Conceitos de: juro, capital, taxa de juros, montante e capitalização simples

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1 UFS FM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIA MTM 5151 MATEMÁTIA FINAEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 1 JUROS SIMPLES onceitos de: juro, capital, taxa de juros, montante e capitalização simples Juro j É uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo n, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado. apital P Em matemática financeira, entendemos por capital qualquer valor expresso em moeda e disponível em certa época. Taxa de juros i j É a razão entre o juro pago ou recebido e o capital inicial. Isto é, i. P Exemplo. Um empréstimo de 1.000,00 UM deve ser pago daqui a um ano no valor de UM. alcular a taxa anual de juros da operação. i ,15 ou i 15% aa. A taxa de juros pode ser apresentada nas seguintes formas: Taxa Percentual - Exemplo: 25% ao ano; Taxa Unitária - Exemplo: 0,25 ao ano. A transformação da taxa porcentual (ou percentual) em taxa unitária é feita pela divisão da notação em percentagem por 100 e para a transformação inversa basta multiplicar taxa unitária por 100. Exemplos: Taxa Percentual Taxa Unitária 1,25% 0, ,78% 0, % 1, % 13,78 0,25% 0,0025 Nota: 1) Nas fórmulas, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros; 2) Nas fórmulas, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. 1

2 Montante (ou valor futuro)f hamaremos de montante à soma do capital com o juro obtido pela aplicação. apitalização Simples: É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial (a taxa de juros varia linearmente em função do tempo). álculo de juros simples No critério (ou regime) de juros simples, em cada período, os juros são calculados sobre o capital inicial (ou principal), sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O valor dos juros simples é obtido pela fórmula: onde j P i n j = valor dos juros P = principal, capital inicial ou valor presente; n = prazo; i = taxa. Exemplos. 1) alcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de ,00 UM pelo prazo de 18 meses, à taxa de 1,5% ao mês. Dados do problema: P ,00 UM; n 18meses; i 1,5% am 0, 015 am ; j?. Usando a fórmula acima, vem: j , 00 0, , 00 j 3.375,00 UM. Resposta: O valor dos juros correspondente ao empréstimo é de 3.375,00 UM. 2) alcular o valor de um empréstimo, à taxa de 36% ao ano, pelo prazo de 8 meses sendo pago de juros ,00 UM. 36% aa Dados do problema: n 8 meses; i 36% aa 3% am 0, 03 am 12 meses j , 00 ; P?. Usando a fórmula acima, vem , 00 P , 00. 0,038 Resposta: O valor do empréstimo é ,00 UM. 3) Uma aplicação de ,00 UM, pelo prazo de 120 dias, obteve um rendimento de 1.825,00 UM. Qual a taxa anual de juros simples dessa aplicação? Dados do problema: P ,00 j 1.825, 00 UM; i? anual. UM; 120 n 120 dias ano ; 360 2

3 Usando a fórmula acima, vem: , ,00 i i = 28,82 % ao ano. 360 Resposta: A taxa de juros desta aplicação é de 28,82% ao ano. 4) Sabendo-se que os juros de 1.251,25 UM foram obtidos com a aplicação de 6.500,00 UM à taxa de 2,75% ao mês, calcular o prazo da aplicação. Dados do problema: P 6.500, 00 UM; j 1.251, 25 UM; i 2,75% am 0,0275 am ; n? Usando a fórmula acima, vem: 1.251, , 00 n0, 0275 n 7 meses. Resposta: O prazo da aplicação é de 7 meses. álculo do montante (ou valor futuro) - F Sabemos que, F P j então F P j P P i n P ( 1 i n ) F P ( 1 i n). Exemplos. 1) Uma pessoa aplicou 2.700,00 UM a uma taxa de juros simples de 2,8% ao mês, pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou? Dados do problema: P 2.700,00 UM; n 3 meses; i 2,8% am 0,028 am ; F?. Usando a fórmula acima, vem F 2.700, , 0283 F 2.926,80 UM. Resposta: O valor do resgate é 2.926,80 UM. 2) Uma empresa aplicou ,00 UM no mercado financeiro, a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, pelo prazo de quatro meses. alcule quanto à empresa resgatou. Dados do problema: P ,00 UM; n 4 meses; 18% aa i 18% aa 1,5% am 0, 015 am ; F? 12 meses Usando a fórmula acima, vem 0,18 F , F , 00 UM. 12 Resposta: A empresa resgatou ,00 UM 3) alcular o valor dos juros e do montante de um capital de 7.500,00 UM aplicado a uma taxa de juros simples de 20% aa, por 220 dias. Dados do problema: P 7.500, 00 UM; n 220 dias ; 20% aa 0, 20 i 20% aa ad ; j? e F?. 360 dias 360 Pela fórmula de juros simples, vem 0,20 j 7.500, , 67 UM Pela fórmula do montante, vem: F 7.500,00 916, ,67 UM. Resposta: O valor dos juros é 916,67 UM e o montante é 8.416,67 UM. 3

4 Juro Exato e Juro omercial Juro Exato ( JE ): É calculado quando o período n está expresso em dias, utiliza-se o ano civil e a taxa é expressa ao ano. Logo, Pi n JE. 365 Juro omercial J : É calculado quando se adota como base o ano comercial e o período n expressa o número de dias. Logo, Pi n J. 360 Exemplos. 1) alcular o juro exato e o juro comercial de um capital de 5.000,00 UM aplicado pelo prazo de 40 dias à taxa de 36% aa. Resolução. Pelas fórmulas acima, vem 5.000,000, , 000,36 40 JE 197,26 e J Portanto, o juro exato é 197,26 UM e o juro comercial é 200,00 UM. 2) alcular o juro exato e o juro comercial de um capital de 4.000,00 UM aplicado no dia 16/04/20X1 e resgatado no dia 23/07/20X1 a uma taxa de juros de 48 % aa. Resolução. Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem Até dia 23/07/20X1 temos 204 dias (Veja na tabela de contagem de dias, pág.8) Até dia 16/04/20X1 temos 106 dias. Assim, n dias. Pelas fórmulas acima, temos 4.000, 000, , 000, 4898 JE 515,51 e J 522, O montante pelo juro exato é 4.515,51 UM e o montante pelo juro comercial é 4.522,67 UM. 3) Um empréstimo de 4.500,00 UM foi realizado em 20/07/20X1 e foi pago decorridos 148 dias. Sabendo-se que a taxa contratada foi de 45% aa, calcular: a) a data de vencimento do empréstimo; b) o valor pago pelo juro exato; c) o valor pago pelo juro comercial. Resolução. Dados do problema: P 4.500,00, i 45% aa = 0,45 aa, n 148 dias. a) Até o dia 20/07/20X1 temos 201 dias (pela tabela de contagem de dias), assim dias. Logo, pela tabela de contagem de dias, a data de vencimento do empréstimo é 15/12/20X1. b) o valor pago pelo juro exato, pela fórmula do montante, é 0, 45 F 4.500, , 001, , c) o valor pago pelo juro comercial é 0, 45 F 4.500, , 001, , ) Um capital de 2.500,00 UM foi aplicado a certa taxa de juro exato no período de 14/MAI/20X1 e 23/SET/20X1. Sabendo-se que o valor de resgate em 23/SET/20X1 é 2.732,80 UM, determinar a taxa de juro anual da operação. Resolução. Dados do problema: P 2.500,00, F 2.732,80, i?() anual. Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem 4

5 Até dia 23/SET/20X1 temos 266 dias Até dia 14/MAI/20X1 temos 134 dias, logo n dias. Pela fórmula do montante, temos i i 2.732, , , i 25,75% Portanto, a taxa de juro da operação é 25,75% aa. aa. 5) Um capital de 1.750,00 UM rendeu 259,29 UM de juro. Sabendo-se que a taxa de juro comercial contratada foi de 42% aa e que a aplicação foi feita dia 07/JUN/20X1, determinar a data de vencimento dessa aplicação. Resolução. Dados do problema: P 1.750,00, J 259, 29, i 42% aa 0, 42 aa. Pela fórmula do J, vem 0, , , 00 n n 127 dias. 360 Agora, até o dia da aplicação 07/JUN/20X1, temos 158 dias, assim, dias, ou seja, a data de vencimento da aplicação é dia 12/OUT/20X1. 6) Que capital aplicado em 19/02/20X1 à taxa de juro comercial de 1,25% am gerou um montante de 2.450,00 e, 04/09/20X1? Resolução. Dados do problema: F 2.450,00, i 1,25% am 0,0125 am, P? Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem Até dia 04/09/20X1 temos 247 dias, Até dia 19/02/20X1 temos 50 dias, logo n dias. Pela fórmula do montante, vem 0, , , 00 P1 197 P1, 0821 P 2.264, , 0821 Portanto, o capital aplicado é 2.264,15 UM. Juro Simples através da Regra dos Banqueiros É o cálculo em que é usado o ano comercial (360 dias), mas o número de dias segue o calendário do ano civil. Exemplos. 1) alcular o juro, pela regra dos banqueiros, gerado por um capital de 2.000,00 UM, aplicado no dia 19/FEV/20X1 até dia 28/ABR/20X1, a uma taxa de 24% aa. alcule também o montante da aplicação. Resolução. Dados do problema: P 2.000,00, i 24% aa = 0,24 aa, n número de dias entre 19/FEV/20X1 e 28/ABR/20X1 = dias. 0,24 Logo, J 2.000, , Portanto, o valor do juro pela regra dos banqueiros é R$90,67 e o montante da aplicação é R$2.90,67. 2) Uma pessoa deve ao banco Alvorada a importância de 8.500,00 UM, em 12/03/20X1, pela regra dos banqueiros, a uma taxa de juros de 48% aa. Decorridos 218 dias, esta pessoa procurou o banco Alvorada para quitar esta dívida. Determinar: a) a data de vencimento da dívida; b) o valor pago na data do vencimento da dívida. Resolução. Dados do problema: P 8.500,00, i 48% aa = 0,48 aa, n 218 dias e 12/03/20X1 = data em que foi contraída a dívida. 5

6 a) Até a data de 12/03/20X1, pela tabela de contagem de dias, temos decorrido 71 dias, assim dias. Logo, pela tabela de contagem de dias, a data de vencimento da dívida é dia 16/OUT/20X1. b) alculando o montante em 16/OUT/20X1, vem 0,48 F 8.500, , ) O Sr. Epaminondas obteve um empréstimo no banco Salvador da Pátria, em 09/AGO/20X1, pela regra dos banqueiros e a taxa contratada é de 36% aa. Em 15/FEV/20X2 o montante da dívida é de 7.458,63 UM. alcular o valor do empréstimo. Resolução. Dados do problema: F 7.458,63, i 36% aa = 0,36 aa, n número de dias entre 09/AGO/20X1 e 15/FEV/20X2. Para calcular o número de dias entre as duas datas, temos De 09/AGO/20X1 até 31/12/20X1 = dias e até 15/FEV/20X2 = dias. Assim, n 190 dias. Pela fórmula do montante, vem 0, , 63 P1 190 P1,19 P 6.267, Portanto, o valor do empréstimo é de 6.267,76 UM. 4) Um empréstimo de 2.500,00 UM foi realizado em 22/05/20X1 e foi pago em 09/11/20X1. Sabendo-se que a taxa contratada foi de 3,5% am, determinar o valor pago em 09/11/20X1, pela regra dos banqueiros. Resolução. Dados do problema: P 2.500,00, i 3,5% am = 0,035 am, n número de dias entre as duas datas. Até 09/11/20X1 temos 313 dias, Até 22/05/20X1 temos 142 dias. Assim, n dias. Pela fórmula do montante, vem 0,035 F 2.500, , Portanto, o valor pago em 09/11/20X1 é 2.998,75 UM. Exercícios Propostos 1) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/03/20X1 a 27/11/20X1, à taxa de 43% aa, para render juro exato de 566,19 UM e juro comercial de 621,89 UM? Resposta. Juro exato: apital = 1.800,00 UM e Juro comercial: apital = 1.950,00 UM. 2) Um empréstimo de 8.000,00 UM foi realizado em 27/02/20X1 e foi pago em 03/AGO/20X3. Sabendo-se que a taxa contratada é 38,5% aa, determinar: a) o valor pago em 03/AGO/20X3 pelo juro exato; b) o valor pago em 03/AGO/20X3 pelo juro comercial. Resposta. a) ,82 UM; b) ,78 UM. 3) O capital de 1.500,00 foi aplicado em08/04/20x1, à taxa de juro exato de 27% aa, para render juro de 86,55 UM após 78p dias. alcular a data de vencimento desta aplicação e o valor de resgate. Resposta. Data de vencimento: 25/JUN/20X1 e valor de resgate = 1.586,55 UM. 4) determinar o montante, pela regra dos banqueiros, gerado pela aplicação de um capital no valor de 3.500,00 UM, aplicado no período de 18/05/20X1 até 07/03/20X3, a uma taxa de 23,5% aa. 6

7 Resposta ,34 UM. 5) Um investidor aplica 2 5 de seu capital a 26% aa e o restante a 31% aa. Sabendo-se que esta aplicação ocorreu em 11/07/20X1 e que em 22/12/20X1 recebeu 321,74 UM de rendimentos, determinar o seu capital inicial pela regra dos banqueiros. Resposta ,37 UM. 6) Um empréstimo de 4.000,00 UM foi realizado em 21/05/20X1 e foi pago em 17/10/20X2. Se a taxa de juros comercial contratada é 4,5% am, determinar o valor pago em 17/10/20X2. Resposta ,00. 7

8 TABELA PARA ONTAGEM DE DIAS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

9 Método Hamburgês onceito: Envolve problemas de capitalização simples, em que há diversos capitais, aplicados em diversos prazos, rendendo juro a uma taxa única. Exemplo 1. Determinar o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais de UM, UM e UM, pelos prazos de 57 dias, 72 dias e 26 dias, respectivamente, a taxa de 48% ao ano. Exemplo 2. alcular o valor do juro incidente sobre os saldos devedores de um cliente, durante o mês de abril/x1, a taxa de 7,5% am, conforme extrato a seguir(em UM). A B A x B DATA HISTÓRIO VALOR D/ SALDO D/ N O DE DIAS 01/04/X1 Transporte /04/X1 heque D D /04/X1 heque D D /04/X1 Depósito /04/X1 Aviso de Débito D D /04/X1 heque D D /04/X1 Depósito D Total: Portanto, Juro pago = 9

10 Valor Nominal de um título N É quanto o título vale na data de seu vencimento. Valor Atual de um título V É o valor que um título tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Sabemos que F P (1) i n, como P é o valor presente ou valor atual e F é o valor futuro ou valor nominal, tem-se a seguinte fórmula: N N V 1 i n ou V 1 i n. Exemplos: 1) alcular o valor nominal de um título de 5.000,00 UM, assinado hoje, com vencimento daqui a 9 meses, se a taxa de juros for de 36% aa. Dados: V 5.000, 00 ; n 9 meses; i 36% aa 3% am 0,03 am, N?. Usando a fórmula acima vem: N 5.000, , , 00 UM. 2) O valor nominal de um título é 8.000,00 UM. Qual seu valor atual cinco meses antes de seu vencimento, se a taxa de juros é 24% aa? Dados: N 8.000, 00 UM; n 5 meses; i 24% aa 2% am 0,02 am ; V?. Pela fórmula do valor presente acima, vem: V 8.000, , , ,025 1,1 UM. 10

11 Unidade 2. Descontos Simples. Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título. Valor Desconto (ou valor atual): é a diferença entre o valor nominal e o desconto. 2.1 Desconto comercial simples (ou por fora) - D É obtido pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal do compromisso saldado n períodos antes do vencimento, logo D N i n onde N = valor nominal do título; n = número de períodos antes do vencimento; i = taxa de desconto. O valor atual ou valor descontado ou ainda valor de face ( V ) é dado por Exemplos: V N D N 1 in ou V N (1) i n 1) Uma Nota Promissória, no valor de ,00 UM em seu vencimento, foi descontada 3 meses antes de seu vencimento (prazo de resgate). Sabendo que a taxa de desconto comercial é 60% aa. alcular o valor do desconto, valor atual ou valor descontado comercial e a taxa de juros da operação (mensal). Dados do problema: N ,00 UM; n 3 meses; i 60% aa 5% am 0,05 am ; D? V? i '? (taxa de juros da operação) D = ,00 x 0,05 x 3 = 2.250,00 V = , ,00 = ,00 Dc i ' V n c 2.250, 00 i ' 5, 88% , 00 3 am. Resposta: O valor do desconto é 2.250,00 UM, o valor atual é ,00 UM e a taxa mensal de juros da operação é 5,88 %. 2) alcular a taxa de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o seu valor de resgate igual a 2.600,00 UM e seu valor atual na data de desconto igual a 2.260,87 UM, calcular também a taxa de juros mensal da operação. D 2.600, ,87 339,13 339, , 00i 2 i 6,52% am. 11

12 i' = 339, ,87 2 7,5% a.m. Resposta: O valor da taxa mensal de desconto deste título é 6,52% e a taxa mensal de juros da operação é 7,5%. 3) O desconto por fora de um título foi de 3.375,00 UM e a taxa de desconto foi de 30% ao ano Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de ,00 UM, calcular também a taxa de juros (mensal) da operação , , 000,3 n n 0,75 ano = 9 meses 3.375, 00 i ' 3, 23% am Resposta: Para o vencimento do título, faltariam 9 meses e a taxa de juros mensal é 3,23%. 4) Um cliente realiza uma operação de desconto comercial de duplicata no valor de 4.000,00 UM no banco XX, com vencimento para 32 dias a uma taxa de desconto de 3,5% am. A alíquota do IOF é de 0,0041% ao dia sobre o valor nominal do título. alcular: a) o valor do desconto; b) o valor do IOF; c) o valor a ser creditado ao cliente; d) a taxa de juros (mensal) da operação. a) 0,035 D 4.000, , b) IOF 4.000, 00 0, , 25. c) V N D IOF 3.845,42. d) 149,33 5, 25 i ' 3, 77% am ,42 30 Resposta: O valor do desconto desta operação é 149,33 UM, o valor do IOF é 5,25 UM, o valor a ser creditado o cliente é de 3.845,42 e a taxa de juros mensal da operação é 3,77%. 5)alcular o valor do desconto por fora de um título de valor nominal 5.400,00 UM descontado 95 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto de 6,5% am. alcular também o valor atual do título e taxa de juros (mensal) da operação. 12

13 0,0 6 5 D = , V 5.400, , , ,5 0 i ' 8,1 8 % a m , Resposta: O valor do desconto é de 1.111,50 UM, o valor atual do título é de 4.288,50 UM e a taxa de juros mensal da operação é 8,18% Taxa média e prazo médio para operações de desconto comercial simples Taxa média A determinação da taxa média é feita com base no cálculo em que as taxas de descontos são ponderadas pelos prazos e pelos valores nominais dos títulos apresentados para desconto, dada pela expressão: i N 1 i 1 n N 1 1 n N 1 2 N i 2 2 n n N... N T T i n T T n T T N K K 1 T K 1 N i K K n n K K Prazo Médio É ponderado pelos valores nominais dos títulos e pelas respectivas taxas, é dado pela expressão: N n N n... N n n onde K T T K 1 T N1 N2... NT K = 1, 2,..., T representa cada um dos títulos apresentados para desconto; N = o valor nominal do título; i = a taxa de desconto; n = o prazo. Exemplos: T N K 1 n N K H 1) alcular a taxa média o prazo médio correspondentes a uma operação de desconto comercial simples de quatro títulos no valor de 4.000,00 UM, 3.500,00 UM, 6.000,00 UM e 2.500,00 UM, de prazo 3, 6, 2 e 4 meses, respectivamente, descontado na ordem dada às taxas de 3%, 5%, 4% e 2% am. 13

14 Dados do problema: N 1 = 4.000,00 UM N 2 = 3.500,00 UM N 3 = 6.000,00 UM N 4 = 2.500,00 UM; N 1 = 3 meses n 2 = 6 meses n 3 = 2 meses n 4 = 4 meses; i 1 = 3% am i 2 = 5% am i 3 = 4% am i 4 = 2% am. álculo da taxa média 4.000,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0,02 4 i 4.000, , , ,00 4 i 360, ,00 480,00 200, ,00 0,038 i - 3,8% am , , , , ,00 álculo do prazo médio n 4.000, , , , , , , , , ,00 Resposta: A taxa média é 3,8% ao mês e o prazo médio é 3,4375 meses. 3,4375 meses 2) O capitais de UM, UM e UM foram aplicados todos ao mesmo prazo, a taxa de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média de aplicação desses capitais. Resposta: A taxa média é 4% ao mês 3) Determinar a taxa média e o prazo médio dos seguintes títulos descontados Número ordem Taxa mensal de desconto Prazo (dias) 1 7,25% ,5% ,3% ,4% Valor do título (UM) Resposta: A taxa média é 8,06% ao mês e o prazo médio é 2,2864 meses. 2.2 Desconto racional simples (ou desconto por dentro) Dr É obtido pelo cálculo de juros simples sobre o valor atual do compromisso saldado n períodos antes de seu vencimento, ou seja, Dr Vr i n onde V é o valor atual racional ou valor descontado racional. r N omo V r V 1 i n, temos N i n Dr. 1 i n Assim, o cálculo do valor atual racional é dado pela fórmula 14

15 N V r 1 i n Exemplo 1. Uma pessoa pretende saldar um título de UM, quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto racional de 30% aa, determinar: a) o valor do desconto por dentro; b) o valor descontado, c) a taxa de juros anual da operação. Exemplo 2. O desconto racional de um título, vencendo 247 dias, é igual a 1.687,25 UM. alcular o valor nominal se a taxa de desconto é 30% aa. Exemplo 3. Um título de valor nominal UM, com vencimento em quatro meses foi comprado por UM. alcular a taxa de desconto racional (anual). Exemplo 4. A diferença entre o desconto comercial simples e o desconto racional simples devido a uma promissória, a taxa de 4% ao mês, 3 meses antes do vencimento é igual a 75 UM. Determine o valor nominal da promissória. 15

16 Relação dentre o desconto racional Dr e do desconto comercial D. N i n D Sabemos que Dr e D N i n então Dr 1 i n 1 i n D (1) Dr i n Exemplo 1. O desconto comercial de um título, descontado 3 meses antes de seu vencimento a taxa de desconto de 36% aa é 955 UM. alcular o desconto racional. Exemplo 2. A diferença entre os descontos por fora e por dentro de um título, calculado um ano dois meses e vinte dias antes de seu vencimento a 24% aa, é 550 UM. Determinar o valor nominal do título. 2.3 Desconto bancário DB orresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada ( h), cobrada sobre o valor nominal do título, logo D D h N D N i n h N N () i n h. Portanto, B D N () i n h. B B O cálculo do valor atual ou valor descontado bancário V b é dado por V N D N N i n h N 1() i n h. Portanto, b B V N 1() i n h. B Exemplo 1. Um título de valor nominal UM foi descontado em um banco que cobra 1,25% de taxa de serviço cinco meses antes de seu vencimento a taxa de desconto de 48% aa, calcular: a) o valor do desconto; b) o valor atual bancário; c) a taxa de juros anual da operação. 16

17 Exemplo 2. O valor atual bancário de um título, descontado 7 meses antes de seu vencimento é de 8540 UM. Determinar a taxa de juros (anual) da operação, se a taxa de desconto é de 18,75% aa e taxa administrativa de 0,95%. Exemplo 3. Um banco cobra, em seus financiamentos, a taxa administrativa de 1,8% e sua taxa de desconto bancário é de 39,5% aa. Que financiamento por 4 meses deverá um cliente pedir a este banco se esta pessoa necessitar HOJE de UM? 2.4.Taxa efetiva () i f Definição. É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário, gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. Temos: a) Taxa efetiva para o desconto comercial N 1 Vc N Vc (1) i f n i f. n b) Taxa efetiva para o desconto bancário N 1 Vb N Vb (1) i f n i f. n c) Taxa efetiva para o desconto racional. Neste caso i f Exemplo 1. Usar dados do exemplo 1 do desconto comercial e do desconto bancário. alcular a taxa efetiva. i. 17

18 Exemplo 2. Uma duplicata de valor nominal UM foi descontada 1a 7 m 25 d antes de seu vencimento a taxa de desconto bancário de 28,5% aa.alcular a taxa efetiva anual se a taxa administrativa é de 1,5%. A taxa efetiva será aquela que conduz pelo desconto racional, ao mesmo valor calculado pelo desconto comercial ou bancário. D Sabemos que i ' i f substituindo D N i n, V N (1) i n, vem V n i i f 1 i n onde i é a taxa de desconto. Exemplo 1. Dados do exemplo 1 do desconto comercial e exemplo 1 do desconto bancário. alcular a taxa efetiva. Exemplo 2. Seja a taxa efetiva de 30% aa e o período de 7 meses. Determinar a taxa de desconto anual. 18

19 2.5 Equivalência de apitais. onceito de data focal ou data de referência. É a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a diferentes datas. Equação de Valor. Permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos as datas diferentes, em uma mesma data focal. apitais Equivalentes. Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se EQUIVALENTES quando, descontados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros e em idênticas condições, produzirem valores iguais. Nota. No regime de juros simples, a equivalência de capitais depende da data focal considerada e o tipo de desconto. Exemplo 1. Três títulos, um para doze meses no valor de UM, outro para quinze meses no valor de UM e outro para vinte e quatro meses no valor de UM, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de UM para nove meses e o segundo para um ano e meio. Sabendo-se que a taxa de desconto racional adotada é de 48% aa, qual será o valor do titulo para um ano e meio? Escolher data focal zero para comparação. Exemplo 2. Resolver o exemplo 1 considerando-se data focal 18 e o critério de desconto racional. Exemplo 3. Resolver o exemplo 1 considerando-se o critério de desconto comercial e data focal zero. 19

20 Exemplo 4 Resolver o exemplo 3 considerando-se o critério de desconto comercial e data focal 18. Exemplo 5. Quero substituir um título de UM vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados comercialmente à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal do novo titulo? onsiderar data focal ZERO. Resposta: 5.424,2 UM Exemplo 6. Uma dívida no valor de UM é negociada para pagamento em três parcelas no segundo mês, no quinto mês e no décimo mês. Se a taxa de desconto racional simples é de 4% ao mês, o valor da primeira parcela é 648 UM e o valor da segunda parcela é o dobro do valor da terceira, determinar o valor da terceira parcela. onsiderar data focal ZERO. Resposta. 840 UM. 20