Prof. Dr. João Muccillo Netto

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2 INTRODUÇÃO 1. Juros Segundo a Teoria Econômica, o homem combina Terra Trabalho Capital Aluguel Salário Juro para produzir os bens de que necessita. Juro é a remuneração do fator capital emprestado ou aplicado produtivamente.

3 2. Taxa de Juros É a relação entre juros e capital aplicado na unidade de tempo. Refere-se sempre a uma unidade de tempo. Exemplo: 12% ao ano. Formas de apresentação da taxa de juros: Percentual refere-se a centos do capital Unitária refere-se a unidade do capital 3. Capital Qualquer valor representado monetariamente, aplicado para produzir rendimentos pode ser considerado capital.

4 4. Montante Montante é a soma de capital mais juros. 5. Regimes de Capitalização Entende-se por regime de capitalização como sendo o processo de formação dos juros. Simples somente o capital inicial (também chamado principal) produz juros. A base de cálculo dos juros é fixa. Composto os juros são incorporados ao capital inicial e produzem juros nos períodos subseqüentes. Há, portanto, juro sobre juros.

5 6. O valor do dinheiro no tempo Os problemas financeiros decorrem essencialmente do conceito de que o dinheiro tem valor diferenciado no tempo, isto é, quantias iguais, em diferentes instantes de tempo, devem necessariamente ser consideradas como sendo valores diferentes. 0 Uma forma clara e ilustrativa de representar esse conceito é o Diagrama do Fluxo de Caixa Eixo horizontal representa os períodos de tempo ou o horizonte de planejamento. Eixo vertical representa entradas e saídas de dinheiro. O conceito de fluxo de caixa é essencial na solução de problemas que envolvem Matemática Financeira.

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7 1. Cálculo do Juro J = Cin C = Capital (ou principal) i = taxa de juros (sempre unitária) n = prazo IMPORTANTE: i e n devem ser consistentes, isto é, devem estar na mesma unidade de tempo. 2. Montante Como o montante (M) é a soma de capital mais juros: M = C (1 + in)

8 Exemplo: Um capital inicial de $ é aplicado por 180 dias a uma taxa de juros simples de 3,5% a.m.. Determinar os juros e o montante. Resposta: $ e $

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10 1. Cálculo do Montante Sendo: PV = capital inicial FV = montante n = prazo i = taxa de juros compostos FV 1 = PV + PV i FV 1 = PV (1 + i) para o 1 o. Período FV 2 = FV 1 (1 + i) FV 2 = PV (1 + i) (1 + i) FV 2 = PV (1 + i) 2 para o 2 o. Período Generalizando: FV = PV (1 + i) n fórmula básica dos juros compostos

11 É importante lembrar que: a taxa de juros i e o prazo n estão na mesma unidade de tempo; a taxa de juros i é unitária. Como resolver a expressão (1 + i) n? pela tabela financeira pela calculadora com a função y x pela calculadora financeira.

12 Exemplo: Um capital inicial de $ foi aplicado durante 12 meses em uma instituição financeira a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.. Qual o montante resgatado? Resposta: $

13 Exemplo: Calcular o montante produzido por um capital de $ aplicado nas taxas e prazos abaixo: Prazo Taxa 1 ano 2% a.m. 1 mês 1% a.d. 12 meses 20% a.a. Resposta: $ ; $ ; $

14 2. Quando há períodos fracionários O que fazer quando o prazo não é um número inteiro? É recomendável não mexer na taxa quando se trata de juro composto e o período é fracionário. Exemplo: Um investidor aplicou $ a uma taxa de 4% a.m. durante 189 dias. Calcule o valor recebido por esse investidor. Resposta:

15 3. A diferença entre juros compostos e juros simples Exemplo: João do Alentejo resolveu intermediar operações financeiras. Tomou emprestado junto a um amigo a importância de $ a uma taxa de juros simples de 10% a.m. para emprestá-la à mesma taxa, porém a juros compostos a diversos amigos. Quais os montantes pagos e recebidos pelo Sr. João se os prazos fossem de: a) 15 dias; b) 30 dias e c) 60 dias. Prazo Montante Simples Montante Composto Ganho 15 dias 30 dias 60 dias

16 4. O conceito de valor atual Analogamente ao conceito de desconto simples, pode-se imaginar a sua aplicação também em juros compostos. decisões financeiras. FV FV = PV (1 + i) n PV = (1 + i) n O conceito de valor atual a juros compostos é largamente utilizado nas Exemplo: Quanto vale hoje um título de $ , vencível daqui a 6 meses se a taxa de Exemplo: Quanto vale hoje um título de $ , vencível daqui a 6 meses se a taxa de juros é de: a) 6% a.m.; b) 2% a.m.. Resposta: $ 7.050; $

17 5. Cálculo da taxa de juros É comum nosso interesse em calcular a taxa de juros de uma aplicação ou empréstimo. Exemplo: Um Certificado de Depósito Bancário foi adquirido por $ pelo prazo de 120 dias tendo sido resgatado $ Qual a taxa mensal de juros recebida pelo aplicador? Resposta: 2,53% a.m..

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19 1. Taxas equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital durante o mesmo prazo produzem o mesmo montante. É, portanto, indiferente aplicarmos a uma ou outra taxa. Fórmula de transformação Admitindo-se: i = taxa maior i q = taxa menor q = número de períodos menores contidos no período maior FV = PV (1+i) n FV = PV (1+i q ) nq FV = FV PV (1+i) n = PV (1+i q ) nq (1+i) = (1+i q ) q i = (1+i q ) q -1 ou i q = (1+i) 1/q -1 Dada a taxa menor encontra-se a taxa maior. Dada a taxa maior encontra-se a taxa menor.

20 1. Taxas equivalentes Exemplo: Qual a taxa anual equivalente a 5% a.m.? Qual a taxa mensal equivalente a 0,7% a.d.? Qual a taxa diária equivalente a 9% a.m.? Resposta: a) 79,6% a. a. b) 23,3% a.m. c) 0,29% a.d.

21 2. Taxa Nominal Segundo a Matemática Financeira, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período da capitalização dos juros, aquela taxa se denominará taxa de juros nominal. 12% a.a.c.m. = 1% a.m. (sempre) Usando o conceito de taxas equivalentes, conclui-se que: 12% a.a.c.m. = 12,68% a.a. Em Matemática Financeira costuma-se dizer que 12,68% a.a. é a taxa efetiva de 12% a.a.c.m.. Cuidado: 12% a.a.c.m. 12% a.a. 12% a.a.c.m. = 1% a.m. 12% a.a.c.m. = 12,68% a.a. Caso comum da taxa nominal no Brasil é a caderneta de poupança.

22 2. Taxa Nominal Exemplo: Qual a taxa efetiva anual que remunera as cadernetas de poupança? Resposta: 6,17% a.a.

23 3. Taxa de Juros Real Quando se empresta um capital, a taxa de juros cobrada (denominada taxa de juros aparente) inclui uma parcela que se destina a repor a perda do poder aquisitivo do capital emprestado e outra destinada a remunerar propriamente o capital. Esta taxa se denomina taxa de juros real. Sendo: j = taxa de inflação r = taxa de juros real i = taxa de juros aparente FV = PV (1+j) n Apenas repõe o poder de compra FV = PV (1+j) n. (1+r) n Apresenta remuneração real FV = PV (1+i) n PV (1+i) n = PV (1+j) n. (1+r) n

24 3. Taxa de Juros Real i = (1+j). (1+r) - 1 Fórmula da taxa aparente (1+i) r= -1 (1+j) Fórmula da taxa real Na realidade a taxa de juros real incide sobre o capital corrigido monetariamente. Este aspecto é conhecido como efeito Fisher.

25 3. Taxa de Juros Real Exemplo: Se um banco deseja uma remuneração real de 2% a.a. para seus empréstimos, que taxa de juros deverá anunciar para seus clientes, estimando-se uma inflação de 20% a.a.? Resposta: 22,4% a.a.

26 3. Taxa de Juros Real Exemplo: Admita no exemplo anterior que a taxa de inflação se efetivou em 24% a.a., portanto superior a prevista originalmente. Neste caso qual teria sido a taxa de juros real recebida pelo banco? Resposta: - 1,3% a.m.

27 3. Taxa de Juros Real Exemplo: Um investidor fez uma aplicação em fundo que oferece uma remuneração de 4,5% a.m.. Que taxa real de juros mensal obterá o investidor se a inflação for de: a) 2,5% a.m.; b) 4% a.m.; c) 70% a.a. Resposta: a) 1,95% a.m. b) 0,48% a.m. c)?

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29 Dado que o dinheiro tem valor diferenciado no tempo, decisões que envolvem diversos capitais em diversas datas exigem que se adote um padrão uniforme que permita a escolha. Comprar à vista ou a prazo, investir em A ou em B, substituir pagamentos etc. são situações corriqueiras para todos. Essas questões são resolvidas através de um princípio de Matemática Financeira denominado Equivalência de Capitais. Pela sua importância na solução de problemas financeiros é importante compreender o Princípio da Equivalência de Capitais. Dois conjuntos de capitais serão equivalentes quando, a uma dada taxa de juros, as somas de seus respectivos valores atuais forem iguais (numa mesma data).

30 Exemplo: Considere os fluxos A e B abaixo: Mês Fluxo A Fluxo B a) Monte um diagrama para cada um dos fluxos; b) Calcule o valor atual de cada fluxo a uma taxa de 10% a.m.; c) Se lhe fosse dada a opção de escolher, qual fluxo você gostaria de receber? Resposta:

31 1. Comparação de Fluxos Financeiros Exemplo: Durante certa liquidação anual, certa loja oferece, como promoção na venda de suas mercadorias, as seguintes condições de pagamento: a) À vista com 10% de desconto; b) Com cartão, sem desconto (admitir 30 dias para pagamento do cartão); c) Em 3 parcelas iguais (1+2), sem juros. Qual a melhor alternativa para uma taxa de juros de 5% a.m. Resposta:

32 1. Comparação de Fluxos Financeiros Exemplo: Uma loja vende um aparelho de som no valor de $ 1.200, com uma entrada e dois pagamentos iguais de $ 500. A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor da entrada? Resposta: $ 236,28.

33 2. Substituição de Fluxos Financeiros Exemplo: Um automóvel pode ser adquirido, em promoção, através de uma entrada de $ mais 2 pagamentos mensais iguais de $ Um comprador interessado no automóvel propõe adquiri-lo através de dois pagamentos iguais em 60 e 90 dias, sem entrada. Sabendo-se que a loja trabalha com uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor das novas prestações? Resposta: $

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35 1. O Modelo Básico - Caracterização Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se ampliam em número de valores, há necessidade de buscar soluções que simplifiquem o processo de cálculo. Independentemente das simplificações adotadas, permanecem os conceitos e princípios já vistos. A situação mais comumente encontrada refere-se a um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de mesmo valor, em períodos sucessivos de tempo denominado Série Uniforme de Pagamentos (SUP). Características de uma Série Uniforme de Pagamentos do tipo Modelo Básico: Termos constantes Periodicidade constante Temporária (final determinado) O 1 o. Termo ocorre no final do 1 o. período. PMT PMT PMT PMT PMT PMT Modelo básico de uma série uniforme de pagamentos

36 1. O Modelo Básico - Fórmula Geral Utilizando-se do conceito de equivalência de capitais, o valor atual de uma SUP será a soma dos valores atuais de seus termos. Basta levar todos os PMT s para a data zero. PV = PMT PMT PMT PMT (1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) n PV = PMT (1+i)n - 1 (1+i) n. i Fórmula do valor atual de uma SUP do tipo modelo básico. IMPORTANTE: as calculadoras financeiras trabalham com o modelo básico.

37 1. O Modelo Básico Exemplo: Publicou-se em jornais que um certo magazine vende uma bicicleta em 10 prestações mensais de $ 127,10, sem entrada. O mesmo anúncio diz que a taxa de juros da loja é de 5,5% a.m.. Qual o preço à vista da bicicleta? Resposta: $ 958,00.

38 1. O Modelo Básico Cálculo da Prestação Exemplo: Um automóvel, no valor de $ pode ser adquirido com uma entrada de 20% e o restante em 30 parcelas mensais iguais. Sendo a taxa de juros de 1,3% a.m., qual o valor das prestações? Resposta: $ 2.428,10.

39 1. O Modelo Básico Cálculo da da Taxa de Juros Com o desenvolvimento das calculadoras financeiras, o cálculo da taxa de juros dos fluxos financeiros tornou-se bastante simples. Até então, o cálculo era extremamente trabalhoso. Exemplo: Um microcomputador no valor de $1.750,00 à vista está sendo oferecido, sem entrada, em 6 parcelas mensais de $ 328,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Resposta: 3,46% a.m..

40 1. O Modelo Básico Cálculo da da Taxa de Juros Exemplo: Um taxista fez três perguntas: a) Pretendia comprar um novo carro no valor de $17.000,00, dando uma entrada de $3.000,00 mais 24 prestações mensais iguais de $ 818,00. Qual a taxa mensal de juros? b) Caso desse $ 6.000,00 de entrada, qual seria o valor das nova prestação? c) Para que cada prestação fosse de exatamente $ 530,00, quanto deveria dar de entrada? Resposta: a) 2,9% a.m.; b) $ 642,54; c) $ 7.926,00.

41 2. Série Uniforme Antecipada Por vezes nos defrontamos com um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que não segue o modelo básico. Caso muito comum acontece quanto o 1 o. termo ocorre no início do 1 o. Período. A maioria das calculadoras dispõe de mecanismos que permitem soluções simples para estes casos. a) Cálculo do valor atual Exemplo: Na compra de um eletrodoméstico, a loja facilita em 15 parcelas mensais iguais de $ 75,00, sendo que a primeira parcela é dada como entrada. A uma taxa de juros de 7,0% a.m., qual o valor para pagamento à vista? Resposta: $ 730,91.

42 2. Série Uniforme Antecipada a) Cálculo do valor atual Exemplo: Certa loja comercial anuncia uma mercadoria por $ 1.000,00 à vista ou em 5 parcelas iguais sem juros (1+4). Admitindo-se uma taxa de juros de 2% a.m., que abatimento percentual sobre o preço anunciado você pleitearia para pagar realmente à vista? Resposta: -3,85%.

43 2. Série Uniforme Antecipada b) Cálculo da prestação Exemplo: A assinatura de uma revista, cujo preço à vista é $ 78,00, pode ser feita em 4 parcelas mensais iguais, sendo cobrada uma taxa de juros de 5,5% a.m.. Se a 1 a. Parcela é paga no ato da assinatura, qual o valor das prestações? Resposta: $ 21,09.

44 2. Série Uniforme Antecipada c) Cálculo da taxa de juros Exemplo: Se um fogão no valor de $ 220,00 é vendido em 15 parcelas iguais mensais de $ 22,00, sendo a primeira dada como entrada, qual a taxa de juros cobrada pela loja? Resposta: 6,53% a.m..

45 3. Série Uniforme com Carência Há casos de amortização de dívidas em que o 1 o. pagamento ocorre após o 1 o. Período. Isto equivale a dizer que há um período de carência. PMT PMT PMT PMT PMT PMT período de carência

46 3. Série Uniforme com Carência a) Cálculo do valor atual Exemplo: Um automóvel pode ser adquirido em diversas revendedoras com opções de pagamentos diferentes: Loja Azul: 10 prestações mensais iguais de $ 6.500, sendo a primeira paga 30 dias após a compra. Loja Verde: 8 prestações mensais iguais de $ 8.100, sendo a primeira parcela dada como entrada. Loja Branca: 6 prestações mensais iguais de $ , sendo a primeira paga 4 meses após a compra. A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual seria a loja mais conveniente para se efetuar a compra? Resposta: através dos valores atuais: $ , $ , $

47 3. Série Uniforme com Carência b) Cálculo da taxa de juros Exemplo: Admita, na situação precedente, que todas as lojas vendem o automóvel por $ à vista. Que taxa de juros mensal cada loja está cobrando nas vendas a prazo? Resposta: 3,16% a.m.; 4,98% a.m.; 3,44% a.m..

48 4. Série de Pagamentos não Uniforme Até o advento das calculadoras financeiras, o processo de cálculo de séries não uniformes era bastante trabalhoso. Entretanto, partindo-se do princípio que as calculadoras trabalham com o conceito do diagrama de fluxo de caixa, pode-se simplificar o seu cálculo. Exemplo: Um apartamento é colocado à venda. Pode-se adquiri-lo sem entrada através de: a) 10 prestações iguais de $ ; b) mais 2 prestações semestrais de $ e $ , respectivamente e; c) finalmente um pagamento no 12 o. mês de $ Admita as seguintes questões: 1) Um comprador propõe pagamento à vista. Qual deve ser o valor para uma taxa de juros de 1% a.m.? 2) O comprador aceita pagar a prazo, mas exige que o pagamento seja liquidado em 12 parcelas mensais iguais. Qual o valor de cada parcela? 3) Que taxa de juros está sendo computada pelo proprietário se está disposto a vender por $ à vista? Resposta: $ ; $ ; 1,76% a.m..

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50 Juros Simples 1. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $ 5.000,00, se as taxas de aplicação e respectivos prazos forem: Taxas de Juros Prazos a) 18% a.a. 6 meses b) 31,8% a.a. 2 anos e 7 meses c) 42% a.a. 4 anos e 3 meses Resposta: a) $ 5.450; b) $ 9.107,50; c) $ Que taxa anual de juros está sendo cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicar um capital de $ 1.000,00 e receber: Montante Prazos a) $ 1.420,00 2 anos b) $ 1.150,00 10 meses c) $ 1.350,00 1 ano e 9 meses Resposta: a) 21% a.a.; b) 18% a.a.; c) 20% a.a. 3. Determinada pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a uma taxa de juros de 3,5% a.m.. Como está pretendendo comprar um carro no valor de $ ,00 daqui a 12 meses que capital deverá aplicar hoje? Resposta: $ 7.042,25

51 Juros Compostos 1. Calcular o montante de um capital de $ considerando as taxas e prazos abaixo: a) 5% a.m. em 30 meses; b) 10% a.s. em 3 anos; c) 2% a.m. em 4 anos. Resposta: a) $ ; b) $ ; c) $ Durante suas promoções uma loja vende um microcomputador no valor de $ oferecendo duas alternativas de pagamento: a) à vista com 20% de desconto; b) uma entrada de 10% e o restante após 60 dias. Que taxa de juros a loja está computando em suas promoções? Resposta: 13,4% a.m.. 1. Certa pessoa pretende comprar um automóvel usado no valor de $ daqui a 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, admitindo-se que consiga aplicar seus recursos de acordo com as taxas de juros abaixo: a) 1,8% a.m.; b) 2,5% a.m.; c) 4% a.m.. Resposta: a) $ 8.985; b) $ 8.623; c) $

52 Taxa de Juros 1. Calcule a taxa de juros anual equivalente às seguintes taxas: a) 2% a.m.; b) 3% a.m.; c) 2% a.s.; d) 8% a.b.. Resposta: a) 26,82%; b) 42,58%; c) 4,04%; d) 58,68%. 2. Calcular as taxas equivalentes mensais nas hipóteses abaixo: a) 50% a.a.; b) 21% a.a.; c) 30% a.s.. Resposta: a) 3,44%; b) 1,60%; c) 4,47%. 1. Um investidor fez aplicações em um fundo a uma taxa de juros pré-fixada de 2,5% a.m.. Qual será sua taxa de juros real se a inflação no período for: a) 0,5% a.m.; b) 1% a.m.. Resposta: a) 1,99% a.m.; b) 1,49% a.m..

53 Série Uniforme de Pagamentos 1. Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser paga em 6 parcelas iguais de $ 97,00, se a loja cobra uma taxa de juros de 5,7% a.m.? Resposta: $ 481,50 (sem entrada) ou $ 508,95 (com entrada). 1. A assinatura da Revista Veja custa $ 206 à vista ou em 4 pagamentos de $ 54. Que taxa de juros a Editora Abril está considerando na assinatura da revista se: a) o 1 o. Pagamento é feito um mês após a compra; b) o 1 o. Pagamento é feito no ato da assinatura. Resposta: a) 1,92% a.m.; b) 3,25% a.m. 3. Admita que na assinatura da revista no dia 25/04 o carnê de pagamentos apresentasse as datas de 25/04, 20/05, 15/06 e 10/07 para vencimento das parcelas. Neste caso, qual seria a taxa de juros mensal? Resposta: 3,91% a.m.. 4. As revendedoras FIAT anunciam a venda de carros OK com 60% de entrada e os restantes 40% em 10 parcelas mensais iguais sem juros e sem correção monetária. Uma fábrica concorrente ofereceu um desconto no preço à vista para combater a promoção da FIAT. De quanto deve ser o desconto? Admita uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Resposta: 5%..

54 Série Uniforme de Pagamentos 5. Um proprietário de uma garagem no centro de São Paulo recebe de aluguel $ mensalmente. Disposto a vender a garagem, que preço você recomendaria para pagamento à vista? Considere uma taxa de juros de 1% a.m.. Resposta: $ Um investidor comprou por $ um lote de ações 12 meses atrás. Recebeu $ 60 de dividendos nos 7 primeiros meses e $ 30 nos 5 meses restantes, quando então vendeu-as por $ 860. Que taxa de retorno obteve esse investidor? Resposta: 3,99% a.m. 7. Caso desejasse um retorno de 8% a.m., por quanto deveria vender o lote? Resposta: $ As Lojas Paranapuã anunciam, em barulhenta promoção, a venda de qualquer mercadoria em 6 parcelas mensais iguais, sem entrada. Caso o cliente pague todas as 5 primeiras prestações em dia obterá um desconto de 50% no pagamento da última parcela. Como a loja faz questão absoluta de receber uma taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor de cada parcela? (Para facilidade de solução, admita uma mercadoria de $ 1.000). Resposta: $ 212,65 e $ 106,32.