MATEMÁTICA FINANCEIRA - ADMINISTRAÇÃO

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA - ADMINISTRAÇÃO DESCONTO 1) Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de R$ 5.000,00 à taxa de 5% aa, descontada 5 anos antes de seu vencimento. Resp: R$ 1.250,00 2) Uma letra de R$ ,00 foi apresentada a desconto por fora 45 dias antes de seu vencimento à taxa de 8% aa. Determinar o desconto. Resp: R$ 240,00 3) Apresentou-se uma letra para desconto por fora, um ano antes do seu vencimento, à taxa de 12% aa, sofrendo a mesma R$ 2.880,00 de desconto. Determinar o valor da letra. Resp: R$ ,00. 4) Um título no valor de R$ 9.000,00 foi descontada 45 dias antes do seu vencimento, sofrendo um desconto de R$ 135,00. Determinar a taxa mensal empregada na operação. Resp. 1% am. 5) Descontou-se um título de R$ ,00 à taxa de 12% aa, tendo apresentado um desconto de R$ 2.880,00. Determinar o tempo. Resp. 1 ano 6) Em quantos meses uma letra de R$ 2.400,00 descontada por fora, à taxa de 0,75% am, dá o desconto de R$ 90,00? Resp: 5 meses. 7) Uma letra, descontada por fora, à taxa de 0,5% am, produziu o desconto equivalente a 1/40 de si mesma. Determinar o tempo. Resp: 5 meses. 8) Uma duplicata descontada à taxa de 9% aa, 90 dias antes de seu vencimento, reduziu-se a R$ 5.865,00. Determinar o valor nominal. Resp: R$ 6.000,00 9) Uma duplicata, que sofreu o desconto por fora de R$ 500,00 à taxa de 9% aa, produziu o líquido de R$ ,00. Determinar o prazo da operação. Resp: 40 dias. DESCONTO POR DENTRO 10) Calcular o desconto for dentro sofrido por uma letra de R$ 832,00 descontada à taxa de 6% aa, 8 meses antes de seu vencimento. Resp:R$ 32,00. 11) Determinar o valor nominal de uma letra, descontada por dentro à taxa de 8% aa, um mês e 15 dias antes de seu vencimento, e que apresentou o desconto de R$ 40,00?Resp:R$ 4.040,00 12) Um título foi descontado por dentro à taxa de 48% aa, no prazo de 50 dias antes do seu vencimento. Se o desconto fosse por fora, o valor do desconto estaria acrescido de R$ 100,00. Qual o valor nominal do título? Resp R$ ,00. 13) A que taxa mensal se descontou por dentro uma letra de R$ 5.700,00, dois anos antes de seu vencimento e que produziu o desconto de R$ 700,00? Resp: 7/12% am ou 0,58% am 14) Uma letra de R$ 3.187,50, descontada por dentro à taxa de 5% aa sofreu um desconto de R$ 187,50. Determinar o tempo. Resp. 1 ano e 3 meses. DIVERSOS 15) Sabendo que o desconto por dentro de uma letra vencível em 3 meses, à taxa de 5% aa, é igual a R$ 400,00. Calcular o desconto por fora à mesma taxa. Resp: R$ 405,00 16) Apresentada a desconto por fora à taxa de 2/3% am., 4 meses antes de seu vencimento, uma letra gerou um líquido de R$ ,00. Qual o desconto sofrido? Resp: R$ 2.512,00

2 17) Achar o valor nominal de uma letra negociada a 8% aa, 3 meses de seu vencimento, sabendo-se que a diferença entre o desconto por fora e por dentro é de R$ 4,00? Resp: R$ ,00 18) A que taxa anual uma letra de R$ ,00 em 8 meses dá R$ 6.000,00 de desconto por fora? Resp: 4,5% aa. 19) Em que prazo uma letra de R$ ,00, descontada por fora a taxa de 6% aa, dá R$ 9.400,00 de desconto? Resp. 1 ano 6 meses e 24 dias. 20) Uma letra pagável no dia 15 de junho apresentada a desconto por fora, a taxa de 6% aa no dia 4/04 precedente produziu R$ 790,40 de líquido. Qual o valor nominal dessa letra? Resp. R$ 800,00. 21) Duas letras pagáveis, uma em 50 dias e outra em 90 dias, foram descontadas por fora a taxa de 6% aa. Sabendo que a soma de seus nominais é de R$ ,00 e a soma de seus descontos é de R$ ,00, determinar o valo nominal de cada letra. Resp: N1 = R$ e N2 = R$ ) Uma letra de R$ ,000 descontada por dentro 40 dias antes de seu vencimento sofre um desconto de R$ 1.000,00.qual foi a taxa anual usada na operação? Resp: 5% aa. 23) Determinar o desconto por dentro sofrido por uma letra que descontada a 2,5% ao semestre, 80 dias antes do seu vencimento produziu o líquido de R$ 1.800,00. Resp. R$ 20,00 24) Determinar o líquido produzido por uma letra que descontada por dentro 2 anos do seu vencimento à taxa de 7,125% aa produziu R$ 2.565,00 de desconto. Resp: R$ ,00 25) A diferença entre o desconto comercial e o racional de uma letra pagável em 3 meses, à taxa de 5% aa é de R$ 37,50. Determinar o valor nominal da letra. Resp: R$ ,00 26) Uma aplicação deve vencer dentro de 60 dias, sendo seu valor de resgate de R$ 1.000,00. Caso se desejasse substituir este título por outro vencível em 90 dias, qual seria o valor do novo título, adotando-se a taxa de desconto comercial de 24% aa e a data focal atual? Resp: R$ 1.021,28 27) Uma dívida composta de um título de R$ ,00, vencendo em 30 dias, e de outro no valor de R$ ,00, vencendo em 90 dias. Esta dívida foi substituída por um único título de R$ ,61, tendo sido empregado a taxa de desconto comercial de 36% aa. Considerando-se a data focal zero,para a comparação, qual é o prazo, em meses, de vencimento do novo título? Resp: 6 meses 28) Uma loja anuncia a venda de um eletrodoméstico por R$ 5.370,00 à vista ou em dois pagamentos mensais iguais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 36% aa, qual é o valor das mensalidades considerando a data focal zero e o critério de desconto por fora? Resp: R$ 3.000,00 29) Dois títulos, um de R$ 5.000,00 vencível em 30 dias e outro de R$ 8.000,00 vencível em 90 dias, devem ser substituídos por dois outros títulos, um de R$ 6.000,00 vencível em 60 dias e outro vencível em 90 dias. Qual deve ser o valor deste segundo título, considerando a operação de desconto por fora cuja taxa é de 5% am. Nas seguintes condições: a) data focal zero Resp: R$ 7.235,29 b) data focal 30 dias Resp: R$ 7.222,22 c) data focal 60 dias. Resp: R$ 7.224,38

3 JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos o juro gerado em um período será incorporado ao capital passando a participar da geração dos juros do período seguinte. Desta forma dizemos que os juros são capitalizados. Assim, o cálculo dos juros é feito não somente sobre o capital inicial, como é feito em juros simples, mas também sobre os juros de cada período. Ex: Imagine a seguinte aplicação: Capital inicial R$ 1.000,00 Juros de 10% aa n = 3 anos Juros Simples Juros Compostos n juros por período Montante juros por período Montante x 0,1 = x 0,1 = x 0,1 = x 0,1 = x 0,1 = x 0,1 = Fórmula Geral S = P. ( 1 + i ) n S = Montante ou Valor Nominal P = Valor atual, Valor Principal i = taxa de juros corrente n = número de períodos de capitalização Exemplo: 1) Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 durante 3 meses à uma taxa de juros de 10% am no regime de juros compostos. Determinar o montante obtido. Juros = S P Juros = P ( 1 + i ) n - P Juros = P. [( 1 + i ) n - 1 ] Cálculo dos Juros 2) Determinar os juros recebidos na aplicação acima. 3) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de R$ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% am. Resp:R$ 1.000,00 4) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de R$ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de R$ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% am, pergunta-se se a troca proposta é vantajosa. Taxa Equivalente Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, produzem o mesmo montante., Ex: Determinar a taxa equivalente mensal referente a taxa de juros de 9,2727% a.trimestre.

4 PERÍODOS NÃO INTEIROS Às vezes poderemos nos deparar com um prazo de aplicação que não seja um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada. Estaremos, então diante de capitalizações descontínuas, ou seja, os juros supõe-se formados apenas no fim de cada período de capitalização. Existe, duas convenções para resolver tal problema. Convenção linear e convenção exponencial Convenção linear É aquela em que os juros do período não inteiro são calculados por interpolação linear. Calcula-se em duas etapas: a) Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos aplicando-se a fórmula de montante para juros compostos. b) Na fração de tempo não inteira restante, admite-se uma formação linear de juros, ou seja, o montante obtido na fase anterior passa a gerar juros simples na fração não inteira restante. Nestas condições, os juros devidos na fração de período serão obtidos multiplicando-se o montante obtido na primeira fase pela taxa de juros e pela fração de tempo proporcional de tempo correspondente à parte não inteira. Ex: Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% aa, pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo a base de capitalização anual, qual será o montante? Convenção exponencial É aquela em que os juros do período não inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. Ex: Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% aa, pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo a base de capitalização anual, qual será o montante? Resp: R$ 1.689,12 TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL Temos uma taxa de juros nominal quando o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Neste caso é comum adotar-se a convenção de que a taxa por períodos de capitalização seja proporcional à taxa nominal. Para resolver problemas com taxa nominal, devemos calcular a taxa proporcional simples correspondente a um período de capitalização. Ex: Um banco faz um empréstimo à taxa de juros de 5% aa, mas adotando a capitalização semestral de juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de R$ ,00 feito por 3 anos? Ief = 5 % aa / 2 semestres = 2,5 % ao semestre P = R$ ,00 S = ( 1 + 0,025 ) 6 S = ,93

5 Ex: Um banco emprestou uma importância de R$ 1.000,00 por 1 ano. Sabendo-se que a taxa de juros é de 12% aa, com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1 ano. Resp: 12,6825% aa S = 1.126,83 Exercícios 1) Calcular o montante de uma aplicação de uma aplicação de R$ ,00 nas seguintes condições de juros compostos: a) i = 20% aa pelo prazo de 5 anos Resp: R$ ,20 b) i = 5 % aa pelo prazo de 3 anos e meio Resp: R$ ,13 c) i = 2,5% aa pelo prazo de 1 ano Resp: R$ ,00 2) Determinar os juros obtidos em uma aplicação de R$ 1.500,00 nas seguintes condições: a) i = 10% aa pelo prazo de 10 anos Resp: R$ 2.390,61 b) i = 8% ao trimestre pelo prazo de 18 meses Resp: R$ 880,31 3) Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 6.000,00, quanto devo aplicar para que daqui a dois anos possua este valor? Considerar as seguintes condições de taxa: a) 2,5 % am Resp: R$ 3.317,25 b) 10% ao semestre Resp: R$ 4.098,08 c) 20 % ao ano. Resp: R$ 4.166,67 4) Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os montantes nas seguintes condições a) R$ 1.076,89 em 3 meses Resp: 2,5 % ao mês b) R$ 1.125,51 em 4 meses Resp: 3% ao mês c) R$ 1.340,10 em 6 meses Resp: 5% ao mês 5) Uma pessoa aplicou R$ ,00 e após um ano recebeu R$ ,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? Resp: 7% ao mês. 6) Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de R$ ,57, sendo R$ ,57 referente a juros? Resp: 3,5% ao mês. 7) Um investidor aplicou R$ ,00 em um banco que paga 3% am. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ ,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? Resp: 12 meses 8) Um apartamento é vendido, à vista, por R$ ,00. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ ,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% am. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima? Resp: 10 meses 9) Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% aa. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% ao trimestre, qual será a sua escolha? Resp: 8,78% at, melhor a Segunda alternativa. 10) O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00. O comprador tem 3 meses como prazo limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar à vista, a loja oferece

6 um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40% aa, vale a pena comprar à prazo? Resp: Melhor comprar à vista pois a taxa equivalente anual é de 52,41%aa. 11) Ao resgatar um título, após 6 meses da aplicação, o investidor recebeu R$ ,86. Tendo sido informado de que este montante incluía R$ 3.083,86 referente aos juros creditados, deseja saber que taxa anual de juros ganhou? Resp: 30% aa. 12) Que taxa de juros mensal fará um capital dobrar em 1 ano? Resp: 5,95% am 13) João aplicou certa quantia e após 18 meses verificou que o montante importava em R$ 5.590,17. Qual foi o valor investido, uma vez que a taxa de aplicação foi de 25% aa? Considerar convenção exponencial. Resp: R$ 4.000,00 14) Uma pessoa investiu R$ ,00 à taxa de 30% aa e após certo tempo recebeu o montante de R$ ,36. Quanto tempo o capital ficou aplicado? Considerar convenção exponencial. Resp: 2 anos e 8 meses. 15) A taxa de juros cobrada pelo Banco A é de 30% aa, sendo sua capitalização anual. O Banco B, numa campanha promocional, informa que a sua taxa é de 27% aa, tendo como algo a diferenciá-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal. Qual é a melhor taxa para o cliente? Resp:melhor opçao para o cliente é o Banco A. O banco B oferece uma taxa de 30,61% aa. 16) Uma empresa empresta R$ ,00 de um banco cuja taxa de juros é de 21%aa, com capitalização quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao fim de 2 anos? Resp: R$ ,18 17) Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 24% aa com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$ ,00? Resp: R$ ,72 18) Qual é a taxa nominal anual, com capitalizações semestrais, que conduz à taxa efetiva de 40% aa? Resp: 36,64% aa. 19) O preço de um carro é de R$ ,62 podendo este valor ser pago até o prazo de 6 meses. Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11,2%. Qual é a taxa de juros mensal cobrada nesta operação? Resp: 2% am 20) O banco X anuncia que a sua taxa de empréstimo pessoal é de 2,5% am. Um cliente retirou R$ ,00 e quando foi saldar sua dívida o gerente lhe disse que esta importava em R$ ,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? Resp: 18 meses 21) Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 30% do valor da mercadoria à vista como entrada e o restante a ser liquidado em até 3 meses. Neste caso, o valor da mercadoria sofre um acréscimo de 10% a título de despesas administrativas. Qual é a taxa de juros anual desta loja? Resp: 70,6 % aa. 22) Um sítio é posto à venda por R$ ,00 de entrada e R$ ,00 em 1 ano. Como opção o vendedor pede R$ ,00 à vista. Se a taxa de juros de mercado é de 2,5% am, qual a melhor alternativa? Resp: à vista

7 23) Um investidor troca um título de R$ ,00, vencível em 3 meses, por outro de R$ ,00, vencível em 1 ano. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 3% am, este investidor fez bom negócio? Caso positivo, que taxa ganhou/perdeu por mês? Resp:Ganhou 3,39% am 24) Em um determinado mês a rentabilidade das Cadernetas de Poupança foi de 31,66% aa. Qual a taxa de rentabilidade trimestral? Resp: 7,1182% ao trim. 25) Certa loja vende um conjunto de som por R$ ,00,. Podendo o pagamento ser efetuado sem nenhum acréscimo daqui a 4 meses. Contudo, se o cliente optar pelo pagamento à vista será bonificado com um abatimento de 10%. O custo de um empréstimo pessoal é de 2,7% am. Nestas condições vale a pena comprar à prazo? Resp: Sim, pois a taxa é de 2,669% am. 26) Um grande magazine anuncia a venda de um jogo de rodas de magnésio por R$ 5.000,00 à vista ou R$ 1.000,00 de entrada e dois pagamentos mensais de R$ 2.120,78. Se a taxa de juros de mercado for de 42,58% aa, compensa a compra à vista? Resp: Sim pois a taxa da loja é de 4% am, equivalendo a 60,10% aa. 27) O PNB (Produto Nacional Bruto) de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual. Resp: 11,6123 % aa. 28) Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82% aa? Resp: 24,9 anos 29) Uma aplicação em Caderneta de Poupança rende R$ 500,00 sobre um capital de R$ 800,00 em 1 ano e 3 meses. Qual é a taxa de rentabilidade anual? Resp: 47,46% aa 30) O Banco Alfa propõe a um cliente a taxa de juros de 40% aa, sendo a capitalização anual. O cliente, entretanto, opta pelo financiamento de outro banco, pois sua taxa é de 36,5% aa. Como detalhe deste segundo financiamento deve-se acrescentar que sua capitalização é diária. Qual é a melhor taxa? Resp: A melhor opção é a do Banco Alfa,pois é de 40%aa, enquanto que a taxa efetiva do outro banco é de 44,03% aa. 31) Uma empresa toma emprestado R$ ,00 pelo prazo de 2 anos. Se a taxa do banco for de 28% aa, com capitalização trimestral, qual será o montante devolvido? Resp: R$ ,60. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Refere-se à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. Data Focal É a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Exemplo: Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de R$ ,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui R$ ,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2%am, durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado é de 2% am, pergunta-se: a) Quanto possui hoje? Resp: R$ ,82 b) Quanto possuirá daqui a um ano? Resp: R$ ,24

8 c) Quanto possuirá daqui a dois anos? R$ ,74 Capitais Equivalentes Dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Valor Atual de um Conjunto de Capitais É o valor atual de um conjunto de capitais na data focal zero. Exemplo: Três títulos de créditos nos valores de R$ 1.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4000,00 vence em 30 dias, 90 dias e 180 dias respectivamente. Considerando que taxa de juros do mercado é de 2% am, determinar o valor atual destes títulos. Conjunto Equivalentes de Capitais Vamos imaginar dois conjuntos de Capitais 1º Conjunto 2º Conjunto Capital Vencimento Capital (R$) Vencimento R$ 1.100,00 1ª ano R$ 2.200,00 1ª ano R$ 2.420,00 2ª ano R$ 1.210,00 2ª ano R$ 1996,50 3ª ano R$ 665,50 3ª ano R$ 732,05 4ª ano R$ 2.196,15 4ª ano Determinar o valor atual destes dois conjuntos de capitais Determinar o valor na data focal 4 dos dois conjuntos de capitais Considerar taxa de 5% aa. Exercícios 1) Um título no valor nominal de R$ 8.500,00, com vencimento para 5 meses é trocado por outro de R$ 7.934,84 com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente do mercado é de 3,5% am, pergunta-se se a substituição é vantajosa. 2) Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 ano, no valor de R$ ,00, e o segundo em 1 ano e meio, no valor de R$ ,00. O cliente aceita assinando uma Nota Promissória, com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros considerada na operação foi de 30% aa, qual é o valor da Nota Promissória em seu vencimento? Resp: R$ ,64 3) Um terreno é posto à venda por R$ ,00 à vista, ou, caso o comprador opte por financiamento, por R$ ,00 no ato mais duas parcelas semestrais sendo a primeira de R$ ,00 e a Segunda de R$ ,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos que a taxa de juros corrente é de 50% aa? Resp: R$ ,21 4) Certa pessoa contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamento: o primeiro de R$ 2.500,00 e o segundo, 6 meses após o primeiro, de R$ 3.500,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, o devedor propôs adiamento de sua dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de R$ 4.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5% am, qual é o saldo restante? Resp: R$ 2.252,50

9 5) Um sítio é posto a venda em uma imobiliária por R$ ,00 à vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: entrada de R$ ,00, uma parcela de R$ ,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual é o valor destes pagamentos se a taxa de juros adotada for de 5% am? Resp: ,30 VALOR PRESENTE LíQUIDO ( VPL ) E TAXA INTERNA DE RETORNO ( TIR ) Imagine o seguinte fluxo de caixa. Este investimento prevê saídas de recursos (sinal negativo) e entrada de recursos ( sinal positivo). Anos R$ Entradas (1) ,33 Saídas (2) Saldo (1) - (2) ,33 Considerar taxa de juros de 8% aa, , VAL = R$ 14,66 Ou seja, o investimento feito à taxa de juros do mercado, oferece uma remuneração de R$ 14,66 de lucro na data focal 0. Quanto maior o valor atual positivo, mais compensador é o investimento. Por outro lado, se o valor atual for negativo, quanto maior seu valor mais prejuízo dará o resultado do investimento. Se alterarmos a taxa de juros do investimento, alterará o valor atual do investimento acima. Desta forma devemos procurar uma taxa de juros que torne o valor atual nulo. A esta taxa de juros denomina-se Taxa de Retorno do investimento. Se calcularmos o valor atual conforme variamos a taxa obteremos: Taxa ( % aa ) Valor atual ( R$ ) 0 29, , , , ,77 Como pode-se verificar na tabela o valor atual passa de positivo para negativo entre as taxas de 10% aa e 30% aa. Devemos através de sucessivas tentativas encontra a taxa que mais aproxima o valor atual a zero adotando a seguinte técnica

10 TR 30 = 0-8, ,71 ( - 8,06) TR = 21,85 Calculamos novo Valor atual. V1 = - 1,71 Substituímos na fórmula acima, e assim sucessivamente até que o valor atual se aproxime a zero. A taxa final obtida ficará em torno de 20% aa. Na decisão de investimento devemos escolher aquele que dê a maior taxa de retorno ou Taxa interna de retorno. Exercícios: Um investimento foi realizado da seguinte forma: um valor inicial de $ 2.047,00, dois desembolsos anuais de $ 300,00. Este investimento gerou um retorno de $ durante 5 anos consecutivos. $ $ $ 300 Nestas condições determine: a) VPL para a taxa mínima de atratividade de 5% aa. b) VPL para a taxa mínima de atratividade de 30% aa. c) A TIR. Resp: a) $ 1.322,14 b) $ ,00