 10% a.a. M =? M = C. (1 + i)t 110% 1 3 M = M = (1 + 10%)3. 110% M = , ,0323 M = 13739,91 LETRA A Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção exponencial t ( 1+ i ).( i )q M = C. 1+ Onde: t é o tempo inteiro p 1 3 p é o tempo fracionário q CONVENÇÃO LINEAR A convenção linear é a utilização de juro composto e juro simples ao mesmo tempo em uma aplicação. Juro composto para o tempo inteiro e juro simples para o tempo fracionário. Veja o exemplo abaixo para entender melhor o que estou escrevendo. Exercícios Exemplos 2. Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? a) R$ ,25 b) R$ ,67 c) R$ ,27 d) R$ ,48 e) R$ ,55 C = t = 40m = 3a e 4 m ( ) 12 3 i = 10% a.a. M =?

14 14 Matemática Financeira M = C. (1 + i)t 110% 1 3 M = A resolução do exercício irá ser iniciada deste ponto em diante. Acima, temos a resolução de convenção exponencial. M = (1 + 10%) %. 3 M = ,331. 1,0333 M = 13753,67 LETRA B Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção linear t p M = C.( 1 + i ). 1 + i. q Onde: t é o tempo inteiro p q é o tempo fracionário Perceba na fórmula a conclusão já explicada p 1 + i. acima. ( 1+ i ) t é juro composto e q é juro simples. Estamos misturando juro composto e juro simples nesta matéria (convenção linear). Comparando estas convenções O montante da convenção linear será sempre maior que o montante calculado pela convenção exponencial, pois entre 0 e 1, juro simples é maior que juro composto. Veja o exemplo abaixo: (1+10%) 1/3 = 1,0323 juro composto %. 3 = 1,0333 juro simples Prática 1. Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção exponencial (dado que (1 + 10%) 1/2 = 1,0488) a) R$ ,00 b) R$ ,67 c) R$ ,58 d) R$ ,67 e) R$ ,97 2. Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção linear. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 3. Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1 + 15%) 2/3 = 1,0977) a) R$ ,87 b) R$ ,84 c) R$ ,47 d) R$ ,11 e) R$ ,81 4. Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? a) R$ ,25 b) R$ ,25 c) R$ ,27 d) R$ ,48 e) R$ ,55

15 Matemática Financeira 15 DESCONTO COMPOSTO Desconto é uma operação financeira que retira do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual. Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do pelo título (valor atual). D = N - A Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado Temos um único tipo de DESCONTO COM- POSTO a ser estudado, pelo edital: DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. t [( 1+ i) 1] f Dr = A. Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: t ( i ) f N = A. 1+ D r t [( 1+ i) 1] = f A. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula. 2º Tipo: DESCONTO COMERCIAL ou (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. D c f [ 1 ( i) ] t = N. 1 Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: A = N. 1 D D c c onde D c = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título t ( i ) f f [ 1 ( i) ] t = N. 1 1 = A. t ( 1 i) t f ( 1 i) f N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula. Exercícios Exemplos Resolvidos D r = onde do título N. t f ( 1+ i) t ( 1+ i) 1 f Dr = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento N = valor nominal A = valor atual. 1. Determinar o valor do desconto que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,54 d) R$ ,56 e) R$ ,25

16 16 Matemática Financeira D =? N = t f = 4 m i = 8% a.m. N = A. (1 + i) t = A. (1 + 8%) = A. 1,3605 A = D = N A D = LETRA A 2. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? a) R$ ,26 b) R$ ,50 c) R$ ,54 d) R$ ,00 e) R$ ,56 4. O valor atual de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,72. Qual a taxa de juros compostos vigente? a) 9% a.m. b) 15% a.m. c) 10% a.m. d) 18% a.m. e) 8% a.m. N = t = 4 m A = ,72 i =?% a.m. N = A. (1 + i) t = ,72. (1 + i) = (1 + i) ,7 2 1,4116 = (1 + i) 4 t f = 6 m i = 8% a.m. A = N =? N = A. (1 + i) t N = (1 + 8%) 6 N = ,5869 N = LETRA D procurar na linha do tempo 4, o fator 1,4116 e ver a qual taxa está associado este fator. i = 9% a.m. LETRA A 3. Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. a) 4 anos b) 3 anos c) 2 anos d) 1 ano e) 7 anos N = D = A = N D A = t =? a i = 10% a.a. N = A. (1 + i) t = (1 + 10%) = (1 + 10%) t 1,21 = (1 + 10%) t procurar na coluna do 10% o fator 1,21 e ver a qual tempo está associado este fator. t = 2 a LETRA C 5. Um título obteve um desconto de R$ 4.641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título? a) R$ 8.500,00 b) R$ 9.500,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.000,00 e) R$ ,00 D = 4641 A =? t f = 4 m i = 10% a.m. N = A. (1 + i) t N = A. (1 + 10%) 4 N = A. 1,4641 D = N A 4641 = 1,4641A - A 4641 = 0,4641A A = LETRA E 6. Determinar o valor do desconto comercial que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

17 Matemática Financeira 17 D c =? N = t f = 4 m i = 8% a.m. A = N. (1 - i) t A = (1-8%) 4 A = ,7164 A = D = N A D c = LETRA B 3. Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m., que desconto racional devo exigir na compra de um título no valor nominal de R$ ,00, vencível em 2 meses? a) R$ 906,98 b) R$ 868,18 c) R$ 110,11 d) R$ 868,78 e) R$ 915,12 7. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado comercialmente a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? a) R$ ,35 b) R$ ,00 c) R$ ,54 d) R$ ,56 e) R$ ,45 A = N =? tf = 6 m i = 8% a.m. Prática A = N. (1 - i) t = N. (1-8%) = N. 0,6064 A = LETRA B 1. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento. Qual é o valor de resgate, se a taxa composta de juros corrente for de 4% a.m.? a) R$ 6.638,66 b) R$ 5.832,63 c) R$ 3.238,22 d) R$ 5.855,52 e) R$ 6.838,63 2. Pedro receberá R$ ,00 como parte sua numa herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus direitos por R$ ,05. Que taxa de juros anual Pedro pagou? a) 5,00% a.a. b) 73,77% a.a. c) 9,50% a.a. d) 79,59% a.a. e) 55,55% a.a. 4. Uma Nota Promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 6,0% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$ ,00. Qual o valor do desconto concedido? a) R$ ,42 b) R$ ,43 c) R$ ,82 d) R$ ,88 e) R$ ,13 5. Em um título no valor nominal de R$ 6.500,00, o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá ser o prazo de antecipação? a) 3 meses b) 6 meses c) 7 meses d) 12 meses e) 2 meses 6. Determinar o prazo de antecipação de um título de R$ ,30, que deverá ser descontado a 9% ao mês de desconto composto e que gerou um valor descontado de R$ ,00. a) 4 meses b) 8 meses c) 1 ano e 8 meses d) 10 meses e) 2 anos e 3 meses 7. Um título vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adotado o critério do desconto racional composto, a taxa de 15% a.m., qual o valor descontado desse título de valor nominal igual a R$ ,00? a) R$ ,37 b) R$ ,25 c) R$ ,35 d) R$ ,57 e) R$ ,22

18 18 Matemática Financeira 8. Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto comercial composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. a) 4 anos b) 3 anos c) 2 anos d) 1 ano e) 7 anos 9. O valor atual comercial de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,00. Qual a taxa de juros compostos vigente? a) 9% a.m. b) 15% a.m. c) 10% a.m. d) 18% a.m. e) 8% a.m. 10. Determinar o valor do desconto bancário que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto, sabendo que os encargos administrativos é de 5%? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Descontando-se um título de valor nominal de R$ ,00 dois meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 3% ao mês e de acordo com o critério do desconto comercial composto, o valor do desconto na operação é de a) R$ 600,00 b. R$ 610,00 c) R$ 615,15 d) R$ 620,55 e) R$ 639,45 DESCONTO SIMPLES Desconto é uma operação financeira que retira do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual. Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do título (valor atual). D = N - A Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado Temos dois tipos de DESCONTO SIMPLES a ser estudado, pelo edital: DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual. Dr = A. i. t f Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional: N = A. ( 1 + i. t f ) Dr = A. i. t f Dr = N. i. t f. ( 1 + i. t f ) Onde Dr = Desconto racional i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula DESCONTO COMERCIAL (Desconto por fora) é juros que pagamos, calculado sobre o valor nominal. Dc = N. i. t f Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples comercial: A = N. ( 1 - i. t f )

19 Matemática Financeira 19 Dc = N. i. t f Dc = A. i. t f. ( 1 - i. t f ) Onde Dc = Desconto comercial i = taxa unitária t f = tempo que falta para vencimento do título N = valor nominal A = valor atual. Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula Relação entre os descontos racional e desconto comercial 1.) Dc > Dr 2.) Dc = Dr. ( 1 + i. t f ) Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Qual é o valor racional nominal de um título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses antes do vencimento e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? a) R$ 180,00 b) R$ 192,00 c) R$ 200,00 d) R$ 220,00 e) R$ 240,00 N =? N = A (1 + i. t) A = 200 t f = 2 m 10 i = 10% a.m. = N = 200. (1 +. 2) N = 200. ( ) Qual é o valor comercial atual de um título, dois meses antes do vencimento, cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? a) R$ 180,00 b) R$ 192,00 c) R$ 200,00 d) R$ 220,00 e) R$ 240,00 A =? t f = 2 m N = i = 10% a.m. = 100 A = N (1 i. t) 10 A = 240. (1. 2) A = 240. ( ) 100 A = 192 LETRA B 3. Calcule o desconto por dentro e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 D r =? 10 A =? i = 120% a.a. = 10% a.m. = N = t f = 5 m N = A (1 + i. t) = A. (1 +. 5) = A. ( ) 100 A = 2000 D r = D r = 1000 LETRA A N = 240 LETRA E

20 20 Matemática Financeira 4. Calcule o desconto por fora e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 D c =? A =? 10 i = 120% a.a. = 10% a.m. = N = t f = 5 m A = N (1 i. t) 10 A = (1. 5) A = ( ) A = D c = D c = 1500 LETRA B Prática 1. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00.com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste título hoje? a) R$ 9.600,00 b) R$ 8.700,00 c) R$ 9.500,00 d) R$ 8.000,00 e) R$ ,00 2. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual racional deste título 2 meses antes do seu vencimento? a) R$ b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.615,00 e) R$ ,00 3. Se tenho um título com valor nominal de R$ ;00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual! o valor atual racional deste título 4 meses depois de adquirido o título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.225,00 d) R$ 9.220,00 e) R$ ,0 4. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 e com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24%.a.a., qual o valor atual comercial deste título 2 meses antes do seu vencimento? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.600,00 e) R$ ;00 5. Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual comercial deste título 4 meses depois de adquirido o título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.225,00 d) R$ 9.220,00 e) R$ ,00 6. Determine o desconto racional obtido ao reportar-se uma letra de valor nominal R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu vencimento. a) R$ 12,000,00 b) R$ 1.200,00 c) R$ 120,00 d) R$ ,00 e) R$ 12,00 7. Determine a desconto comercial sofrido por um título de R$ 7.200,00 descontado a 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de 10% a.m.. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 8.440,00 d) R$ 1.440,00 e) R$ ,00

21 Matemática Financeira (TTN-89) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com seu vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de Cr$ ,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de: a) Cr$ ,00 b) Cr$ ,00 c) Cr$ ,00 d) Cr$ ,00 e) Cr$ 24,190,00 9. Quanto tempo antes de seu vencimento foi paga uma letra de R$ ,00, descontada a 6% a.a. o desconto comercial foi de R$ 2.400,00? a) 25 meses b) 1 ano c) 10 meses d) 3 anos e) 2 anos 10. Uma letra, faltando 8 meses para seu vencimento, sofre o desconto por fora de R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo a taxa de 12% a.a. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Uma letra de R$ ,00 foi apresentada para desconto racional, faltando 1 ano e 3 meses para o seu vencimento. A que taxa foi descontada, se pagou R$ ,00? a) 10% a.a. b) 9% a.a. c) 8% a.a. d) 7% a.a. e) 6% a.a. 12. (TTN-92-RIO) O valor atual de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento foi antecipado de 5 meses. a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a. 13. Um título obteve um desconto racional simples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o nominal do título? a) R$ ,00 b) R$ 9.500,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.000,00 e) R$ , Um título obteve um desconto comercial simples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título? a) R$ 8.500,00 b) R$ 9.500,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 9.000,00 e) R$ , O desconto comercial simples de um título seis meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 10% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 375,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 700,00 e) R$ 500,00 Equivalência de Capitais no Juro Composto. (Rendas variáveis) O objetivo dessa matéria é trocar títulos que vencem em datas futuras por outros títulos que vencem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar títulos. O segredo da matéria é capitalizar (aumentar o valor do título) o título, caso a troca seja por uma data futura ou descapitalizá-lo (diminuir o valor do título), caso a troca seja por uma data anterior à do vencimento do título.

22 22 Matemática Financeira Veja os gráficos abaixo para entender melhor o processo. Exemplo 1 Exemplo de Capitalização de um título. onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que descapitalizamos. Vejamos abaixo o novo valor do título. X T T+1 Quando capitalizamos um título, encontramos o valor nominal dele. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula. ( i ) T N = A. 1 + Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que capitalizamos. Vejamos abaixo o novo valor do título. X T T X. i X 1 i 1 T T+1 Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um capital de R$ 900,00 disponível em 90 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% a.m., qual o valor do outro capital? a) R$ 879,35 b) R$ 987,70 c) R$ 992,25 d) R$ 995,50 e) R$ 1.008, X 90 d (3 m) 150 d (5 m) X Exemplo 2 Exemplo de Descapitalização de um título. X X = 900. ( 1 + 5% ) 5-3 X = 900. ( 1 + 5% ) 2 x = ,1025 x = 992,25 LETRA C T T+1 Quando descapitalizamos um título, encontramos o valor atual dele. Para isso também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual. N A = 1 + ( i ) T 2. Qual o valor do capital, disponível em 210 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 90 dias, à taxa de 10% a.m.? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

23 Matemática Financeira X 90 d (3 m) 210 d (7 m) X = ( % ) 7-3 X = ( % ) 4 x = ,4641 x = LETRA B 3. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% a.m.? a) R$ 398,00 b) R$ 405,15 c) R$ 370,18 d) R$ 359,00 e) R$ 365, d (2 m) 90 d (3 m) 120 d (4 m) X X = 180. ( % ) % % 1 X = 180. ( % )1 + X = ,1 + X = X = 398 LETRA A 220 1,1 4. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos. a) R$ 1.900,00 b) R$ 1.915,40 c) R$ 1.800,75 d) R$ 1.993,48 e) R$ 1.887, m 2 m 3 m 4 m 6 m X + X. ( % ) 6-4 = ( % ) ( % ) ( % ) 6-1 X + X. ( % ) 2 = ( % ) ( % ) ( % ) 5 X + X. 1,21 = , , ,6105 2,21. X = , ,50 2,21. X = 4405, ,60 2,21 X = X = 1993,48 LETRA D Prática 1. Um capital de R$ 1.000,00 disponível em 90 dias, é equivalente a um outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% ao mês de desconto composto, qual o valor do outro capital? a) R$ 1.276,30 b) R$ 1.107,70 c) R$ 1.102,50 d) R$ 1.055,50 e) R$ 1.108,00 X X

24 24 Matemática Financeira 2. Qual será a taxa anual de desconto necessário, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respectivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalização composta. a) 12,5% b) 8,5% c) 11,5% d) 11,4% e) 10% 3. Qual o valor do capital, vencível em 3 anos, equivalente a R$ ,40 vencível em 8 anos, à taxa de 3% ao ano de desconto composto? a) R$ ,00 b) R$ ,56 c) R$ ,00 d) R$ ,25 e) R$ ,00 4. Um título de R$ 7.700,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto composto vigente é 10% ao mês, qual será o valor do novo título? a) R$ 3.000,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 7.000,00 5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% ao mês? a) R$ 310,00 b) R$ 340,15 c) R$ 370,18 d) R$ 329,00 e) R$ 350,23 6. Um título de R$ ,00 com vencimento ao final de 6 meses, a contar da época atual. Deve ser liquidado por meio de 2 pagamentos iguais, o primeiro, ao final de 3 meses, e o segundo, ao final de 5 meses. Sendo a taxa de juros compostos de mercado 10% ao mês, calcular o valor de cada pagamento. a) R$ ,12 b) R$ ,11 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos. a) R$ 1.900,00 b) R$ 1.915,40 c) R$ 1.800,75 d) R$ 1.986,56 e) R$ 1.887,70 Equivalência de Capitais no Juro Simples. (Rendas variáveis e uniformes) O objetivo dessa matéria é trocar títulos que vencem em datas futuras por outros títulos que vencem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar títulos. O esquema da matéria é realizar a troca dos títulos na data focal zero, a não ser que no enunciado seja específica a data de equivalência. Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional. Irei dividir este tópico em duas partes: equivalência usando desconto racional e equivalência utilizando desconto comercial. Primeiro caso: equivalência usando desconto racional Veja os gráficos abaixo para entender melhor o processo. X Caso 1 Data de equivalência no futuro. T T+1

25 Matemática Financeira 25 Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula. ( 1 i t ) N = A. +. Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que capitalizamos. Vejamos abaixo o novo valor do título. Vejamos abaixo o novo valor do título. X 1 i.1 T T+1 Alguns exemplos para facilitar o entendimento. X X X T T+1 Caso 2 Data de equivalência no passado.. 1 i.1 Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Uma impressora é vendida à vista por R$ 300,00 à vista ou com uma entrada de 30% e mais um pagamento de R$ 220,50 após 30 dias. Qual a taxa mensal envolvida na operação? a) 5% b) 2% c) 10% d) 6% e) 20% X 300 T T+1 Quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual. A = Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que descapitalizamos. N ( 1 + i. t) 0 30 d (1 m) ,50

26 26 Matemática Financeira 300 = = 220,50 (1 i) 220,50 (1 i) i = 220,50 210i = 10,50 10,50 i = 210 i = 0,05 = 5% am LETRA A 2. Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalente a R$ ,00 disponível em 75 dias à taxa de 80% ao ano de desconto simples racional? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 80% ao ano de desconto simples racional X X X = X = X = 1050 X = LETRA B 3. Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com vencimentos respectivos em 150 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto simples racional vigente? a) 4% b) 5% c) 6% d) 7% e) 8% d (5 m) 360 d (12 m) (1 5i) (1 12i) 5 7 (1 5i) (1 12i) i = i 25i = 2 2 i = 25 i = 0,08 = 8% a.m. LETRA D Considerações Finais Sempre que realizarmos equivalência de capitais, iremos realizar a equivalência na data focal zero, a não ser que no enunciado seja especificado uma data de equivalência. É importante que fique bem claro que quando o enunciado especificar uma data focal, fique bem especificado qual será a data. Tem que estar escrito algo tipo: faça a equivalência na data focal x, caso não seja especificado claramente a data focal, iremos utilizar a data focal zero. Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional.

27 Matemática Financeira 27 Segundo caso: equivalência usando desconto comercial Veja os gráficos abaixo para entender melhor o processo. X Caso 1 T T+1 Data de equivalência no futuro. Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula. N = Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que capitalizamos. A ( 1 i. t) Vejamos abaixo o novo valor do título. X T T+1 Caso 2 Data de equivalência no passado. X 1 i.1 Quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual. Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que descapitalizamos. ( 1 i t ) A = N.. Vejamos abaixo o novo valor do título. X. 1 i.1 T T+1 Alguns exemplos para facilitar o entendimento. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples comercial de 10% ao período, qual o valor do novo título. a) R$ 1.760,00 b) R$ 1.820,00 c) R$ 1.950,00 d) R$ 1.880,00 e) R$ 1.700,00 X X T T+1 X 0 3 5

28 28 Matemática Financeira Devemos descapitalizar os dois títulos e igualar eles, para o obter o valor de X X ,7 = X. 0,5 X = 1820 LETRA B O novo título terá o valor de R$ 1.820,00 na data Um capital de R$ 900,00 disponível em 40 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% a.a. de desconto simples comercial, qual o valor do outro capital? a) R$ 1.000,00 b) R$ 2.000,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 1.008,00 Considerações Finais Sempre que realizarmos equivalência de capitais, iremos realizar a equivalência na data focal zero, a não ser que no enunciado seja especificado uma data de equivalência. É importante que fique bem claro que quando o enunciado especificar uma data focal, fique bem especificado qual será a data. Tem que estar escrito algo tipo: faça a equivalência na data focal x, caso não seja especificado claramente a data focal, iremos utilizar a data focal zero. Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional. Prática d 100 d 60% a.a. de desconto simples comercial X X = X X = 500 X = 1008 LETRA E X 1. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equivalente a R$ ,00 vencível em 30 dias, à taxa de 80% ao ano de desconto simples racional? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 2. (AFC/93) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de Cr$ 1.000,00 vencível em dois meses e Cr$ 1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial. a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 33,33% 3. Um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 1 mês, precisa ser trocado por outro de valor nominal de R$ 700,00 com vencimento daqui a três meses. Supondo o critério de desconto racional simples, qual a taxa mensal que deverá ser considerada? a) 25% b) 20% c) 30% d) 15% e) 10%

29 Matemática Financeira Um título de R$ ,00 e outro de R$ ,00, vencem respectivamente em 60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de um único título com vencimento par 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de desconto simples comercial é de 20% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 200,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 20% ao mês? a) R$ 300,00 b) R$ 450,00 c) R$ 370,00 d) R$ 350,00 e) R$ 200,00 6. O portador de um título de R$ ,00 com vencimento para 60 dias, quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, vencíveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de cada novo título se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 120% ao ano? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto comercial simples, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos. a) R$ 1.900,00 b) R$ 2.000,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.100,00 e) R$ 1.920,00 8. Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao período, qual o valor do novo título. a) R$ 1.400,00 b) R$ 1.600,00 c) R$ 1.300,00 d) R$ 1.200,00 e) R$ 1.500,00 9. Um som é vendido da seguinte forma: entrada de R$ 500,00 e duas prestações iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa de desconto igual a 20% a.m., qual o preço à vista deste som? a) R$ 1.375,00 b) R$ 1.220,00 c) R$ 1.750,00 d) R$ 1.300,00 e) R$ 1.500, Uma empresa devedora de três títulos pagáveis em 6, 12 e 18 meses, com valores respectivamente de R$ 4.400,00, R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando que apenas daqui a 12 meses possuirá recursos disponíveis, propõe liquidar esses três títulos nesta data. Qual será o valor deste pagamento, se a taxa de juros simples for de 20% a.a.? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 6, 10 e 30 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 40 e 60 meses. Considerando o regime de desconto simples racional, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos. a) R$ 2.250,00 b) R$ 2.750,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 3.750,00 e) R$ 4.250, Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a R$ 800,00 disponível em 60 dias à taxa de 50% ao ano de desconto simples comercial? a) R$ 900,00 b) R$ 915,00 c) R$ 825,00 d) R$ 805,00 e) R$ 925,00

30 30 Matemática Financeira 13. Um título de R$ 7.000,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é de 10% ao mês, qual será o valor do novo título? a) R$ 3.000,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 7.000, Uma empresa devedora de dois títulos de $ ,00 cada, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja liquidar a dívida com um único pagamento no quinto mês. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa simples comercial de 15% a.m. a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,00 e) $ ,00 TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO TAXA NOMINAL: é a taxa que não coincide com o período de capitalização de uma aplicação TAXA EFETIVA: é a taxa que coincide com o período de capitalização de uma aplicação Observação: Para transformar uma taxa nominal em efetiva ou vice-versa, devemos utilizar o conceito de proporcionalidade entre as taxas. Veja o exemplo abaixo para uma melhor compreensão. Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 44% a.a. com capitalização semestral. Qual o montante dessa aplicação? Resolução errada usando taxas equivalentes: C = t = 1 a = 2 s i = 44% a.a. taxa nominal devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício. Usaremos o conceito de taxas equivalentes (1 + i 1 ) t1 = (1 + i 2 ) t2 (1 + 44%) 1 = (1 + i) 2 1,44 = (1 + i) 2 1, 4 = 1 + i 4 1,2 = 1 + i i = 0,2 i = 20% (suposta taxa efetiva) M = C. (1 + i)t M = (1 + 44%)1 M = ,44 M = Usando a suposta taxa efetiva, repare que iremos obter o mesmo montante, sendo assim não haveria necessidade de transformação das taxas e conseqüentemente não haveria a necessidade da existência desta matéria. Em virtude disso, quando formos transformar a taxa nominal em taxa efetiva usaremos sempre o conceito de taxas proporcionais. M = C. (1 + i)t M = (1 + 20%)2 M = ,44 M = Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 44% a.a. com capitalização semestral. Qual o montante dessa aplicação? Resolução correta usando taxas proporcionais C = t = 1 a = 2 s i = 44% a.a. taxa nominal devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício. i = 22% a.m. taxa efetiva

31 Matemática Financeira 31 M = C. (1 + i) t M = (1 + 44%) 1 M = ,44 M = 1400 Perceba-se como o valor do montante será maior e diferente. M = C. (1 + i) t M = (1 + 22%) 2 M = ,4884 M = Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. Qual o montante dessa aplicação? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 C = t = 1 a = 12 m i = 60% a.a. taxa nominal devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício. i = 5% a.m. taxa efetiva M = C. (1 + i) t M = (1 + 5%) 12 M = ,7959 M = LETRA A 2. Qual o montante de uma aplicação de R$ ,00, a juros compostos, durante 6 meses à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ 1,203,456,00 M =? C = t = 6 m i = 36% a.a. taxa nominal devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício. i = 3% a.m. taxa efetiva M = C. (1 + i)t M = (1 + 3%)6 M = ,1941 M = LETRA C 3. Determine o prazo de uma aplicação de R$ ,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montante de R$ ,00, a taxa de juro de 15% a.m. a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses d) 5 meses e) 6 meses t =? m C = M = i = 15% a.m. a taxa em questão já é efetiva. M = C. (1 + i) t = (1 + 15%)t = ( ,0114 = (1 + 15%)t t 6% ) procurar na coluna do 15% o fator 2,0114 e ver a qual tempo está associado este fator. t = 5 m LETRA D

32 32 Matemática Financeira 4. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ ,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ ,00? a) 4% a.m. b) 8% a.m. c) 5% a.m. d) 9% a.m. e) 10% a.m. C = t = 1 a = 12 m M = i =?% a.m. M = C. (1 + i)t = (1 + i) = (1 +i) ,5181 = (1 + i)12 procurar na linha do tempo 12 o fator 2,5181 e ver a taxa que está associado este fator. i = 8% a.m. LETRA B 5. A taxa de juros nominal de 48% a.s., capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral de: a) 8,00% b) 17,00% c) 25,00% d) 48,00% e) 58,69% i = 48% a.s. taxa nominal devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício. i = 8% a.m. taxa efetiva 8% a.m. % a.s. (1 + 8%)6 = (1 + i)1 1,5869 = 1 + i i = 1, i = 0, 5869 (taxa equivalente unitária) i = 58,69% (taxa equivalente percentual) LETRA E Prática 1. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ ,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ ,20. a) 4% a.m. b) 8% a.m. c) 5% a.m. d) 9% a.m. e) 10% a.m. 2. Um título de valor nominal de R$ ,00 vai ser resgatado três meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Sabendo-se que a taxa de desconto racional é de 96% a.a., qual o valor descontado e o desconto, considerando capitalização mensal? a) R$ ,00 e R$ ,88 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,88 d) R$ ,00 e R$ ,88 e) R$ ,00 e R$ ,88 3. (AFC/94) Quanto se deve investir hoje, à taxa nominal de juros de 20% ao no, capitalizados trimestralmente, para se obter R$ ,00 daqui a 5 anos? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ 8.333,00 4. (AFC/93) A taxa de juros nominal de 30% ao semestre, capitalizados mensalmente equivale à taxa semestral de: a) 5% b) 12% c) 15% d) 30% e) 34% 5. (AFC/94) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a anual taxa efetiva? a) 27,75% b) 29,50% c) 30% d) 32,25% e) 35%

33 Matemática Financeira Um banco paga juros compostos de 20% a.a., com capitalização semestral, Qual a taxa anual efetiva? a) 20% b) 25% c) 23% d) 21% e) 24% TAXA EFETIVA E NOMI- NAL NO JURO SIMPLES Sempre que o valor do desconto comercial simples for equivalente ao desconto racional simples, a taxa do desconto comercial será chamada de taxa nominal enquanto que a taxa do desconto racional será chamada de taxa efetiva. É interessante que quando acontecer o mencionado acima, o valor atual racional e o valor atual comercial também serão iguais. Saliento que alguns autores atribuem outros nomes paras essas duas taxas, veja abaixo: Taxa do desconto racional = taxa efetiva = taxa real = taxa linear = taxa de juros simples = taxa implícita. Taxa do desconto comercial = taxa nominal = taxa estabelecida. Relação entre as taxas efetivas e comerciais 1.) A taxa efetiva será sempre maior que a taxa nominal. D = D 2.) simplificando N e t, temos: i = c 3.) simplificando A e t, temos: i = r i r c ( 1+ i. t) i c r N. i. t = D r ( 1 i. t) c c Ai.. t = r r = D N. i. t r ( 1+ i. t) c r Ai.. t c ( 1 i. t) c Observação: Repare que para resolver um exercícios desta matéria o valor nominal ou o valor atual são desprezíveis. O motivo desta conclusão está no fato que ao deduzir as duas fórmulas acima, os valores atuais e nominais são simplificados ao deduzir as duas fórmulas. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. Desconto simples por fora a uma taxa de 20% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por dentro, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: a) 10% b) 15% c) 17% d) 20% e) 25% i r i r = ir =?% a.m. ic = 20% a.m. = 0,20 tf = 1m i c ( 1 i. t) c 0,20 1 0,20.1 0,20 i r 0,80 ir = 0,25 = 25% a.m. LETRA E 2. Calcule a taxa simples efetiva mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por fora a uma de 20% ao mês por 1 mês. a) 10% b) 15% c) 17% d) 20% e) 25% Antes da resolução desta, é bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idéia do enunciado da questão número três.

34 34 Matemática Financeira ir =?% a.m. ic = 20% a.m. = 0,20 tf = 1m i r i r = i c ( 1 i. t) c 0,20 1 0,20.1 0,20 i r 0,80 ir = 0,25 = 25% a.m. LETRA E 3. Desconto simples por dentro a uma taxa de 25% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por fora, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: a) 10% b) 15% c) 17% d) 20% e) 25% ic =?% a.m. ir = 25% a.m. = 0,25 c tf = 1m ( 1+ ir. t) i c i = i 0,25 1 0,25.1 0,25 i c 1,25 r ic = 0,20 = 20% a.m. LETRA D 4) Calcule a taxa simples nominal mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por dentro a uma de 25% ao mês por 1 mês. a) 10% b) 15% c) 17% d) 20% e) 25% Antes da resolução desta, é bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idéia do enunciado da questão número três. ic =?% a.m. ir = 25% a.m. = 0,25 c tf = 1m ( 1+ ir. t) i i c = i r 0,25 1 0,25.1 0,25 i c 1,25 ic = 0,20 = 20% a.m. LETRA D Prática 1. (Controladoria-RJ/00) Uma promissória de R$ ,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operação resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco é de a) 15,0% b) 10,0% c) 9,5% d) 8,5% e) 6,5%. 2. Calcule taxa de juros simples mensais que um título descontado pelo desconto comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5 meses: a) 0,80% b) 6,50% c) 13,3% d) 40,0% e) 80,0%. 3. Calcule taxa nominal simples mensal que um título descontado pelo desconto racional simples, utilizando taxa de 6% a.m. em 5 meses: a) 5,00% b) 3,59% c) 2,38% d) 4,62% e) 5,50%. 4. (AFC 05) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês b) R$ ,00 e 5,4 % ao mês c) R$ ,00 e 64,8 % ao ano d) R$ ,00 e 60 % ao ano e) R$ ,00 e 5,4 % ao mês

35 Matemática Financeira 35 RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes) O objetivo desta matéria é o mesmo da matéria anterior, porém nesta matéria os títulos apresentam os mesmos valores e os vencimentos são consecutivos, o que nos levará a ter um jeito alternativo e mais rápido para resolver os exercícios. Iremos apresentar o novo jeito de resolver os exercícios de equivalência de capitais que se adequam ao caso abordado acima. Quando lidamos com uma série de pagamentos (entradas) iguais e sucessivas, teremos dois casos de exercícios para resolver: O primeiro caso iremos encontrar o valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos. Podemos dizer que esse valor é o valor do financiamento obtido por uma empresa ou ainda o valor do empréstimo que a empresa realizou. O segundo caso iremos encontrar o valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos seus clientes em uma data futura às datas dos pagamentos. Vamos abordar o primeiro caso: Cálculo do Valor Atual. a) Renda Certa Postecipada, também chamada de Imediata: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá um período após contrair o empréstimo ou o financiamento. t-1 A P t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 n é o número de prestações a serem pagas. P é o valor de cada pagamento da renda certa. n ( 1 + i) 1 an, i = Sabe-se que i. ( 1 + i) n é um fator que normalmente é dado das provas. (segunda tabela da nossa apostila). Caso este fator não for dado, para resolver exercícios de renda certa, devemos utilizar os mesmo conceitos de equivalência de capitais. b) Renda Certa Antecipada: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá no ato do empréstimo ou do financiamento P t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 A Para calcular o valor atual desta renda certa, ignorar a primeira prestação no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestação a menos e depois para obter o valor atual é só somar a prestação retirada. A = P. a n-1,i + P ou A = P. ( a n-1,i + 1) Onde A é o valor atual da renda certa. i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos. n é o número de prestações a serem pagas. P é o valor de cada pagamento da renda certa. c) Renda Certa Diferida: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá períodos após ser feito o empréstimo ou o financiamento. Para calcular o valor atual desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula: A = P. a n,i Onde A é o valor atual da renda certa. i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos. P t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 A

36 36 Matemática Financeira Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos adicionar quantas prestações forem necessárias para transformar a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois retirar estas prestações adicionadas com o fator a n,i para obter o valor atual do fluxo P A t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 A A = P. ( a n+x,i - a x,i ) Onde A é o valor atual da renda certa. i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos. n é o número de prestações a serem pagas. P é o valor de cada pagamento da renda certa. x é o número de prestações acrescentadas. Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com cálculo de valor atual. Exercícios Exemplos Resolvidos 1. O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: Este mesmo exercício, poderia se enunciado da seguinte maneira: 1. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece um mês após recebido o financiamento, calcule o valor do financiamento: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 A = P. an,i A = a4,10% A = ,1699 A = LETRA A 2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: Este mesmo exercício, poderia se enunciado da seguinte maneira: 2. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece no ato do recebimento o financiamento, calcule o valor do financiamento: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , A

37 Matemática Financeira 37 Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos ignorar a primeira prestação no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestação a menos e depois para obter o valor atual é só somar a prestação retirada. Transformando a renda certa antecipada em postecipada A A Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos acrescentar duas prestações ao fluxo, transformando a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois para obter o valor atual basta subtrair o fator an,i das parcelas que acrescentamos. Transformando a renda certa diferida em postecipada (repare que acrescentamos duas parcelas). A = P. an-1,i + P A = a3,10% A = , A = LETRA E A 3. Determinar o valor atual de uma renda certa, diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: Este mesmo exercício, poderia se enunciado da seguinte maneira: 3. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece três períodos após o recebimento do financiamento, calcule o valor do financiamento: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 A = P. ( an+x,i - ax,i ) A = ( a6,10% - a2,10% ) A = ( 4,3553-1,7355 ) A = ( 2,6198 ) A = LETRA D Vamos abordar o segundo caso: Cálculo do Montante. Neste caso, teremos duas abordagens, porém diferentemente do primeiro caso não teremos nomes para estas abordagens. a.) Primeira abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa na data do último pagamento ou do último recebimento das parcelas que compõe a renda certa. Veja o fluxo abaixo:

38 38 Matemática Financeira P t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula: M = P. s n,i Onde M é o montante da renda certa. i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos. n é o número de prestações a serem pagas. P é o valor de cada entrada da renda certa. ( ) n 1 + i 1 sn, i = sabe-se que i é um fator que normalmente é dado das provas. (terceira tabela da nossa apostila). Caso este fator não for dado, para resolver exercícios de renda certa, devemos utilizar os mesmo conceitos de equivalência de capitais. b.) Segunda abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa em uma data onde o último pagamento ou o último recebimento das parcelas que compõe a renda certa não coincide com o montante que desejamos calcular. Veja o fluxo abaixo: P M Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula: M = P. ( s n+x,i s x,i ) Onde M é o montante da renda certa. i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos. n é o número de prestações a serem pagas. P é o valor de cada entrada da renda certa. x é o número de prestações acrescentadas. Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com cálculo de montante. Exercícios Exemplos Resolvidos 4. Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no início do 4º mês? a) R$ ,65 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,52 início M t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10 Caso o último título da renda certa não coincidir com o valor do montante que queremos calcular devemos acrescentar títulos e depois retirá-los. Olhe o fluxo abaixo para entender o explicado. P t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10 M M M = P. sn,i A = s4,10% A = ,6410 A = LETRA C 5. Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no final do 5º mês? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00

39 Matemática Financeira 39 d) R$ ,10 e) R$ ,00 Prática Para calcular o montante desta renda certa, devemos acrescentar duas prestações ao fluxo, fazendo com que a última prestação coincida com o valor que queremos calcular e depois para obter o montante basta subtrair o fator sn,i das parcelas que acrescentamos A = P. ( sn+x,i - sx,i ) A = ( s6,10% - s2,10% ) A = ( 7,7156-2,1000 ) A = ( 5,6156 ) A = LETRA B Conclusão sob Rendas Certas. 1) 2) Quando calculamos o valor atual de uma renda certa, a fórmula que usamos descapitaliza ao mesmo tempo todos os títulos que compõe a renda certa. Quando calculamos o montante de uma renda certa, a fórmula que usamos capitaliza ao mesmo tempo todos os títulos que compõe a renda certa. M M 1. O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 8% a.m. é: a) R$ ,68 b) R$ ,79 c) R$ ,56 d) R$ ,33 e) R$ ,70 2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 8% ao mês. é: a) R$ ,68 b) R$ ,79 c) R$ ,56 d) R$ ,33 e) R$ ,70 3. O valor atual de uma Renda Certa Imediata com 3 pagamentos mensais e iguais é R$ ,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta vigente é 4% ao mês? a) R$ ,11 b) R$ ,55 c) R$ ,81 d) R$ ,14 e) R$ ,33 4. O valor atual de uma Renda Certa Antecipada com 3 pagamentos mensais e iguais é R$ ,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta é 4% ao mês? a) R$ ,11 b) R$ ,55 c) R$ ,81 d) R$ ,42 e) R$ ,92 5. Determinar o valor atual de uma Renda Certa, Diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais de R$ ,00, à taxa composta de 5% ao mês. a) R$ ,98 b) R$ ,45 c) R$ ,65 d) R$ ,82 e) R$ ,32

40 40 Matemática Financeira 6. Qual o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa, Diferida de 2 meses, com 5 pagamentos iguais, se seu valor atual à taxa composta de 6% ao mês é R$ ,00? a) R$ ,66 b) R$ ,56 c) R$ ,58 d) R$ ,57 e) R$ ,77 7. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,20 d) R$ ,00 e) R$ ,78 8. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,20 d) R$ ,00 e) R$ ,78 9. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação três meses após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,20 d R$ ,00 e) R$ , Um débito é formado por 5 prestações mensais e iguais que deverão vencer nos dias 15 de abril, 15 de maio, 15 de junho, 15 de julho e 15 de agosto, no valor de R$ cada uma. Quanto deverá ser pago no dia 15 de janeiro, do mesmo ano, para quitar o débito, se a taxa composta vigente é 7% ao mês? a) R$ ,77 b) R$ ,08 c) R$ ,07 d) R$ ,88 e) R$ , Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8 mês? (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês) a) R$ ,45 b) R$ ,87 c) R$ ,76 d) R$ ,56 e) R$ , Um título de R$ ,00 deverá vencer no dia 12 de julho. Quanto deverá ser depositado nos dias 12 de maio, 12 de junho e 12 de julho, do mesmo ano para saldar o débito, se a taxa composta vigente é 9% ao mês? a) R$ ,56 b) R$ ,49 c) R$ ,46 d) R$ ,77 e) R$ , Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8 mês? (considere que as suplicações são feitas no início de cada mês) a) R$ ,45 b) R$ ,20 c) R$ ,76 d) R$ ,56 e) R$ ,89

41 PRÁTICA Matemática Financeira 41 Provas de Concursos Anteriores AFRF (AFTN) AFTN/91 (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais uma quantia de 200 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do, período t+1, a uma quantia de: a) 406,25 b) 352,5 c) 325 d) 300 e) Um comercial paper com valor de face U$ ,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate. a) U$ ,00 b) U$ ,00 c) U$ ,00 d) U$ ,00 e) U$ ,00 4. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196% d) 18,174% e) 18% 5. O pagamento de um empréstimo no valor de unidades de valor será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação, vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será: a) b) ,31306 c) , d) , e) , Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de , ao final de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês? a) , b) ( 12 x 1,48) c) , d) (12 x 1,601032) e) 12: Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de no início do primeiro ano, um desembolso de no fim do primeiro ano e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim primeiro ano. a) ,86 b) ,22 c) 5.830,21 d) 4.940,86 e) 1.340,86 AFTN/96 (Usar a tabela dada na prova) A Tabela abaixo contem números elevados à potências específicas que poderão ser usados para facilitar seus cálculos na resolução das questões desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenças, isso ocorrerá pois os resultados que fornecemos, estão truncados com quatro casas decimais.

42 42 Matemática Financeira PRÁTICA (1,04) 2 = 1,0816 (1,10) 2 = 1,2100 (1,04) 3 = 1,1248 (1,10) 3 = 1,3310 (1,04) 4 = 1,1098 (1,10) 4 = 1,4641 (1,04) 5 = 1,2166 (1,10) 5 = 1,6105 (1,04) 6 = 1,2653 (1,10) 6 = 1,7715 (1,04) 7 = 1,3159 (1,10} 7 = 1,9487 (1,04) 8 = 1, 3685 (1,10) 8 = 2,1435 (1,04) 9 = 1,4233 (1,10) 9 = 2,3579 (1,04) 10 = 1,4802 (1,10) 10 = 2,5937 (1,09) 2 = 1,1881 (1,20) 2 = 1,4400 (1,09) 3 = 1,2950 (1,20) 3 = 1,7280 (1,09) 4 = 1,4115 (1,20) 4 = 2,0736 (1,09) 5 = 1,5386 (1,20) 5 = 2,4883 (1,09) 6 = 1,9771 (1,20) 6 = 2,9859 (1,09) 7 = 1,8280 (1,20) 7 = 3,5831 (1,09) 8 = 1,9925 (1,20) 8 = 4,2998 (1,09) 9 = 2,1718 (1,20) 9 = 5,1597 (1,09) 10 = 2,3673 (1,20) 10 = 6, Uma pessoa possui um financiamento ( taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de 70% do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de 30% do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00 2. Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, você receberá liquidos hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% 3. Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custos e nem taxas para fazer estas alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 50 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais; a primeira ao final do 10 o mês; a segunda ao final do 30 o mês; a terceira ao final do 70 o mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ ,31 d) $ ,00 e) $ ,60 4. Uma empresa aplica $ 300,00 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal desta operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,0% d) 5,20% e) 4,80% 5. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivaiente a uma taxa trimestral de: a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão n o 6. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.

43 PRÁTICA Matemática Financeira 43 Fluxos Meses Um Dois Três Quatro Cinco Considere uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. O fluxo de caixa da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: a) Fluxo Um b) Fluxo Dois c) Fluxo Três d) Fluxo Quatro e) Fluxo Cinco 7. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor que à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95;23 8. Uma empresa obteve um financiamento de $ ,00 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro mês e $ 3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que devera ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250,00 b) $ 3.100,00 c) $ 3.050,00 d) $ 2.975,00 e) $ 2.750,00 9. Um empréstimo de $ ,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,33 e) $ , Uma pessoa tomou um empréstimo a taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000,00, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é: a) $ 2.012,00 b) $ 2.121,00 c) $ 2.333,33 d) $ 2.484,84 e) $ 2.510,16 AFTN 98 (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.986,00 e) R$ 3.941,00 2. A quantia de R$ ,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00

44 44 Matemática Financeira PRÁTICA 3. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0 4. Os capitais de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e meio b) Três meses c) Dois meses e vinte e um dias d) Três meses e nove dias e) Três meses e dez dias 5. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 700,00 e) R$ 500,00 6. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral. a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00% 7. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real. a.) R$ 331,00 b.) R$ 340,00 c.) R$ 343,00 d.) R$ 342,00 e.) R$ 337,00 8. Obtenha o valor hoje de um título de R$ ,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) R$ 9.140,00 b) R$ 9.151,00 c) R$ 9.100,00 d) R$ 9.126,00 e) R$ 9.174,00 9. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 c) R$ 2.511,00 d) R$ 3.617,00 e) R$ 2.873, Uma compra no valor de R$ ,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 900,00 b) R$ 986,00 c) R$ 923,00 d) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00

45 PRÁTICA Matemática Financeira 45 AFRF 01 (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a) 4,83% ao mês b) 3,206% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 4% ao mês e) 4,859% ao mês 2. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00 3. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 12,6162% e) 12,5508% 4. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43 a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 6. Uma empresa deve pagar R$ ,00 hoje, R$ ,00 ao fim de trinta dias e R$ ,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,28 7. Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 8. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1.970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423,00 5. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos).

46 46 Matemática Financeira PRÁTICA AFRF 02 Abril (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses 2. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 3. Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 4. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que: (1,20) 4 =2,0736; (1,20) 4,5 =2, e (1,20) 5 =2, a) 107,36% b) 127,1515% c) 128,096% d) 130% e) 148,832% 5. Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ ,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 6. Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1 o de fevereiro. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

47 PRÁTICA Matemática Financeira 47 AFRF 02 Setembro (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 2. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 3. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ ,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 b) R$ 1.418,39 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.512,44 e) R$ 1.550,00 4. Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1, cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, b) US$ c) US$ d) US$ e) US$ Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano Valor a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25 6. A quantia de R$ ,00 é devida hoje e a quantia de R$ ,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

48 48 Matemática Financeira PRÁTICA 7. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ ,72 b) R$ ,72 c) R$ ,00 d) R$ ,90 e) R$ ,1835. AFRF 03 (Usar a tabela do fim da apostila) 1. Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% 2. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1, a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 3. Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com credor um pagamento único equivalente no dia do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 4. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 5. Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1, e de cada cupom US$ Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% AFRF Ana quer vender um apartamento por R$ ,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ ,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

49 PRÁTICA Matemática Financeira Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ ,00 e uma parcela de R$ ,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 3. Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ ,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ ,00 no fi nal do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 4. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ ,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 5. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimento durante o ano de Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a: a) R$ 4.634,00 b) R$ 4.334,00 c) R$ 4.434,00 d) R$ 4.234,00 e) R$ 5.234,00 6. Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ ,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ ,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7. Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ ,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ ,00 e R$ ,00 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,00 d) R$ ,00 e R$ ,00 e) R$ ,00 e R$ ,00

50 50 Matemática Financeira PRÁTICA 8. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a: a) 19 % b) 18,24 % c) 17,14 % d) 22 % e) 24 % TRF 2006 (Área Informática) 1. Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de seis meses enquanto o restante do capital foi aplicado à taxa de 3% ao mês, juros simples, no mesmo período de seis meses. Calcule o valormais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 8.229,14 ao fi m do prazo. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 2. Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. a) 2,595% ao mês. b) 19,405% ao semestre. c) 18% ao semestre. d) 9,703% ao trimestre. e) 5,825% ao bimestre. 3. Uma empresa especializada desconta um cheque no valor nominal de R$ ,00 três meses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 4% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto. a) R$ 1.090,00 b) R$ 1.100,00 c) R$ 1.110,00 d) R$ 1.200,00 e) R$ 1.248,00 4. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período da seguinte série de pagamentos, cada um relativo ao fim de cada período, à taxa de juros compostos de 10% ao período. Período Valor a) b) c) d) e) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 6. Um capital de R$ ,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7. Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 535,00 c) R$ 542,00 d) R$ 559,00 e) R$ 588,00

51 PRÁTICA Matemática Financeira Três capitais nos valores respectivos de 100, 250 e 150 são aplicados a juros simples no mesmo prazo às taxas de 3%, 4% e 2% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. a) 3,4% b) 3,2% c) 3,0% d) 2,8% e) 2,6% 9. Uma pessoa aplica um capital unitário recebendo a devolução por meio de uma anuidade formada por doze pagamentos semestrais, com o primeiro pagamento sendo recebido ao fi m de seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Admitindo que ela consiga aplicar cada parcela recebida semestralmente a uma taxa de juros compostos de 12% ao semestre, qual o valor mais próximo do montante que ela terá disponível ao fi m dos doze semestres? a) 2,44 b) 2,89 c) 3,25 d) 3,54 e) 3, Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 AFRFB No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 %

52 52 Matemática Financeira GABARITO TABELAS PARA CONSULTA FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (1 + i) n n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 1,1500 1, ,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 1,3225 1, ,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 1,5209 1, ,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 1,7490 1, ,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 2,0114 2, ,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 2,3131 2, ,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 2,6600 3, ,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 3,0590 3, ,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 3,5179 4, ,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 4,0456 5, ,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 4,6524 6, ,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 5,3503 7, ,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 6,1528 8, ,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 7, , ,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 8, , ,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 6,1304 9, , ,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 6, , , ,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 7, , ,6733 FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a n,i = (1 + i) n 1 i. (1 + i) n n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,8929 0,8696 0, ,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,6901 1,6257 1, ,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4018 2,2832 2, ,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,0373 2,8550 2, ,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6048 3,3522 3, ,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,1114 3,7845 3, ,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,5638 4,1604 3, ,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 4,9676 4,4873 4, ,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,3282 4,7716 4, ,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,6502 5,0188 4, ,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 5,9377 5,2337 4, , ,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,1944 5,4206 4, , , ,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,4235 5,5831 4, , , , ,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,6282 5,7245 5, , , , , ,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 6,8109 5,8474 5, , , , , , ,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 6,9740 5,9542 5, , , , , , ,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,1196 6,0472 5, , , , , , , ,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,2497 6,1280 5,2732 FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS s n,i = (1 + i) n 1 i n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1200 2,1500 2, ,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3744 3,4725 3, ,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7793 4,9934 5, ,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,3528 6,7424 7, ,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 8,1152 8,7537 9, ,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9, , , , ,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9, , , , , , , , ,3685 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7403

53 GABARITO Matemática Financeira 53 GABARITO - Juros Simples A D C B D B D E B A D C B GABARITO - Juros Compostos B C A A E A A E C A D 12 E GABARITO - Taxas B D A B D D A C A GABARITO - Juros Simples Ordinário / Juros Simples Exato D C A GABARITO - Prazo, taxa, e Capital Médio C B C GABARITO - Convenção Exponencial C B A B GABARITO - Desconto Composto E D A B C D A B A E D GABARITO - Desconto Simples E C E D E B D B E D C B A C A GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Composto C E E E A A E GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Simples. (Rendas variáveis e uniformes) C B A A C E D E A E D C D A GABARITO - Taxa Nominal e Efetiva C A A E D D GABARITO - Taxa Efetiva e Nominal no Juro Simples B C D B

54 54 Matemática Financeira GABARITO GABARITO - Renda Certa ou Renda Uniforme A E E D D D B D C C A E B GABARITO - Provas AFRF B E A B C A E GABARITO - Prova AFTN B A D E D C A E C B GABARITO - Prova AFTN Anulada A D C E B E B A D GABARITO - Prova AFTN D A B E E C D C GABARITO - Prova AFTN 02 - Abril A E C C B D D GABARITO - Prova AFTN 02 - Setembro A E B D C B C GABARITO - Prova AFTN E C A B D GABARITO - Prova AFRF A C E B D A Anulada C GABARITO - Prova TRF - Área Informática E B C E A C D B D A GABARITO - Prova AFRFB E