JURO COMPOSTO. Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

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1 JURO COMPOSTO No regime de capitalização simples, o juro produzido por um capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro, pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior. Já no regime de capitalização composto, o juro, a partir do segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. Daí afirmamos que neste regime, o juro rende juros. A título de ilustração, comparemos a evolução de um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, no regime de juro simples e juro composto. Regime de Juro simples Regime de Juro composto Mês Juro Montante Mês Juro Montante 0 100, , x 0,02 x 1 = 2 102, ,00 x 0,02 x 1 = 2,00 102, x 0,02 x 1 = 2 104, ,00 x 0,02 x 1 = 2,04 104, x 0,02 x 1 = 2 106, ,04 x 0,02 x 1 = 2,08 106,12 Juro composto Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. Cálculo do montante Consideremos, agora, um capital inicial C, aplicado em regime de juro composto à taxa i. Temos:

2 Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto. O fator (1+i) n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. Exemplo Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. Obs.: A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a determinação do valor do fator de capitalização (1+ i) n. Entretanto, podemos contorná-la se nos valermos de uma calculadora científica ou de uma tábua financeira ou de logaritmos. Exercícios resolvidos 01) Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 02) Calcule o montante de R$ ,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. 03) Calcule o montante de R$ 5.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses.

3 Cálculo do capital A fórmula do montante em regime de juro composto pode ser escrita como: O fator (1 + i) n é denominado fator de descapitalização. Exercícios resolvidos 01) Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00. 02) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

4 03) Determine em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22,125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Taxas proporcionais Sendo i a uma taxa anual e i s, i t, i b, i m e i d taxas, respectivamente, semestral, trimestral, bimestral, mensal e diária, temos: i s = i a 2 ; i t = i a 4 ; i b = i a 6 ; i m = i a i e i d = a isto é: 1 i Assim, para um período do ano, a taxa proporcional será a, k k i i k = a k Taxas equivalentes Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Consideremos o seguinte problema: Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$1.000,00 empregado: 1º) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; 2º) durante 12 meses, à taxa de 2º ao mês.

5 Como M 12 M 1 e as taxas empregadas (2%a.m. e 24%a.a.) são proporcionais, podemos concluir que: Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes Cálculo da taxa equivalente Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital C, à taxa anual i a, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal i m, equivalente à taxa anual i a. Temos, então: (1 + i d ) 360 = (1 + i m ) 12 = (1 + i t ) 4 = (1 + i s ) 2 = 1 + i a Exemplos 01) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 02) Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Montante para períodos não-inteiros Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. Neste caso, a fórmula fundamental não tem sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem formados apenas no fim de cada período de capitalização. Desse modo, a obtenção do montante para períodos nãointeiros só pode ser feita mediante convenções adicionais.

6 É comum serem adotadas duas convenções: a convenção linear e a convenção exponencial. Na convenção linear os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação linear. Na convenção exponencial os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. Utilizaremos a convenção exponencial por ser mais lógica. Suponhamos um capital C, aplicado em regime de juro composto à p taxa i, durante o período n +, sendo p < q. q Pela convenção exponencial, o capital C renderá juros compostos à taxa i durante os primeiros n períodos. A seguir, seu montante M n passará a render juros compostos à taxa i q 1 (equivalente à taxa i e relativa à fração do período) durante os p q períodos iguais a q 1. Por dedução, chegamos, então, à fórmula: M n + p/q = C.(1+i) n + p/q que nos dá o montante para períodos não-inteiros. Exemplo Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? Taxa nominal Vimos que o juro só é formado no final de cada período. Entretanto, são freqüentes, na prática, enunciados do tipo: Juros de 48% ao ano capitalizados semestralmente Juros de 36% ao ano capitalizados mensalmente Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar de taxas nominais.

7 Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual. Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. Exemplo Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente? Taxa efetiva É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva. Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo i f a taxa efetiva, temos: 1 + i f = (1 + 0,03) 2 i f = 1, = 0,06090, isto é, a taxa efetiva é de 0,0609 a.a. ou 6,09% a.a. Assim, sendo: i a taxa nominal i f a taxa efetiva k o número de capitalizações para um período da taxa nominal i i k a taxa por período de capitalização i k = k como i f é equivalente a i k, temos: 1 + i f = (1 + i k ) k i Mas i k = k Logo: 1 + i f = i 1 + k k

8 Exemplo Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. Taxa real e taxa aparente Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Sendo: C o capital inicial r a taxa real i a taxa aparente l a taxa de inflação podem acontecer os seguintes casos: Com uma inflação igual a zero e uma taxa de juros r, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em C(1+ r) Com uma taxa de inflação l, o capital inicial, ao final de um período, equivalerá a C(1 + l) Com uma taxa de juros r e uma taxa de inflação l, simultaneamente, o capital inicial equivalerá a C(1+ r)(1 + l) (a) Com uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em C(1 + i) (b) Como (a) e (b) são expressões equivalentes, já que ambas traduzem o valor efetivamente recebido, temos: Daí C(1 + i) = C(1 + r)(1 + l) 1 + i = (1 + r)(1 + l)

9 Exemplos 01) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e a uma inflação de 20% no período? 02) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%?