Aula 04 Matemática Financeira. Equivalência de Capitais a Juros Compostos

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1 Aula 04 Matemática Financeira Equivalência de Capitais a Juros Compostos

2 Introdução O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas

3 Exemplo: Um prédio é vendido por $ ,00 à vista ou, então, a prazo, em três parcelas mensais de $ ,00 cada uma sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos e à taxa de 2% a.m. e tem fundos suficientes para pagar à vista?

4 Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo. Dizemos que eles são equivalentes se: x 1 i n y x y 1 i n

5 Exercício A uma taxa de 2% a.m., $ ,00, daqui a três meses, equivalem a quanto hoje?

6 Valor atual de um conjunto de capitais Consideremos os capitais y 0, y 1,...,y n. Chamamos de valor atual desse conjunto, a uma taxa i, a soma dos valores equivalentes desses capitais na data inicial n j j j n n i y V i y i y i y i y y V

7 Exercício Uma empresa prevê o pagamento de $ 2.000,00 daqui a um mês, $ 3.000,00 daqui a dois meses e $ 5.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a essas despesas, sobrando saldo nulo após o último pagamento?

8 Exercício Uma loja vende um conjunto de sofás por $ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de $ 800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% a.m., quanto deverá dispor hoje para poder efetuar a compra?

9 Conjunto de Capitais Equivalentes Consideremos os conjuntos de capitais y 0, y 1, y 2,..., y n nas datas 0, 1, 2,..., n x 0, x 1, x 2,..., x m nas datas 0, 1, 2,..., m Dizemos que esses capitais são equivalentes a, a uma taxa de juros compostos i, se os seus valores atuais forem iguais

10 Exercício Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de $ 1.000,00 mais uma parcela de $ 1.200,00, após um mês. Um cliente propões pagar uma entrada de $ 600,00 mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de 3% a.m., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?

11 Análise de Alternativas de Pagamento pelo Valor Atual Se os valores forem calculados em uma mesma data, podemos comparar os valores atuais de cada alternativa Aquela que produzir o menor valor atual (menor custo) é a melhor

12 Exercício Uma casa é vendida à vista por $ ,00 ou, a prazo, por $ ,00 de entrada mais três prestações mensais e iguais de $ ,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de juros compostos de 3% a.m.?

13 Análise de Alternativas de Investimento pelo Valor Atual Chamamos de investimento toda aplicação financeira visando ganhos No caso de uma aplicação em capital físico de uma empresa ou em bens reais, o investimento pode ou não ser aceitável para quem está investindo

14 Análise de Alternativas de Investimento pelo Valor Atual Suponha que o investidor tivesse a oportunidade de auferir ganhos em outra aplicação de risco semelhante ao investimento Taxa de Atratividade ou Taxa Requerida de Retorno

15 Análise de Alternativas de Investimento pelo Valor Atual No caso de um investimento convencional simples, calculamos o valor presente das entradas de caixa, usando a taxa de atratividade, e comparamos com o investimento inicial I Se V > I, aceita-se o investimento À diferença (V-I), chamamos Valor Presente Líquido (VPL) Se V < I, não devemos aceitar

16 Análise de Alternativas de Investimento pelo Valor Atual Quando o investimento é convencional, mas não simples (várias saídas de caixa), o valor de I é obtido com o valor atual das saídas de caixa Em uma comparação, escolhe-se a opção que proporcione o maior valor presente líquido

17 Exercício Um investidor, prevendo a valorização dos imóveis em uma certa região, resolve investir $ ,00 na compra de um terreno e construção de um galpão. Ele estima alugar o galpão por $ ,00 por ano, durante três anos e, em seguida, vender o imóvel por $ ,00, em conseqüência da valorização. Considere que todos os valores estejam em valores reais (sem influência de aumento pela inflação), que sejam recebidos com certeza, e que a taxa de atratividade seja de 6% a.a. Verificar se o investidor deve ou não aceitar o investimento.

18 Exercício Uma empresa deve investir $ ,00 em um projeto de ampliação da capacidade produtiva para obter benefícios das entradas de caixa de $ ,00 por ano, durante os próximos 6 anos. Se a taxa de atratividade da firma for de 10% a.a., o projeto deve ou não ser aceito?

19 Taxa Interna de Retorno Consideremos o seguinte problema: dado um conjunto de capitais y1, y2,..., yn nas datas 1, 2, 3,..., n, respectivamente e um valor V, calculado a taxa de juros i, que seja o valor atual do conjunto de capitais a aquela taxa Essa taxa de juros é chamada de Taxa Interna de Retorno

20 Taxa Interna de Retorno O problema consiste em achar o valor de i, tal que: V y y 1 2 n n i 1 i 1 i y 0

21 Taxa Interna de Retorno Chamando de P(i) o primeiro termo da equação anterior, queremos, então, obter o valor de i tal que P(i)=0 Quando i tende ao infinito, P(i) tende a ao valor V O ponto em que o gráfico cruza o eixo x tem abscissa i* e P(i*) = 0, Portanto, i* é a taxa interna de retorno

22 Taxa Interna de Retorno Exemplo: Considere o seguinte conjunto de capitais: E o valor atual V = 40. Calculemos a taxa interna de retorno

23 Taxa Interna de Retorno Em projetos de investimento convencionais simples nos quais é feito um investimento numa data 0 e as entradas de caixa são E1, E2, E3,..., Em nas datas 1, 2, 3,..., n; o investimento I faz o papel do valor presente e E1,..., En o conjunto de capitais. E o valor i é a taxa de atratividade VPL I E 1 E 2 E i 1 i 1 i n n

24 Taxa Interna de Retorno Exercício Um banco concede um empréstimo de $ ,00 a uma empresa para ser pago em três parcelas mensais de $ ,00, $ ,00 e $ ,00 dentro de um, dois e três meses, respectivamente. Qual a taxa de juros paga pela empresa neste empréstimo?

25 Operações com Debêntures São títulos emitidos por Sociedades Anônimas não financeiras, para captar recursos de financiamento de longo prazo. Podem ser conversíveis e não conversíveis A remuneração dos não conversíveis é geralmente feita com o pagamento de juros periódicos calculados com base no valor de emissão (principal ou valor de face)

26 Operações com Debêntures Exercício Um investidor comprou, pelo valor de face, uma debênture emitida por $ 1.000,00 com vencimento em dois anos. Sabendo-se que os juros são pagos semestralmente à taxa de 10% ao semestre, pede-se: O valor dos juros semestrais O fluxo de caixa do ponto de vista do investidor A taxa interna de retorno do investimento O preço que deveria ser pago pelo investidor na compra do título se sua taxa requerida de retorno fosse 12% ao semestre

27 Equivalência Exercício O que é preferível: investir $ ,00 hoje e receber $ ,00 após dois anos, ou investir a mesma quantia e receber $ ,00 em cada um dos próximos três anos? Suponha que a taxa de atratividade seja de 20% a.a.

28 Equivalência Exercício Um conjunto de sofás é vendido à vista por $ 1.500,00, ou a prazo, em três prestações mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros compostos de 5% a.m.

29 Equivalência Exercício Qual a melhor alternativa para o comprador: pagar $ ,00 daqui a 45 dias ou três parcelas de $ ,00 cada uma, em 30, 45 e 60 dias da compra, se a taxa de juros compostos para aplicação for de 1,4% a.m.?

30 Equivalência Exercício Um terreno é colocado à venda por $ ,00 à vista, ou aprazo, com 20% de entrada mais duas parcelas trimestrais de $ ,00 cada. Se o comprador aplica seus recursos à taxa de 2% a.m., qual a sua melhor alternativa?

31 Equivalência Exercício Um projeto exige um investimento inicial de $ ,00, que proporcionará benefícios futuros de $ ,00 em cada um dos próximos dez anos> analise se esse projeto deve ou não ser aceito, supondo as seguintes taxas de atratividade: a) 6% a.a. e b) 9% a.a.