Disciplina de Matemática Financeira Curso Técnico em Finanças Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1

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1 Disciplina de Matemática Financeira Curso Técnico em Finanças Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Juros Simples Juros Compostos Desconto Simples Desconto Composto Erechim, 2014

2 INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA Definições: A Matemática Financeira ou Matemática das Finanças é uma ciência que se preocupa em analisar os fenômenos econômico-financeiros à luz dos métodos quantitativos, fornecendo modelos e processos eficientes na solução de problemas relacionados à tomada de decisão de ordem pessoal, empresarial e governamental (FERREIRA, 2010). A Matemática Financeira tem por objetivo estudar a evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo (DAL ZOT, 2006). Conceitos importantes: Capital Inicial, Principal ou Valor Presente É o valor inicial de um empréstimo ou aplicação, sobre o qual irão incidir os juros. Símbolos: C, P ou PV (Present Value) Prazo É o tempo de duração do empréstimo ou do investimento. Pode ser medido em dias, meses, trimestres, semestres, anos, etc. Símbolo: n Juro É o preço (em Reais) pago pelo aluguel, ou empréstimo, do dinheiro (do capital). É também o rendimento do dinheiro aplicado. Símbolo: J Taxa de Juros É a taxa percentual ou unitária do rendimento do capital ou pagamento pelo uso do capital, numa unidade de tempo (ao dia, ao mês, ao ano,...) Símbolo: i Taxa percentual de juros: 25 % Taxa unitária de juros: 0,25 Montante ou Valor Futuro É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar um empréstimo. É o valor final de uma aplicação. Símbolo: M, S ou FV (Future Value) Fórmula: M = P + J ou FV = PV + J Fluxo de Caixa É um esquema, na forma de diagrama ou tabela, que representa as entradas e saídas financeiras ao longo do tempo. Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 1.500,00 após 8 meses pode ser representado pelo fluxo de caixa a seguir. 2

3 Regime de Capitalização Ato de adicionar juros ao capital. Capitalização Simples Juros Simples Capitalização Composta Juros Compostos Capitalização Simples É uma função com crescimento linear Capitalização Composta É uma função com crescimento exponencial JUROS SIMPLES Exemplo 1: Qual o juro acumulado no investimento de R$ 100,00 a uma taxa de 3% ao mês por 4 meses? Mês Cálculo do Juro Juro Acumulado Saldo , ,03 = 3,00 3,00 103, n 3

4 DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES Qual o juro acumulado no investimento de P reais a uma taxa de i ao mês por n meses? Mês Cálculo do Juro Juro Acumulado P. i P. i 2 P. i 2. P. i 3 P. i 3. P. i 4 P. Ii 4. P. i... n P. i n. P. i J = P i n (1) Exemplo 2: Qual o valor recebido após 6 meses de aplicação de um capital de R$ 500,00 a uma taxa de 0,4% ao mês? Fórmula do Montante: Unindo as fórmulas 1 e 2 temos: M = P + J (2) M = P(1 + in) (3) Resolvendo o Exemplo 2 com a fórmula 3: 4

5 Exemplo 3: Uma pessoa tomou emprestado R$ ,00, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros e o valor futuro da restituição. Exemplo 4: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a R$ ,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos. Exemplo 5: Um capital de R$ 3.700,00 rendeu R$ 1.200,00 após 5 meses. Calcule a taxa de juros simples da aplicação. Exemplo 6: Certa companhia emprestou R$ 3.500,00 à taxa de juros simples de 14% ao ano, para outra empresa. Se a empresa pagou R$ 930,00 de juros, qual foi a duração do empréstimo? Exemplo 7: Qual capital deverá ser investido à uma taxa de juros simples de 2,4% ao mês, durante 8 meses, para se obter um montante de R$2.384,00? 5

6 TAXA E PRAZO COM UNIDADES DE TEMPO DIFERENTES Em alguns problemas a taxa de juros apresentada está numa unidade de tempo diferente do prazo da aplicação do Capital. É preciso analisar cada caso para decidir se é melhor transformar a taxa ou o prazo. Exemplo 8: Uma pessoa aplicou R$ 750,00 em um banco que remunera a uma taxa de juros simples de 1,3% ao mês. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 105 dias, qual foi o montante recebido pela pessoa? 1ª forma de resolver => transformar os dias em meses, dividindo 105 por 30. 2ª forma de resolver => transformar a taxa mensal em taxa diária dividindo também por 30. Em juros simples esta transformação é parecida com o que fizemos no prazo. 1,03 ao mês => dividi-se por 30 dias => tem-se 1,03% = 0,34% ao dia 30 Fórmula para transformar taxas: i 360 a 2is 4it 6ib 12im id (4) OBS: Em juros simples podemos fazer a transformação da taxa desta forma, por que se trata de taxas equivalentes. O que isso significa? O montante da aplicação de R$ 1.000,00 durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês será igual a R$ 1.480,00; O montante da aplicação do mesmo capital durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% aao ano, também será igual a R$ 1.480,00 Exemplo 9: Qual o juro acumulado no investimento de um Capital de R$ 500,00 a uma taxa de 30% ao ano por 7 meses? 6

7 Exemplo 10: Calcule a taxa mensal e anual equivalente, em juros simples, a 10% ao semestre. CONSTRUINDO GRÁFICOS DO CAPITAL AO LONGO DO TEMPO Conforme já foi dito, a rentabilidade do capital, em juros simples, tem crescimento linear. Vamos agora, associar um problema de juros simples a uma função de 1º grau e construir seu gráfico a fim de termos uma projeção da rentabilidade ao longo do tempo. Exemplo 11: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$ 200,00 que rende a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. APLICAÇÃO DE JUROS SIMPLES Calculando os Juros do cheque especial Uma das aplicações da capitalização simples é no cálculo dos juros do cheque especial de contas correntes chamado método hamburguês. Neste método, iremos aplicar o cálculo de juros simples aos saldos devedores diários das contas correntes. Os bancos cobram uma taxa de juros mensal durantes prazos diários pelo empréstimo do dinheiro e o governo cobra um imposto por este uso, o IOF (imposto sobre operações financeiras). Exemplo 12: Sabendo-se que certo banco cobra juros simples de 4,2% a.m. e IOF de 0,123% a.m. de seus clientes portadores de cheques especiais, determinar, para o quadro a seguir extrato de uma conta particular esses valores tendo como data de contabilização o dia 30/03. 7

8 Dia/Mês Histórico Valor Saldo (D/C) Nº de dias negativo 02/03 Depósito , , /03 Pag. Contas ,00-877, /03 Cheque Comp , , /03 Depósito , , /03 Cheque Comp , , /03 Depósito , , (1º) Calcular os juros fazendo um somatório dos saldos negativos e multiplicando pela taxa. (2º) Vamos calcular o IOF da mesma forma anterior, mas com a taxa de IOF. Exercícios LISTA 1 Juros Simples 1. Um comerciário obteve financiamento junto a um banco no valor de R$ 1.350,00 para ser pago após 3 meses, junto com os juros, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Calcule o valor dos juros a serem pagos ao banco pelo comerciário. (Resposta: R$ 121,50) 2. Certa aplicação rendeu juros de R$ 500,00 após 10 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples era de 0,5% ao mês, calcule o valor da aplicação inicial. (Resposta: R$ ,00) 3. Qual a taxa de juros simples que foi aplicada num empréstimo de R$ ,00 que, após 13 meses, rendeu R$ 3.000,00 de juros? (Resposta: 1,92% ao mês) 4. Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ ,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa de juros simples de 12% ao ano? (Resposta: 1,67 anos ou 1 ano e 8 meses) 5. Uma pessoa dispondo de R$ ,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 1º trimestre: 10%; 2º trimestre: 12%; 3º trimestre: 15%; e 4º trimestre: 18%. Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. (Resposta: R$ ,00) 6. Em quanto tempo um capital triplica de valor inicial, quando é aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao semestre? (Resposta: 20 semestres ou 10 anos) 7. Um capital de R$ ,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente? (Resposta: 2% a.m.) 8

9 8. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 18% ao semestre rende R$ ,00 de juros, determinar o montante? (Resposta: R$ ,00) 9. Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 pode gerar um montante de R$ ,00, considerandose uma taxa de 30% ao ano? (Resposta: 1,75 ano ou 21 meses ou 1 ano e 9 meses) 10. Uma senhora depositou R$ ,00 em uma conta bancária especial que rende a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual será o saldo da aplicação após 125 dias? (Resposta: R$ ,33) 11. Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indagase: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? (Resposta: 33% ao ano) 12. Fernando obtém R$ ,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma nota promissória de R$ ,00, com vencimento para 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual de juros cobrados pelo agiota? (Resposta: 8,33% a.m. e 100% a.a.) 13. Qual o capital que, após 179 dias de aplicação se transforma em R$ ,00, a uma taxa de juros simples de 3,1% ao mês? (Resposta: R$ 8.439,06) 14. Numa operação financeira, um banco emprestou R$ ,00 a uma empresa e recebeu, após 392 dias, o valor de R$ ,00. Que taxa anual de juros simples foi utilizada? (Resposta: 104,96% ao ano) 15. Sabe-se que um capital de R$ ,00 transformou-se em R$ ,00, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 16,67 meses ou 16 meses e 20 dias) 16. Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 24% ao semestre, em juros simples (Resposta: 4%a.m., 12%a.t. e 48%a.a., respectivamente) 17. Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$1.470,00, durante 95 dias, à taxa de juros simples de 21% a.a. (Resposta: R$ 81,46) 18. Um aplicador deseja transformar o capital de R$ ,00 em R$ ,88, em 556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo? (Resposta: 19,70% a.a.) 19. Calcular o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00, pelos prazos de 65 dias, 72 dias e 20 dias, respectivamente, sabendo-se que a taxa considerada é de 25,2% ao ano. (Resposta: R$ 1.974,00) 20. Vamos admitir que o Banco Rico S/A esteja creditando juros, no final de cada semestre, sobre os saldos dos depósitos a vista, à razão de 12% ao ano. Calcular o total de juros a ser creditado no 1º semestre para um cliente que teve a seguinte movimentação em sua conta: (Resposta: R$1.863,67) Data Histórico Valores Saldo Nº dias 15/01 Depósito , , /01 Cheque , , /02 Cheque , , /02 Depósito , , /03 Saque , , /04 Cheque , , /05 Depósito , , /05 Cheque ,00 0, /06 Depósito , ,

10 21. Calcular os juros incidentes sobre os saldos devedores de um cliente, durante o mês de abril, à taxa de 4% ao mês, e o IOF, de 0,123% ao mês, conforme extrato a seguir: (Resposta: R$ 176,67 e R$ 5,43) Data Histórico Valores Saldo Nº dias 01/04 Depósito , , /04 Cheque , , /04 Cheque , , /04 Depósito , , /04 Saque , , /04 Cheque , , /04 Depósito , , Qual a taxa anual necessária para certo capital quadruplicar seu valor em 40 meses? (Resposta: 90% ao ano) 23. Qual o juro e o IOF que pagarei ao banco por ficar 27 dias com saldo negativo de R$ 1.890,00, sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 3,8% ao mês e que a taxa de IOF é de 0,13% ao mês? (Resposta: R$ 64,64 e R$ 2,21) 24. Calcule a taxa mensal de uma aplicação de R$ ,00 em capitalização simples, que gerou um montante de R$ ,00 durante 7 semestres e meio. (Resposta: 0,49% ao mês) 25. Faça a projeção gráfica dos capitais futuros de uma aplicação R$ 2.000,00 a uma taxa de juros simples de 0,3% ao mês, de 0 a 5 meses de aplicação. (Resposta: M = n; e gráfico) 26. Faça uma projeção gráfica da capitalização de uma aplicação, de 0 a 6 bimestres, sabendo que esta gera um valor futuro de R$ 6.726,00 após 7 bimestres, com uma taxa anual de juros simples de 12%. (Resposta: M = n; e gráfico) 27. Uma empresa aplicou R$ ,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicação no dia 21/07/1997 por R$ ,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento à juros simples proporcionada por essa operação. (Resposta: 4,5% ao mês) 28. Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ ,00. (Resposta: R$ ,14) 29. Ao fim de quantos dias o capital de R$ ,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz R$ ,00 de juros. (Resposta: 465 dias) 30. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. (Resposta: 25 meses) 31. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor. (Resposta: 2,5% ao mês). 10

11 JUROS COMPOSTOS Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos. Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. CÁLCULO DO MONTANTE (M, FV) O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. M = J + P (2) A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, P, o capital inicial, n, o período e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos resolver o seguinte problema: Exemplo 1: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: P = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês M =? A montagem de uma tabela mês a mês permite que visualizemos o cálculo do montante na capitalização composta. Mês (n) Capital (P) Juros Acumulados (J) Montante no final do período (M) Essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem, no entanto, efetuar os cálculos ali demonstrados. DEDUÇÃO DA FÓRMULA M 0 = 1.000,00 M 1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04) 1 M 2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04) 2 11

12 ... M 5 = 1.000,00(1,04) 4 + 0,04 x 1.000,00(1,04) 4 = 1.000,00(1,04) 4 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04) 5 O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão:m 5 = 1.000,00 (1,04) 5. Como (1,04) 5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expressão M 5 = 1.000,00(1,04) 5 pelo seu símbolo correspondente, temos M = P(1 + i) n (5) em que a expressão (1 + i) n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único. RESOLUÇÃO NO MODO FINANCEIRO COM A CALCULADORA HP12C Simbologia das teclas: [PV] = capital inicial [FV] = montante [i] = taxa [n] = prazo/tempo/período Procedimento: 1.000,00 [CHS] [PV] 4[i] 5 [n] [FV] => 1.216,65 Exemplo 2: Qual o montante de uma aplicação de R$ ,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês. Dados: P = ,00 n = 9 meses i = 2% ao mês M =? Solução algébrica na calculadora científica: M = C(1 + i) n M = ,00 (1 + 0,02) 9 M = ,00 x 1,19509 = ,35 Solução algébrica na HP12c, no modo RPN: [enter] 1,02 [enter] 9 [y x ] [x] => ,39 Você pode optar por apenas um modo de cálculo. Solução na HP12c no modo financeiro: [CHS][PV] 9[n] 2[i] [FV] => ,39 Exemplo 3: Um investimento de R$ 4.000,00 é feito em 10 anos. Sabendo-se que os juros são compostos e rendem 18% ao ano, calcule o saldo da aplicação final. (Resposta: R$ ,34) 12

13 Exemplo 4: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ ,00 à taxa composta de 4,1% ao mês, após 60 dias. (Resposta: R$ ,20) CALCULO DOS JUROS (J) Calcular o montante e depois descontar o principal. É uma variação da fórmula M = P + J J = M P (2) com J isolado Exemplo 5: Qual a rentabilidade de uma aplicação de R$ 4.500,00 à taxa de juros compostos de 3,6% ao mês, durantes 45 meses? Exemplo 6: Uma pessoa fez um empréstimo de R$ ,00 para serem pagos ao final de 4 anos sob o regime de capitalização composta, com taxa de 15% ao ano. Quanto a pessoa pagará de juros? (Resposta: R$ ,25) CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (PRINCIPAL P, C, PV) Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o P. M = P(1 + i) n P = M (1+i) n Exemplo 7: No final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar um pagamento de R$ ,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa a juros compostos de 3,5% ao mês. Qual o valor emprestado? 13

14 Exemplo 8: Para comprar um automóvel no valor de R$ ,00 daqui a um ano, um jovem deve depositar numa aplicação financeira que rende juros compostos à taxa de 3% ao mês. Calcule a quantia que deverá ser depositada. (Resposta: R$ ,70) Exemplo 9: Quanto se deve depositar, hoje, em um tipo de aplicação financeira que rende juros compostos de 2,4% ao mês, para que se possa atingir um montante de R$ 3.000,00, após um semestre? (Resposta: R$ 2.602,09) CÁLCULO DA TAXA (i) Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o i. M = P(1 + i) n i = ( M P ) 1 n 1 Exemplo 10: Certa loja financia um bem de consumo de uso durável no valor de R$ ,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Exemplo 11: Para um capital crescer de R$ 3.000,00 para R$ 4.000,00, em 3 anos, a que taxa de juros compostos, anualmente, deve ser aplicado. (Resposta: 10,06% a.a.) 14

15 Exemplo 12: Qual a taxa mensal de juros compostos que foi utilizada, em uma aplicação financeira de R$ 2.500,00 que se transformou num saldo de R$ 3.700,00, após 18 meses? (Resposta: 2,2% a.m.) CÁLCULO DO PRAZO (n) Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o n. M = P(1 + i) n n = ln(m P ) ln(1+i) Exemplo 13: Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre? Exemplo 14: Sabendo-se que o depósito de R$ 9.012,58, em um fundo remunerado à taxa de juros compostos de 1,2% ao mês, converteu-se num saldo de R$ ,00, calcule o tempo que o capital ficou aplicado. (Resposta: 24 meses) 15

16 Exemplo 15: Sabe-se que um capital de R$ 9.999,36 transformou-se em R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 5 meses) Exercícios LISTA 2 Juros Compostos 1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de ,00 à taxa de 3,75% ao mês? (R: R$ ,39) 2) Um agiota empresta ,00 hoje para receber ,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual deste empréstimo. (R.8% ao mês e 151,817% ao ano) 3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de ,00 será resgatado por ,23. (R: 5 trimestres ou 15 meses) 4) Uma empresa obtém um empréstimo de ,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado? (R. R$ ,38) 5) Em que prazo uma aplicação de R$ ,03 em letras de câmbio, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ ,00? (R. 19 meses) 6) Um terreno está sendo oferecido por R$ ,00 à vista ou R$ ,00 de entrada e mais uma parcela de R$ ,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês, determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. (R. A melhor opção é pagar com o prazo de 6 meses) 7) A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? (R. 4,162% ao mês) 8) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês? (R. 11 meses) 9) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ ,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? (R. É melhor aplicar a juros compostos) 10) No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: a) no regime de capitalização composta; (R. 36 meses) b) no regime de capitalização simples. (R. 75 meses) 16

17 11) Uma loja financia um televisor de R$ 3.900,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação de R$ 7.000,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por ela? (R. 12,41% a.m.) 12) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma taxa de juros de 7,50% ao mês? (R. R$ 3.730,80) 13) Qual seria o prazo de aplicação de R$ ,00, à taxa de 9% ao mês, para que renda 20% do valor da aplicação? (R. 3 meses) PRAZOS E TAXAS COM UNIDADE DE TEMPO DIFERENTE O cálculo de taxas equivalentes em juros compostos é diferente do cálculo em juros simples. Em juros simples, vimos que o valor futuro de certa aplicação durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês será igual ao valor futuro da mesma aplicação durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% ao ano. Portanto, basta dividir ou multiplicar a taxa e está resolvido. Já em juros compostos isso não ocorre. Por quê? Em juros simples: 1ª situação => M = P ( 1+ in) => M = 100 ( 1 + 0,04. 12) => 148,00 2ª situação => M = P ( 1+ in) => M = 100 ( 1 + 0,48. 1) => 148,00 Em juros compostos: 1ª situação => M = P ( 1 + i) n => M = 100 ( 1 + 0,04) 12 => 160,10 2ª situação => M = P ( 1 + i) n => M = 100 ( 1 + 0,48) 1 => 148,00 Iguais Diferentes Assim, temos que a taxa mensal i m é equivalente à taxa anual i a, em juros compostos, quando: M prazo anual M prazo mensal C 1 ano 12 meses i C 1 i 1 i 1 1 i 12 1 a m a m Ou seja, duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. Da igualdade acima, deduz que: i 1 1 i 2 1 i 4 1 i 6 1 i 12 1 i a s t b m d (6) Há a possibilidade de fazer a transformação com o modo financeiro da HP12c, como veremos nos exemplos. Exemplo 16: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 17

18 Exemplo 17: Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. Exemplo 18: Determinar a taxa anual equivalente a 0,19% ao dia: Exemplo 19: Calcule a taxa mensal equivalente a 0,12% ao dia. Exemplo 20: Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 15% ao semestre, em juros compostos. Exemplo 21: Determinar a taxa anual equivalente a 1% à quinzena: 18

19 PERÍODOS NÃO INTEIROS ---> Convenção Linear e Exponencial Na vida prática é comum encontrarmos períodos não inteiros de tempo, tendo em vista a unidade de juros composto utilizada. Quando isso ocorre, é possível adotar duas formas diferentes de cálculo que resultarão em resultados diferentes. Estas formas diferentes dependerão do acordo financeiro estabelecido. Os dois tipos são: convenção linear e convenção exponencial. Em ambas, são aplicadas as fórmulas de juros compostos para a parte inteira do prazo. Na parte não inteira (fracionária ou decimal), a convenção linear utiliza juros simples, enquanto a convenção exponencial utiliza juros compostos. Seja n k p q Então, Convenção Linear => Juros Compostos (parte inteira) + Juros Simples (parte fracionária) M CL k p 1 i 1 i (7) P J. C. q Convenção Exponencial => Juros Compostos (parte inteira + parte fracionária) J. S. M CE k P 1 i q J. C. p (8) Cálculo no modo financeiro: A HP12c possui comandos para os dois tipos de convenção. Se no visor não aparece uma letra C, então está no modo linear, se aparece a letra C está no modo exponencial. Para habilitar esta função ou desabilitar, basta digitar [STO] [EEX]. Exemplo 22: Em 09/02/2001, uma empresa fez uma aplicação financeira de R$ ,00 em CDB s, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. Calcule o valor de resgate, realizado em 25/04/2001, pelas duas convenções: linear e exponencial. OBS: Calculo de dias na HP12c: (1º) habilitar [g] [4]; (2º) digitar data mais antiga [enter]; (3º) digitar a outra data [g] [EEX], e no visor vai aparecer o número

20 Observação 1: Como pode ser visto, a convenção linear apresenta resultado superior ao da convenção exponencial, ao contrário do que geralmente se espera: os juros compostos são vistos como os que mais rendem juros. Porém, neste caso de períodos não inteiros, é a convenção linear, que possui juros simples, que rende mais juros. Observação 2: Quando o problema apresentar prazo não inteiro e não especificar qual convenção a ser utilizada, iremos sempre utilizar a convenção exponencial, ou seja, teremos sempre que habilitar a função C na HP12C. Por isso, é importante ficar atento!! Exemplo 23: Uma aplicação financeira de R$ ,00 ficou à disposição de um banco durante 105 dias. Sabendo-se que a taxa de juros de remuneração da aplicação foi de 4,5% ao mês, calcule os valores de resgate da aplicação tanto pela convenção linear como pela exponencial. (Resposta: R$ ,05, R$ ,22, respectivamente) Exemplo 24: Uma pessoa aplicou R$ ,00 durante 250 dias, a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o montante e o juro da aplicação. (R. R$ ,46 e R$ 4.569,46) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Existem situações em que a taxa utilizada no problema não coincide com o período de capitalização. Por exemplo: Aplica-se R$ 1.000,00 a juros compostos por sete meses à taxa de 15% ao ano, capitalizados mensalmente. Isto significa que a taxa incide a cada mês, portanto 12% ao ano é uma taxa nominal, ou aparente. Dada uma taxa de juros nominal procede-se para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada para a capitalização. No exemplo dado, divide-se 12% por 12 meses, obtendo 1% ao mês. Assim, 1% ao mês é a taxa efetiva mensal, e, se necessário, calcula-se a taxa efetiva anual encontrando a taxa equivalente no sistema de capitalização composta, que vimos no início desta aula. 20

21 Exemplo 25: Calcular o montante de um financiamento de R$ 3.000,00, após 1 ano, a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. (R. R$ 3.380,48) Exemplo 26: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.300,00, após 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 14% ao ano, capitalizados semestralmente. (Resposta: R$ 1.704,03) JUROS COMPOSTOS COMO FUNÇÕES EXPONENCIAIS Vamos agora, associar problemas de juros compostos à funções exponenciais, pois como já vimos, uma aplicação no regime de capitalização composta tem crescimento exponencial. Exemplo 27: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$ 200,00 que rende uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. 21

22 Exercício LISTA 3 Juros Compostos: taxa equivalente, taxa nominal e efetiva, função exponencial 1) Calcule as taxa anuais equivalentes em juros compostos a: a) 5% ao mês b) 4% ao trimestre c) 20% ao bimestre d) 12% ao semestre (R. 79,59%; 16,99%;198,60%; 25,44%) 2) Calcule as taxas mensais equivalentes em juros compostos a: a) 42% ao ano b) 22% ao trimestre c) 15% ao bimestre d) 17% ao semestre (R. 2,97%; 6,85%; 7,24%; 2,65%) 3) Calcule as taxas efetivas anuais de: a) 11% ao ano, capitalizados trimestralmente b) 14% ao ano, capitalizados mensalmente c) 6% ao semestre, capitalizados mensalmente (R. 11,46%; 14,93%; 12,68%) Apostila I Matemática Financeira 4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter ,00 no final de 19 meses? (R ,96) 5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ ,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros? (R. R$ ,21) 6) Fiz uma aplicação em CDB no valor de R$ ,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade será de 25% ao bimestre. Qual é o montante final? (R. R$ ,94) 7) 8) Foi oferecido a um aplicador um investimento com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal? (R. 19,52% a m) 9) Em 02/07/2001, uma empresa aplicou R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 21% ao ano. Calcule o valor do resgate da aplicação, sabendo que a mesma foi efetuada em 02/01/2002. (Atenção! Como se trata de prazo não inteiro, é preciso habilitar o C na calculadora financeira, se não o calculo será feito à juros simples) (R. R$ ,39) 10) Calcule o valor de resgate da aplicação do problema anterior, utilizando a convenção linear para períodos não inteiros. (R. R$ ,67) 11) Uma financeira emprestou a uma loja de eletrodomésticos a quantia de R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 3,8% ao mês, durante 155 dias, pela convenção linear. Calcule os juros pagos pela loja. (R. R$ 7.442,08) 12) Um banco financiou a uma construtora a quantia de R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 4,5% ao mês, pela convenção linear. Sabendo que a dívida foi resgatada em 200 dias, calcule os rendimentos obtidos pelo banco na operação. (R. R$ ,96) 22