AFC/2005 Resolução da prova de Matemática Financeira

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1 12/02/2006 AFC/2005 Resolução da prova de Matemática Financeira Questão 11. Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,000. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva de juros da operação são, respectivamente, iguais a a) R$ ,00 e 3,4% ao mês. b) R$ ,00 e 5,4% ao mês. c) R$ ,00 e 64,8% ao ano. d) R$ ,00 e 60% ao ano. e) R$ ,00 e 5,4% ao mês. De 60% ao ano determinamos a taxa proporcional para 45 dias. Temos: (60 360) 45 7,5%. O desconto comercial é por fora, ou seja para cada R$100,00 de valor nominal desconta-se R$7,50 resultando em R$ de valor presente. A proporção ao lado estabelece a relação entre o valor nominal, o desconto comercial e o valor presente. Portanto, DC VN 7, VN 100 VN Da proporção também determinamos a taxa de juros. A taxa de juros é dada considerando o valor presente como caoital a disposição (antecipação do capital a disposição). Para cada R$ de capital disponíveis por 45 dias paga-se R$7,50. A proporção ao lado fornece a taxa de juros ,50 x De onde: x 100 7,50 x 8,108108% (para 45 dias) Da taxa de juros para 45 dias determinamos proporcionalmente a taxa de juros α para 30 dias. Temos: α (8, ) 30 5,41%. Portanto, o valor nominal é de R$ ,00 e a taxa de juros é de α 5,41% ao mês. (opção e) Observação: Mesmo o desconto sendo comercial simples taxa proporcional seria mais correto determinar a taxa de juros para 30 dias de forma exponencial, para evitar maiores distorções. Desta forma o cálculo teríamos: Β [(1, ) 2/3 1] 100 β 5,335% ao mês. Evidentemente, a ESAF elaborou a questão para ser resolvida pela taxa proporcional.

2 Questão 02. Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69% e 60%. b) 60% e 60%. c) 69% e 79%. d) 60% e 69%. e) 120% e 60%. A taxa de 60% ao ano do Banco A é uma taxa nominal que corresponde a taxa efetiva semestral de 30% (proporcional). Essa taxa efetiva de 30% ao semestre resulta na taxa equivalente anual dada por i A (1,30) 2 1) 100 i A 69%. A taxa de 30% ao semestre do Banco B é uma taxa nominal que corresponde a taxa efetiva mensal de 5% (proporcional). Essa taxa efetiva de 5% ao mês resulta na taxa equivalente anual dada por i B (1,05) 12 1) 100 i B 79%. A opção correta e a de letra c. Observação: Muitos têm dificuldade em entender a idéia da taxa nominal. A Matemática Financeira apenas estabelece critérios de cálculo e a escolha é de quem elabora a questão. Para mostrar a distorção desse processo de cálculo, basta calcular a taxa efetiva anual para a taxa nominal de 120% ao ano com capitalização mensal. Temos: i (1,10) 12 1) 100 i 213,84% ao ano. Questão 03. Considere três títulos de valores nominais iguais a R$5.000,00, R$3.000,00 e R$2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6% ao mês, quatro meses a 9% ao mês e dois meses a 60% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a: a) 7%. b) 6%. c) 6,67%. d) 7,5%. e) 8%. Devemos estabelecer que a taxa média é aquela que produz o mesmo desconto total que o total dos descontos nas taxas dadas. As taxas proporcionais são dadas por 18% para o título de R$5.000,00, 36% para o título de R$3.000,00 e 10% para o título de R$2.000,00 A soma dos desconto nas taxas dadas é de: , , , Para uma taxa de desconto mensal i m temos a igualdade: i m i m i m Donde i m i m 0,0703 Portanto a taxa porcentual é de 7,03% ao mês (opção a)

3 Questão 04. Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a: a) R$2.535,00. b) R$2.100,00. c) R$2.153,00. d) R$1.957,00. e) R$1.933,00. Vamos representar a situação na linha de tempo ao lado. À taxa de 5% ao mês, determinamos os equivalentes na data 6. A dívida de R$500,00 é capitalizada em três meses, a dívida de R$1.000,00 é descapitalizada em dois meses e a dívida de R$600,00 é descapitalizada em seis meses. A soma das dívidas na data seis é o valor P da nova dívida. P (1,05) 3 (1,05) 2 (1,05) 6 Temos a equação: P 500 (1,05) (1,05) (1,05) 6 P 500 1, , , Portanto, P R$1.933,00 (opção e) Observação: Advinhamos o que a ESAF queria. Na afirmação No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela fica claro que a decisão foi tomada após a data de vencimento da parcela de R$500,00 da data três. Não fica clara é qual dívida? Será a dívida total, supondo não paga a parcela de R$500,00; ou a dívida restante, supondo paga a parcela de R$500,00. Questão 05. Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final de sexto mês. A segunda parcela, cujo valor é de R$30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$35.000,00. b) R$27.925,00. c) R$32.500,00. d) R$39.925,00. e) R$35.500,00. Uma repetição da questão anterior, porém bem formulada. Representaremos a situação em uma linha de tempo com periodicidade mensal. taxa de 4% ao mês, as parcelas P P são levadas para data focal zero. A parcela de valor P é (1,04) 6 descapitalizada em seis meses, a parcela de R$30.000,00 (1,04) 12 é descapitalizada em doze meses e a segunda parcela de (1,04) 18 valor P é descapitalizada em dezoito meses. soma dos valores na data zero é igual a R$85.000,00. temos a equação: P (1,04) (1,04) 12 + P (1,04) Donde P ,00 (opção d)

4 Questão 06. No dia 10 de setembro, Ana adquriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de: a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Uma questão clássica. Na linha de tempo temos uma série de 10 capitais de R$ com início em 10/11, dois meses após a compra. A taxa anual de 60,1032%, através da tabela, resulta na taxa mensal de 4% ao mês. 10/09 10/10 10/11 10/12 10/01 10/02 10/03 10/04 10/05 10/06 10/07 10/08 Adotando 10/10 como data focal, um mês após a compra, temos a equação para o valor presente. O fator para o valor presente é fornecido pela ESAF. Temos: 1,04 a 10 4% 1,04 8, ,00 A opção correta é a de letra a. Questão 07. Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$,00 e uma parcela de R$,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a: a) R$23.455,00. b) R$23.250,00. c) R$24.580,00. d) R$25.455,00. e) R$26.580,00. Novamente, a linha de tempo com periodicidade mensal. Adotando a data zero como data focal, o capital de R$,00 da data 6 é descapitalizado em seis períodos e o capital de R$17.000,00 é descapitalizado em 8 períodos. Temos a equação: P 0 6 (1,03) 6 (1,03) P (1,03) 8 + (1,03) 6 donde P , , P R$23.250,00 (opção b) Questão 08.

5 Ana comprou, no regime de juros compostos, um aprtamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra. Após pagar a sétima prestação Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de: a) R$61.474,00 b) R$51.775,00. c) R$59.474,00. d) R$59.775,00. e) R$61.775,00. Na linha de tempo temos a representação das prestações do financiamento. Devemos determinar o valor das sete prestações pagas por Ana capitalizadas para a data sete. Trata-se do valor futuro de uma série de oito capitais de R$,00 cada um. O fator para o montante é fornecido pela ESAF Temos a equação: VF s 7 2% 7, R$59.474,00 (opção c) Questão 09. O preço á vista de um imóvel é de R$ ,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais e iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor á vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9% ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$34.323,00 b) R$32.253,00. c) R$35.000,00. d) R$37.000,00. e) R$57.000,00. Solução. A linha de tempo ao lado representa as parcelas do financiamento. O valor V que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre (data 6) é a soma de uma parcela mensal (P m ) com uma parcela trimestral (P t ). Determinemos as parcelas. P m P t P t P m P m P m P m P m P m a 18 3% P m 13, P m 6.543, P t a 4 9% P t 3, P t ,18 V P t + P m V 6.543, ,18 V R$34.323,00 (opção a)

6 Questão 10. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de R$2.500,00 com vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$3.500,00 com vencimento para o final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos para honrá-la, o devedor propôs um novo esquema de pagamento. Um pagamento de R$4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo que a taxa de juros compostos da operação é de 3% ao mês, então, sem considerar os centavos, o saldo a pagar em dezembro será igual a a) R$2.168,00 b) R$2.288,00. c) R$2.000,00. d) R$3.168,00. e) R$3.288,00. Solução. Em uma linha de tempo vamos representar as situações. (1,03) 10 (1,03) P (1,03) 3 Escolhendo a data 12 (final de dezembro) como data focal temos a igualdade das duas alternativas: (1,03) (1,03) (1,03) 3 + P , , , P 3.359, , ,91 + P P R$3.168,00 (opção d).